几何分析主要研究流形（黎曼流形或复流形）上的偏微分方程，以及利用分析的方法研究几何问题。科大一直是几何分析强校，师资力量在国内是数一数二的，这门课绝对不是水课！今年讲这门课的老师是李嘉禹老师和高山泽老师。

前置知识：黎曼几何，复几何，偏微分方程（二阶椭圆方程与抛物方程），泛函分析（算子半群理论），几何测度论。

几何分析的内容极为丰富，一个学期的时间不可能讲的面面俱到，我仅介绍一下本课程所覆盖的内容。大致分为以下几个部分：

（1）比较定理：

取定一个点并以此为中心做一个固定半径的小球，是我们研究局部问题时一个非常重要的几何量，我们要对这个小球的表面积、体积、等几何量进行估计。事实上我们对于标准的空间形式以及研究的非常清楚了，所以我们希望将其与标准空间形式的小球进行比较。这部分内容在刘世平老师的黎曼几何课中已经介绍，主要包括Hesse比较定理，Laplace 比较定理，关于体积的Bishop-Gromov 比较定理，以及关于角度的Rauch-Toponogov 比较定理。

（2）调和函数与特征值估计：

研究流形上的偏微分方程相比于欧式空间会更加复杂，我们在欧式空间中计算各种先验估计往往是找固定的常数进行控制。但在流形上工作，光有常数是不够的，我们必须还要搞清楚这些常数是如何依赖于流形本身的几何量的，因为在具体的问题中，我们的已知条件往往不是一个具体的几何量，而是一些几何量的估计（比如曲率的上界或下界）。在Ricci 曲率有下界时，Yau证明了正调和函数的对数梯度估计，并由此证明了Harnack 不等式。负曲率的流形上，情况会有些不同：通常，在正曲率完备流形上是不存在整体非常值调和函数的。但在负曲率时，我们通过添加无穷远边界（或Martin边界），其Dirichlet 问题往往是可解的。

特征值的估计是一个非常有意思的问题，即使现在也有很多人在从事这方面的工作。其主要研究的是特征值的增长速率，相邻特征值的谱间隙，特征值的重数，等等。以及这些估计如何依赖于流形的几何量（直径、体积、曲率、等）。这门课只是简单介绍了几个非常常见/熟知的估计：第一特征值的下界估计（Mckean 定理、Lichnerowicz 定理、Li-Yau 估计），特征值的增长速率（Li-Yau 估计），相邻特征值的间隙估计（Payne-Polya-Weinberger 定理）。

（3）热方程的解与热核估计：

流形上的热方程是一个标准的抛物方程，与调和函数类似，对于热方程的正解，我们同样有对数梯度估计，并由此建立（微分）Harnack 不等式。在几何流理论中，很多PDE最后都可以转化为一个抛物方程的求解问题，在寻求长时间解与解收敛性中，我们就要估计解的振幅衰减和能量衰减，这时往往需要各种Harnack 不等式发挥作用。Strichartz证明了当热方程的初始条件Lp可积时，解是唯一确定的，并且可以写成热核函数的积分表示。所以我们对热核函数感兴趣，并给出了热核函数的整体估计与局部增长估计。反过来，有了热核函数的估计，我们也可以得出许多几何上的结论（格林函数的估计，特征谱的估计）。

（4）外蕴几何流：

几何流是指流形在几何量的控制下随时间演化，主要分为内蕴几何流（Ricci流、Kahler–Ricci流、Yamabe流、Calabi流、Chern– Ricci流、相交曲率流、renormalization group流，等等）、外蕴几何流（曲线收缩流,、平均曲率流、Lagrangian主曲率流、高斯曲率流、Willmore流、等等）、映射流（热方程、调和映射流、微分同胚流、等等）、联络流（Yang–Mills流）、还有新发展的G2-流，离散曲率流，等等。这门课主要介绍的是外蕴几何流中的以下几种：

曲线收缩流：

曲线流是最简单的几何流，也是几何发展方程的萌芽，最初由Mullins 引进。它是问：对于一个嵌入的非自交的光滑简单闭曲线，随时间沿着曲率方向流动时，是否有长时间解，以及在最大解区间上的收敛性问题。Gage与Hamilton 做出了关键性估计，基于曲线流的“初始不交原则”与“保嵌入定理”，完成了凸曲线情形的证明。Grayson 最终证明了一般情形：在一段时间后，曲线流一定会流成凸曲线，并说明进行某种正规化后，一定会流向标准圆。这里要提一点的是，非自交的条件是不可缺少的，我们可以很容易构造一个反例，使其爆破。此时我们会很感兴趣奇点附近的渐进性质，例如在比较简单的芽状起点的情况，Angenent与Velazquez 给出了非常精确的渐进估计。在本课程中，老师还介绍了一些特殊解-自相似解，以及几种单调性公式（等周比单调性公式、Nash 熵单调性公式、Huisken 单调公式、等等）。事实上，单调性公式是几何流理论中一个非常核心并且基本的工具，前文提到的定理也可以用单调性公式给出更精妙的证法。

