曹老师本人对数学是很执着的。 犹记得大二时听他讲矢量场作为逆变函子， 单参李子群作为子流形的嵌入时，其观点之高，给我留下的映像极为深刻。 我发现，很多时候，我没有理解一个物理问题的原因就在于，可能我没有看到它背后的数学。而往往，当我参透了个中数学以后，所有的物理也变得自然而甚于说是trivial的。 犹记得Feynmann 曾调侃说“数学家只能解决trivial的问题，因为数学定理对他们来说都是trivial的”， 就是如此。

对于教学的建议。 首先不得不吐槽的是，Nakahara typo太多，虽然大部分都不影响阅读，但曹老师也吐槽过，说“看来日本人认真的传统被这本书打破了”，但他也强调“其实比起认真，日本人的学术精神更忠于执着”。

从教学材料上看，我觉得这本书黎曼几何和主丛部分是重点，我们在学习时，可以把微分流形中的Tangent Bundle作为一种特殊的Associative Bundle，Levi-Civita Connection作为特殊的Connection，仔细掌握其运算规则，然后就可以开始Principle Bundle和Connection on Principle Bundle，然后再引入Curvature和Holonomy。 这个结构就比较丰满，建议重点把握。

而同伦和同调的引入，我觉得这本书太trivial了，几乎不需要花任何时间。而且，第四章引入的计算Homotpy的方法也可以来求The first Homology Group， 这就使得第三章的很多例子可以简化。而我个人感觉从differentrial form 引入 de Rham Cohomology更简单和直接，而Manifold也是物理上用的最多的对象。因此，我感觉可以先学流形，再学de Rham Cohomology，而完全略去Simplex的内容，最后补充说明它们的Equivalence就可以了。这一部分的内容我强推 王作勤lecture notes on Smooth manifold （2018-2019）, 的Lec21-Lec28，这完全是纯粹物理.

最后，这门课没有讲到Index Theorem的Supersymmetric Proof是很遗憾的。 我感觉这本书的最终目的就是为了引入这个。这时伟大的Edawar Witten 将伟大的Moorse Theory, Atiyah-Singer Index Theorem, 和Gross在Supersymmetic Vacuum的重要发现联系到一起的重要工作，是改变了物理学和几何学的进程的伟大作品。 这也是数学和物理联系起来的一个重要纽带，它直接使人更加相信Path Integral是一定有严格的数学内核的。

最后谈考试，曹老师是个好人，从不限制时间。 大家可以从下午两点半做到六点。（并非是因为题目难）。 老师的意思，他自己当学生的时候，就很讨厌限时考试，个人感觉，他是属于那种慢条斯理细细思考的类型，于是他不会为难任何人。他希望看到大家发挥出百分之百之所学。 我也十分敬佩这一点。

总而言之，我觉得这门课适合大三的理论物理系学生上，这对大家理解量子场论和广义相对论是完全有帮助的。而且相对而言得高分比较容易。

今年大四的近代数理方法突然是曹老师开而不是黄老师开了，说下上这门课的体验。

教材仍然是nakahara，内容大概就是拓扑空间的分类（同伦群同调群），流形（流形，黎曼几何，李群李代数），纤维丛以及在规范场论中的应用 三个部分。

对于大多数同学来说，第一部分和第三部分都是从来没有接触过的。因此我建议一定要好好听课，就像大一大二的时候一样！因为自学会有一定难度。

曹老师上课准备很充分，有的时候板书，有的时候开投影仪，但无论用什么方式，思路都很清晰，语速也很慢，节奏并不快（听说他上GR的时候节奏很快）。但是，千万不要缺课，如果万一缺课了，一定要自己自学补上，否则之后就跟不上了。

最后期末考试奶量十足，和他的广相差不多。半开卷，最开始是多选题，我记得是40还是50分，内容都是对概念的理解而不是计算。然后是问答题，30题选15个，60分。这些问答题也是一些很基础的东西，只要学过的而且打了小抄的肯定能写出来。 最后是计算题，4还是5道题一道十分。考的也是最基本的内容，只有最后一道题稍微有点计算量，就是让你算出minkowski空间的所有conformal killing vector 和他们的对易关系。这个本质上也是很简单的，只是要算很多对易关系会很花时间。总分超出了100分，我记得是150分。因此会得少的同学会被奶上来。

因此期末考试的难度主要在于你会多少东西。虽然我说曹老师语速不快，节奏也不快，但是一学期讲的东西还是挺多的。我想了想这个我这个自相矛盾的说辞，也许我领会到了弗洛伊德的精髓。