复几何(张希) 2020春 2018春 2017春 2016春  课程号:MA0440401
2020春 2018春 2017春 2016春  课程号:MA0440401
8.7(3人评价)
  • 课程难度:困难
  • 作业多少:很少
  • 给分好坏:杀手
  • 收获大小:很多
选课类别:基础 教学类型:理论课
课程类别:研究生课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:硕士 学分:4.0
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
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评分 评分 3条点评

这可能是科大数院课的特色,收获越多的课老师给分越差。选这门课就是为了学知识的!比较在意gpa的同学慎选(这个学期张希老师一个90分以上的都没给,最高分88)。总评=课程论文40%+期中20%+期末40%(不调分!)。今年由于疫情期中考试取消,所以老师给我们留了一些平时作业题用来代替期中。我在大二下学期修读了这门课,个人认为难度极高,同时这门课是我本学期投入精力最多但总评最低的课(因此我极不建议大家大二就过早地选这门课)。这是今年的试卷和我的复几何论文,供大家参考 https://pan.baidu.com/s/15f8RhwBpYLI78jBGjNSacw  密码:gmiz。

 

前置知识:复分析,多复变函数,微分流形,黎曼几何,偏微分方程(主要是二阶非线性椭圆与抛物方程,且所涉及的内容不完全包含于科大微分方程2H这门课),同调代数(主要是环的同调维数,层上同调,凝聚层,这些内容也不在科大同调代数这门课的范畴内)

 

复几何的内容相当丰富,我在此只介绍张希老师上课所讲过的内容,大体上可以分为以下几个部分:

 

1)复几何基础知识:多复变函数,近复结构,复流形与Kahler 流形,Ricci 曲率,层与上同调,复向量丛与全纯丛,联络与曲率,Gauss-Codazzi 方程,向量丛上常见的微分算子(例如:Hodge-*算子,Lefschetz 算子与对偶算子,Laplace-Beltrami 算子),Kahler 恒等式,除子与线丛,blow-up,陈示性类,Hodge 分解定理,Lefschetz 定理,Serre 对偶,Chern-Weil 定理,Hirzebruch-Riemann-Roch 定理,Kodaira-Nakano 消失定理,解析凝聚层,稳定向量丛,等等。这些内容在大多数复几何教材上都可以找到。

 

2Donaldson-Uhlenbeck-Yau 定理:这是上世纪80年代的著名成果,指紧Kahler 流形上的全纯丛,Hermite-Einstein 度量存在等价于多重稳定。首先由Donaldson 证明了代数曲面成立,推广了Narasimhan Seshadra 关于曲线上向量丛的情形。Uhlenbeck Yau 分别把它推广到了紧Kahler 流形,Buchdahl 又将其推广到Hermitian 的情形,也称为Hinchin-Kobayashi 对应。证明的方法是Ricci流方程,证明Hermitian-Yang-Mills 流方程存在长时间解且光滑收敛。值得一提的是Atiyah Bott 观察到Hermitian-Yang-Mills 流方程的解可以转化为Yang-Mills 流方程的解,从而将度量的流转化为联络的流,Hermite-Einstein 度量成为关于Yang-Mills 流方程的Euler-Lagrange 方程的零点,从而使Yang-Mills 泛函达到最小。这个定理还有一个类似的版本,半稳定的向量丛存在渐进Hermite-Einstein 度量,从而满足Bogomolov 型不等式。若底流形存在Kahler-Einstein 度量,则它满足Miyaoka-Yau 不等式。这些陈数不等式不仅可以得到一些向量丛的拓扑结构,还在构造某种稳定性条件中发挥作用,本质动机是研究向量丛的模空间和分类理论。

 