平均曲率流：

平均曲率流可以看成是曲线流的一种高维推广，保持了许多与曲线流相似的性质（初始不交原则、保嵌入定理，等）。Huisken 证明了当初始条件为凸的超曲面是，平均曲率流存在长时间解，且收敛到一个点，在适当的数乘变换下，收敛到一个圆（事实上Huisken 还证明了，对一般Space form 中的平均曲率流，结论也是正确的）。但是，当初始条件仅为嵌入子流形时，我们就不再有曲线流的那么好的结论了，曲率有可能会在短时间内发生爆破。这时，我们希望能有一些比较自然的方式，让这个流继续流下去。Osher 与Sethian 提出将初始超曲面看成某个函数的等值面，把平均曲率流转化成等值面的流；Saez Trumper 与Schnurer 提出把平均曲率流的超曲面看成更高维曲率流的投影的几何测度边界（事实上可以证明这两种流是一样的）。但这种方法的问题在于，流动的过程中可能会产生内点，也即Hausdorff 维数可能会增加。Ilmanen 与Soner 基于初始不交原则提出了黏性解；Brakke 利用几何测度论的观点提出了Varifolds 的发展方程；等等。这些都可以看成是平均曲率流的“弱解”，他们在曲率爆破之前，与古典解相同。还有一个值得一提的方法是，利用几何拓扑中的手术理论。在曲率快要出现爆破的时候，暂停流动，然后对可能出现奇点的地方进行“手术操作”，然后再让改进之后的流形继续流动，从而避免奇点的出现。这种方法起初是在证明庞加莱猜想的时候引进的，现在在很多问题中都有应用。目前研究几何流还有一些非常有用的工具，比如单调性公式，noncollapsing 现象，等等，但由于时间原因，这门课没有对此做太多介绍。

高斯曲率流：

高斯曲率流相比于平均曲率流更为复杂，一方面它只有在局部凸的情况下才是一个抛物方程，另一方面，相比于平均曲率流是一个拟线性抛物方程，它是一个完全非线性的抛物方程，会遇到更多分析上的困难。Zhou KaiSeng 证明了凸超曲面的高斯曲率流存在长时间解并收敛于一个点，随后又被推广到一般系数的情形。这时我们会问一个自然的问题：奇点附近的渐进形状如何？会和平均曲率流一样收敛到一个圆吗？这就是Firey 猜想。然而不幸的是，Andrews 证明在指数系数为1/(n+2) 时它会收敛到标准椭圆，并在仿射变换下可以重新参数化，这就意味着，它可以不是标准圆。Brendle 等人在2017年证明了指数系数大于1/(n+2) 的情况下，它会收敛到标准球。利用高斯熵与Firey 熵的单调性公式，可以证明解在适当正规化后收敛到自相似的收缩解。

注：关于平均曲率流和高斯曲率流的部分，我个人推荐直接看原始论文，不用看任何复写的证明。

（5）补充：Yamabe 问题与Einstein 度量：

Yamabe 问题是指，如何在一个给定的度量等价类中选取一个好的度量，使得纯量曲率是常数。二维情形可以利用复分析中的单值化定理得到肯定答案，高维情形通过Yamabe、Trudinger、Aubin等人多年的工作，Schoen在1984年最终证明了这个猜想。Yamabe最初提出这个猜想是为零解决三维情形的庞加莱猜想，注意到三维情形下Einstein 度量必有常截面曲率，通过寻找任意单连通进三维流形都存在Einstein 度量，从而证明庞加莱猜想。Einstein 度量的存在性问题非常复杂，因为这涉及到要解一个完全非线性的偏微分方程：Monge-Ampere 方程。Einstein 度量可以看成是某个度量泛函的极值点，而当我们把这个泛函限制在一个共性等价类上时，其极小值点恰是使得纯量曲率为常数的度量。再在所有共性等价类上去最大值点（如果可以取到的话），就可以得到Einstein 度量。从这个意义上讲，Yamabe问题可以看成是Einstein 度量存在性问题的第一步。

Kahler-Einstein 度量:

当我们所考虑的流形是Kahler 流形时，Einstein 度量就等价于Kahler-Einstein 度量。而Kahler 流形上的Ricci 曲率可以由度量的det 非常简洁的表示出来，这就启发我们去研究Kahler 流形上的Kahler-Einstein 度量的存在性问题，这也是我这个学期的大研课题。我们回过头思考Calabi 猜想的最初动机，就是在一个Kahler 流形上寻找某些“Canonical” 的度量，Kahler-Einstein 度量不管从形式上还是各种性质上看，都复合我们希望的那种“好”的度量。第一陈类非正时Kahler-Einstein度量的存在性由Yau 在1977年证明。而Fano流形上Kahler-Einstein 度量的存在性并不一定正确，1990年田刚教授证明了复曲面的情形下，Kahler-Einstein 度量存在等价于它的自同构群的导出李代数完全可约。高维的情形，Yau 观察到Kahler-Einstein 度量的存在性与代数几何里的某种稳定性之间有着微妙的联系。直到1997年，田刚教授提出K-稳定的概念，并证明Fano流形上Kahler-Einstein度量存在一定K-稳定。2012年陈秀雄教授，孙崧教授，Donaldson教授证明了其逆命题也正确，这是一个历史性的突破，他们也因此荣获2019年韦布伦奖。陈秀雄教授和王兵教授于2014年给出了Kahler-Einstein度量存在性的Ricci流方法的证明，解决了Kahler-Ricci流中的Hamilton-Tian猜想，这又是一个历史性的突破。目前，关于常数量曲率Kahler 度量存在性的研究是Kahler几何的核心问题之一，陈秀雄教授于2018年开创性地给出了Kahler势函数在cscK某种假设下的先验估计，并证明了cscK的存在性与测地稳定等价。很多华人数学家（其中包括很多科大杰出校友），都在这个领域有所研究，并取得过很有意义的成果！

考核方式：

原定的是作业60%+期中20%+期末20%。不过从最后的总评来看，应该老师巨大向上调分，我甚至怀疑全班所有人都在90以上。