这学期初选了刘党政主讲的《概率论》，但由于最开始想选的体育课抽签掉了恰好把时间空出来了同时又选了贺鑫主讲的《高等概率论》，下面谈一谈与本科概率论相比，高等概率论主要补充了哪些内容。

课程内容比较

• 1. 抽象测度与一般空间上的可测函数（随机变量）、积分和富比尼定理

标准的实分析内容，不过不是在R^n上，而是在一般的测度空间上。在本科概率论课程中直接默认了积分交换次序定理在一般的可测空间下也成立，但实际上建立一套严格的、在一般测度空间上的积分理论也是必要的。（详细可以参考Folland的实分析前三章，上面也有Lebesgue-Stiestjes积分的构造）。另外还补充了一个推广版本的控制收敛定理，比较有用。用的最多的当然是富比尼定理，在证明的过程中首次引入了π-λ类定理。

• 2. 独立性的严格刻画

定义了事件、σ代数、随机变量的独立性，一个重要的定理是Kolmogorov零一律（其实不是在这一节中讲的），另一个重要的定理是关于π-λ类的独立性定理。用它可以推出一个本科概率论未证明的命题：只要P(X≤x,Y≤y)=P(X=x)P(Y=y)对任意x,y成立，就可以推出独立性在所有Borel集上成立。

• 3. 弱大数律

弱大数律的终极版本其实并不需要期望存在，但强大数律期望存在是必要条件，因此与强大数律相比，弱大数律并不是真的“弱爆了”。

• 4. 依概率收敛的另外两个等价命题

Xn依概率收敛到X，等价于{Xn}的每个子列存在一个子列的子列as收敛到X，等价于E(min{|Xn-X|,1})→0。（这两个等价命题非常好用x它的一个推论：依概率收敛可以来自于某一种拓扑。同样地，类比依分布收敛（类似于弱拓扑）、Lp收敛（Lp范数）都可以来自于某一种拓扑，但as收敛一般不能由拓扑定义。

• 5. 随机变量列的收敛

这一节最重要的两个定理：Kolmogorov不等式与三级数定理。再加上Kronecker引理可以得到强大数律的另一种证明。（本科概率论讲的强大数律证明实际上是1981年Etemadi的结果，这个证明技巧性比较强，但从随机变量列的收敛来看强大数律，感觉更加本质）

• 6. Levy-Cramer连续性定理

为什么特征函数的极限在0处连续，可以得到随机变量弱收敛？为了解决这个问题，引入了一些概念。第一个是淡收敛(vague convergence)，一种比弱收敛更弱的收敛（弱星收敛/weak* convergence）；第二个是紧性/一致胎紧(tightness)，可以保证淡收敛一定是弱收敛。而海莱选择定理(Helly's selection theorem)保证了任何概率测度列都有子列满足淡收敛，特征函数的极限在0处连续保证了紧性，所以就可以得到想要的结论。

• 7. Lindeberg-Feller中心极限定理

刘老师的Lindeberg替换法足以让人眼前一亮，而高等概率论中直接证明特征函数逐点收敛。（暴力美学x证明中用到了特征函数方法中比较常用的技巧，如泰勒展开的余项估计；另外还用到了一些有关复数的不等式。

• 8. 泊松收敛、Stein-Chen方法

这部分只是简要介绍，不作为考试重点。利用特征函数法、概率测度的总变差(total variation distance)分别证明了满足一些性质的随机变量列收敛到泊松分布。后面专门花了一节课的时间介绍了Stein-Chen方法，把前面的泊松收敛的常数项作了进一步优化。（虽然证明还是留下了一点gap）

• 9. 泊松过程

听说是最简单的一类离散状态连续时间随机过程，算是给随机过程开了个头吧。另外简要介绍了Levy过程与随机测度（听不懂是正常的.jpg。

• 10. 度量空间（R^d）上的收敛

主要是高维上弱收敛的等价刻画，在R^d上还可以建立弱收敛与开集、闭集等拓扑方面的联系。另外我终于搞懂了为什么高维的分布函数不连续点也是至多可数的。

• 11. 条件期望

条件期望的本质是在子σ代数上可测的随机变量，存在性依赖于Lebesgue Radon-Nikodym定理（直接默认这个定理但没有给出证明，教材Durrett的附录或者Folland第三章符号测度中有完整证明），并给出了条件期望的一些基本性质，建议熟练掌握。虽然条件期望的内容和高等概率论这门课的关系不是很大，但是从随机过程的鞅论开始就逃不掉条件期望了，讲条件期望主要是为了后续课程做准备，考试也占了10%左右的比例。

• 12. 一致可积

给出了一致可积的定义和常用的等价刻画，证明了一致可积是积分与极限可以交换的充要条件。在后续的鞅的L1收敛条件中会用到一致可积。

PS/TIPS:考前的最后一节课，用了一致可积的性质推了一道作业题中的一个步骤，接下来这道题就出现在了期末考试的试卷中，占了全卷20%的比例。个人感觉这道题是整门课程中最精彩的一道题，没有之一，有兴趣的可以试下.jpg

3.2.16. Suppose Yn ≥ 0, E(Yn^α) → 1 and E(Yn^β) → 1 for some 0 < α < β.
Show that Yn → 1 in probability.

作业

贺鑫老师一再强调，这门课作业非常重要，亲身体验以后发现不仅量大（一门顶两门）而且难度大，如果能认真啃下来，那么收获还是挺大的。另外期中期末考试作业题占比一半以上，虽然有些题目略有改动。

给分

总评计算公式（暂定）：作业26%（13次*2）+半期（满分100）*0.2+期末（满分120）*0.54
期末满分从100调整到120是我万万没有想到的，差点把我直接奶穿，还好刚奶到三位数就婷婷了。适可而止，是一种明智的生活态度。

出分以后更新一波前面的内容，虽然最后的分数比预计低了几分但还是很满意，同时课程群里反响不错，有图为证：