3Calabi 猜想:卡拉比猜想是关于紧Kahler 流形上存在某些的黎曼度量的猜想,由卡拉比于1954年提出,1977年由丘成桐证明。丘成桐也因此在1982年获得了菲尔兹奖。卡拉比猜想的本质困难在于需要解决一个极为复杂的非线性偏微分方程:复Monge-Ampere 方程。丘成桐在1976年利用连续性方法构造了这个方程的解,从而证明了卡拉比猜想。与卡拉比猜想密切相关的是Kahler-Einstein 度量的存在性,1976年,AubinYau分别证明了第一陈类为负的情形。而当第一陈类是正的,上述猜想实际上并不正确。例如,在两个点上blow-up的复射影平面没有Kahler-Einstein 度量。而且此时的Kahler-Einstein 度量也不能保证唯一性。丘成桐猜想:Kahler-Einstein 度量唯一当且仅当它是K稳定的,这一猜想由 ChenDonaldsonSun 证明,因此他们三人荣获2019年维布伦奖。在他们后面田刚教授也证明了这个猜测。作为Calabi 猜想的衍生物,复Monge-Ampere 方程本身在复几何中也有广泛应用,丘成桐首先研究了复Monge-Ampere 方程的存在性和正则性理论。包括退化,亚纯,或流形可能非紧,带奇点,边界条件可能趋于无穷等更一般的情况。在代数几何中的极小模型理论,给定的Kahler类中寻找常曲率度量等问题中有巨大应用。再后来Bedford Taylor 提出了复Monge-Ampere 方程的pluripotential 理论与广义解,他们建立了有界势与复Monge-Ampere 测度,建立了它们的收敛性的单调性定理,利用Perron 的方法得到了退化版本的Dirichlet 问题的广义解。最近关于复Monge-Ampere 方程的研究成果主要有:Kolodziej 理论根据pluripotential 理论提供了Lp情形的C^0估计,Tian-Yau-Zelditch 理论利用Fubini-Study 度量的光滑逼近,对经典估计进行进一步的改进和扩展,等等。

 

4Hodge 理论:Hodge 理论是关于向量丛上椭圆微分算子的理论,其最为著名的莫过于Hodge 分解定理和Hodge 猜想。1996Demailly 证明了一个非常重要的结果:两个Hermite 丛之间的椭圆微分算子可以诱导直和分解:椭圆微分算子的核与伴随算子的像。而Laplace-Beltrami 算子本身就是自伴的椭圆微分算子,所以Hodge 分解只是它的简单推论。Hodge 猜想是说复代数流形中任何代数闭链类是否都是解析子簇所对应的基本类的有理线性组合?解析子簇到上同调类的对应由Thom 同构和相对上同调群的长正合列给出。Hodge 猜想的研究还很长远,它被列为千禧年七大问题之一,目前,即使在一些特殊情形下,例如Abel 簇上的Hodge 猜想,也仍然没有被解决。

 

5Non-Abelian Hodge 理论:Hodge 理论的核心是对应,正如Hodge 分解定理指出De Rham 上同调类中可以选取唯一的调和代表元。Riemann-Hilbert 对应给出Betti 模空间与De Rham 模空间的一一对应,Abelian-Hodge 理论又将De Rham 模空间对应到第一陈类消失的全纯Higgs 线丛。Non-Abelian 就是将C^* 推广到GL(r,C)。一维同伦群在GL(r,C)的表示空间,平坦丛,与半稳定且第一第二陈类消失的Higgs 丛,三者之间建立一一对应关系。关键步骤是证明平坦丛上存在调和度量。CorletteDonaldsonHitchin 在此过程中作出了巨大贡献,Simpson 1990年最终完成了代数流形版本的证明。张希老师和他的学生们在2016年利用连续性方法证明了Kahler 的情形,并在2019年将结果推广到了某些Non-Kahler 的情形。

 

