泛函就好好评了,值得一书,不比什么复变(无慈悲)

首先介绍一下这位Gabriel Dospinescu,他其实是做p-进平展上同调之类的,是我们代数I和代数II的正课老师梁永祺老师的同学,但是他就是想教泛函(x)他是罗马尼亚和法兰西的双国籍,现在在ÉNS de Lyon工作,但是如果翻他CV就会发现从Louis le Grand中学的预科毕业,(法国最好的两所预科之一,另一所是Henri IV中学,)然后进入ÉNS d'Ulm\(p\),在Paris XI获得Master,在X(École Polytechnique)获得PhD...罗马尼亚呢?.jpg(其实是出生地~)

OK不扯八卦了,我们来正经评课!

泛函这门课怎么上其实非常取决于主讲者,做PDE的人,做数值的人,与纯做泛函的人学的泛函可能完全不一样,例如比较Grothendieck做的泛函和波兰学派做的泛函;对于仏班,我们学习的内容以Banach空间的几何学为主,后面有Gelfand的Fourier理论与简单的算子理论,至于什么分布(distribution)呀什么椭圆算子呀根本影子都没有,,,

在我见来,本课程可以分为五个流程,我们就逐个过一下差不多,至于其个中定理,则找本Banach空间理论的GTM或者常规的泛函教材也许都有√

对拓扑学和实变函数的复习势必成为第一部分,并且做了简单拓展,与法班的分析II和分析III相比主要多了:Stone-Cech紧致化,Haar测度存在性定理,Nikodym定理(Banach-Steinhaus的测度版本),以及局部凸拓扑向量空间...

四大定理与弱拓扑,弱*-拓扑紧随其后,每一块都提供了一个有意思的应用,我们主要列一下应用吧:[Hahn-Banach]Krein-Milman定理,[Banach-Steinhaus]Eberlein-Smulian定理,[开映射闭图像]Bessaga-Pelczyinski定理;写个名字就行了应该,输入Google敲击回车尽享极致数学学习体验

然后是对Banach空间和Hilbert空间进一步的理解,其线路在于通过复习研究L^p空间,摆出工具Khintchine不等式,提出Banach空间的型(type)和余型(cotype)这两个不变量,进一步仔细研究了l^q往嵌入L^p的问题(Kadec-Pelczynski定理);而Hilbert空间的线路中则通过研究各种序列的收敛姿态,摆出了Dvoretzky-Rogers定理和Grothendieck不等式等结果,然后再通过关心Banach空间之间的映射通过Hilbert空间分解这样的处理来反推Banach空间的性质(Kwapien定理).

第四部分便是Fourier分析,主要框架虽然搭在局部紧Abel群上,但是最后比如Bochner定理还是先讲的欧氏空间中的版本,然后不可避免便来到了Banach代数和C*-代数面前,这一块最关键的在于Gelfand,我们得到了诸如Wiener定理和更一般的Bochner公式,Fourier逆变换和Plancherel公式,最后在Gelfand-Naimark定理前驻足一下,自然迎来了谱理论,最后一部分——这一块其实已经只有一节课了,内容很少,不过是紧算子,Riesz理论和HS算子,相信是所有泛函分析课本都有的吧,不言之!

最后讲一下习题课的夏波老师,非常敬业!你是对的!但是他毕竟是中式泛函教育出来的,受了Zgq极大的影响,(殷浩老师语,)这种风格对他来说应该是全新的,很努力给我们找恰当的习题和良好的补充材料,学起来很有趣,就是有点和正课内容和考试不太有关(x)但还是应该再次感谢夏波老师的辛苦付出,我们是能感觉到成功把一学分的习题课上出了两学分的感觉~