6)消失定理与嵌入定理:消失定理是指流形的上同调群在阶数充分大时消失为零,复几何中常见的主要有Kodaira-Nakano 消失定理,Kawamata-Viehweg 消失定理,Oka-Cartan B 定理,等等。Kawamata-Viehweg 消失定理在Mori 理论,极小模型理论,Invariance of plurigenera 等目前的很多研究热点问题中都有应用。Kodaira 嵌入定理可以说是复几何中一个划时代的定理,它由日本数学家小平邦彦证明,是说紧Kahler 流形上线丛的positive 等价于ample,从而将流形嵌入到复射影空间。证明的核心是利用blow up 技术将一点处的理想解析凝聚层拉回到exceptional divisors 对应的线丛,然后利用Kodaira-Nakano 消失定理证明某一阶同调消失。值得一提的是Chow 定理指出复射影空间中的解析子簇一定是某代数多项式的零点,从而是代数流形。

 

关于复几何的内容非常之多,介于笔者知识水平贫瘠且有限,故暂且只介绍到这里。欢迎各位复几何大佬们继续补充。

 

总的来说,这门课是在科大能听到的最现代的几何课,也是唯一一门实打实的硬课,对于想学几何方向的同学,强烈推荐。

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Toxins我的复几何都是ts教的(卑微)
中科大教务处倒闭了吗?ts天下无敌
Constantinets天下无敌
JohnDoets天下无敌
Cesare Zts天下无敌

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zetaw 2018春

本人于2019年春季学习了这门课,不知道为什么这个网站没有更新,怕是没有和新的教务系统做对接吧。

这样一门课居然没有任何人来评价,实在有点奇怪。张希老师的这门复几何是科大里你可以学到的最近代的几何课。其他几何课,诸如黎曼几何,代数拓扑,实际上已经是上世纪三四十年代的结果。而张希老师的这门复几何,分三个部分,第一部分是基础知识,包括了多复变、Kahler流形、全纯向量丛的联络理论、Hodge理论,一点点的Chern-Weil理论以及层论,内容上可以说很丰富了。第二部分是1982年Uhlenbeck-Yau做的工作,即紧Kahler流形上稳定全纯丛必有Hermitian-Einstein度量,当然证明是选用的1988年Simpson的一个简化证明。第三部分是Yau的成名作,Calabi-Yau定理,即紧Kahler流形上,任何第一Chern类的代表元,都可选取一个Kahler结构使得其Ricci form正好是那个代表元。这个工作是上世纪七十年代的结果。

这门课的优点在于,让大家能够接触到上世纪七八十年代的优秀工作,虽然从时间上来说其实已经是四十年前的工作,但是比其他几何课还是近代了不少。张希老师上课经常会分享一些自己对数学以及数学界的看法,比如说:“年轻人应该关注一些经典而又有活力的领域,比如子流形几何。”上这门课,如果能认认真真学下来,收获是非常大的。希望科大能有更多这种近现代的数学课、讨论班。

但是这门课缺点也是十分明显的。一个学期课时是固定的,而张希老师讲这么多内容,就注定了一部分内容不可能细讲。例如说Hodge定理的证明,或者Kodaira嵌入定理的证明,张希老师都没怎么细讲,前面的讲课速度也是快的吓人,选这门课在中期必须自学一部分内容,需要预先做好心理准备。还有就是张希老师上课经常忘记下课,体验十分不好。如果开一下小差,你就会发现你完全跟不上他的讲课。本课程是使用张希老师自己的讲义,所以你不能不听课,而且我十分建议认真听课,张希老师对基础部分的讲解还是很好的。

下面是一些学习建议。无论你选不选这门课,我觉得这些建议都是有益的。这门课的预备知识是单复变,PDE(椭圆+抛物),黎曼几何,一点点的代数拓扑,后面的层论如果你关心细节的话可能要一点同调代数以及交换代数(regular local ring,depth,homological dimension等等)。关于教材,复几何我推荐在任何一本复几何书上把基础知识(多复变+近复结构+Kahler流形+Hodge理论)(多复变推荐萧荫堂的书,近复结构那些大多数复几何书上都可以学的到,Hodge理论我推荐Griffith&Harris)学完之后,立刻转向Kobayashi (DIFFERENTIAL GEOMETRY OF COMPLEX VECTOR BUNDLE)(下载地址:http://mathsoc.jp/publication/PublMSJ/PDF/Vol15.pdf)这本书是我学过最好的讲复向量丛的书,美中不足的是没有Kodaira嵌入定理的证明。关于后两部分,我的建议是直接读原始论文,不要看任何复写的证明 。原始论文包含的motivation会被复写的证明所掩盖,对增强数学水平毫无益处。Calabi-Yau定理的话只需要读那篇论文的前25页即可,对于学过椭圆方程的人来说应该不难。如果学过黎曼面和代数几何,有些部分(除子)会理解起来更加清楚,比如说线丛的deg其实就是其对应除子的deg,ample line bundle实际上就是代几的ample invertible sheaf,并且在复几何里等价于第一陈类positive definite。这类联系在Griffith&Harris里比较多。

总之,如果将来想学几何的话,请务必学一学这门课。当然,张希老师的给分大家就不要过多的期待了。这门课是学知识的,代价是gpa(x)。

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。。我感觉萧荫堂很多错。。哭哭

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%&^(*$^&)# 2020春

我于2020新冠大假期修此课。

 

如楼上诸位所说,这门课是科大在几何领域常规开设的内容最接近现代的课程。主要内容包括:多复变基础知识(全纯映射,多重次条和函数),近复结构与复结构,复向量丛上的全纯结构、联络与曲率,Kahler流形与其Levi-Civita联络(Levi-Civita联络与Chern联络的关系,曲率张量的局部表达),Hodge理论(de-Rham上同调与Dolbeault上同调的Hodge分解定理,Poincare对偶与Serre对偶),Chern-Weil理论,Calabi-Yau定理,层的上同调理论(流形上Cech上同调与层上同调相同),全纯线丛(以及Picard群)与Kodaira消灭定理与嵌入定理,全纯丛的稳定性,全纯丛上的Hermitian-Einstein度量与Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理等(这些内容您尽可以参考Huybrechts的《复几何导论》一书)。张希老师在最后带我们证明了Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理与Calabi-Yau定理。

 

关于课程论文(读paper报告):张希老师给了我们十几个题目(包括一些open problems),其中比较平易近人且有趣的有Yau用连续性方法(Yau的成名作)以及曹怀东用Ricci flow方法对Calabi-Yau定理的证明,Kodaira消灭与嵌入定理的证明(还有嵌入定理在纤维丛上的推广版本),Frankel猜想与Hartshorne猜想,Higgs bundles上的D-U-Y定理等。我选择了Frankel猜想与hartshorne猜想作主题,这方面您可以参考Mori于1979年用特征p方法对Hartshorne猜想(代数闭域上有ample切丛的非奇异射影簇一定同构于射影空间)的证明(文章叫Projective manifolds with ample tangent bundles,发表于1979年刊,网址懒得找了,谷歌学术上就能搜到)与其后Siu与Yau于1980年用纯微分几何方法证明的稍弱的Frankel猜想(有正全纯双截面曲率的Kahler流形全纯同构于复射影空间)(文章:Compact Kahler manifolds of positive bisectional curvature,发表于1980年Inventiones mathematicae)(gap巨多)。

 

关于期末考试:今年的期末考试涉及内容以复几何基础部分为主,有一些作业原题,没有PDE计算什么的(然而我还是有一堆不会的)。试卷可以在章俊彦学长的主页上搜到。

 

这门课程本学期的给分方式为0.2*(几道作业题成绩)+0.4*(课程小论文成绩)+0.4*(期末考试成绩)。本人不确定是否有调分,不过从最终总评上来看确实为杀手级别。对GPA敏感的同学建议慎选(要做好一个学期数学专业课平均GPA-0.2的准备)。

 

不过即使不选,我也很建议想要学几何方向的同学在大二下或大三下旁听一下这门课。一个原因是现代几何中太多领域以复几何为嚆矢(本人才疏学浅,不敢说太多),另一个是几何学中太多基础却重要的理论(比如chern-weil),在科大其他数学课上少有提及。

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张希

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