这是我第一次选非本硕贯通的研究生课。我也不是做这个方向的，只是想要可以学习一下辛几何，所以选了这门课。因为我对于可积系统不了解，不知道这样的课应该要上什么内容。所以只能谈谈对于这门课的上课内容和自己的感受。总体来说这门课是挺好的。

关于上课的内容，简单梳理一下。

第一章讲了有限维的辛几何。大概只用了2周不到的时间就讲完了，不过对于辛几何的初步知识都覆盖了，包括辛流形，poisson括号，Hamilton流，Darboux定理，moment map，辛约化。总体来说只用了几次课的时间就讲完了这些，内容有一些紧凑。我学的不是很明白。后来复习的时候我重新过了一遍这一块的内容，有了一些初步的了解。一个辛流形重要的是上面的辛结构，他的定义也等价于上面的光滑函数的全体加上poisson括号成为一个李代数。而给一个光滑函数，由这个poisson括号可以对应一个Hamilton向量场，从而对应一个flow，即有限维的ode。

第二章讲了无穷维的辛几何。应该是这门课的重点，对应与有限维的辛几何，把辛流形推广到了loop space，poisson括号也推广到了无穷维的情形。简单理解来说，有限维对应的是ode，无穷维对应的是pde。ode下给定一个时刻，生活的空间是辛流形M，但对于pde，给定一个t，这时每一个点应该是f(x)所以对应的是loop space。从这里开始，给出了pde不一样的定义，杨老师把一个pde视为一个admissible的导子。和这个pde互为对称的另一个pde，即为两个pde所对应的导子可交换，一定程度上来说类似于可积性条件。一个系统称为可积定义为有无穷多个对称，且可以由n个任意1元函数参数化。判断一个系统是否可积很困难，于是杨老师又介绍了流体力学系Hamilton系统以及用Hamilton摄动处理一般Dubrovin-Zhang形。杨老师在这方面做了不少贡献(逃

第三章讲lax对和矩阵预解式等方法，给出特殊可积系统的无穷多个对称，甚至可以做到暴力求解。但例子总是局限于kdv方程，于是讲到了一般的李代数空间，例子就变多了。但应该还是A1型李代数的推广，方法没有本质的区别，只是计算量变的极大无比，并且多次利用分次，对称性的技巧去证明一些问题。

第四章讲了Frobenius maniflod，这应该时是困难的内容了。由于我水平有限，没有看到一个结构非常丰富的Frobenius manifold背后的几何含义，杨老师提过这对应了双Hamilton结构。杨老师提了四个例子，Landau-Ginzburg model(A) 和(B)以及topological \sigma-model(A)和(B)。对此我除了大受震撼以外，什么也做不了。在后来，在Frobenius manifold 引入了Dubrovin Connection，由对应的extended Dubrovin Connection是平坦的导出了复ode。从研究这个复ode的monodromy，一直讲到了Hilbert 21 problem和Rie-Hilbert对应。最后还有一点时间，杨老师还讲了与拓扑场论相关的可积系统，我感受到前所未有的巨大计算量，验证一个系统可积，在一个式子里面居然用了十多个希腊字母(一个式子可以写一个黑板的那种)，那一刻我才明白为什么爱因斯坦要引入上下指标默认求和这样的约定。

关于上课风格

杨老师每节课都会用一些时间回顾一下上节课的内容，还会加入一些不一样的理解。上课时也会时不时问问同学听懂了没有，有没有什么问题。我个人感觉上的偏快，内容不是很多，反复理解一些概念对于我初次学习这个方向也有好处。另外杨老师人很好，回答问题很耐心，甚至晚上因为回答问题留到很迟。

关于作业和考试

作业不多，但是有一定的难度，每一次一道题要写好久，计算题偏多。但是杨老师的意思应该是，对于可积系统这门课，只要会算例子，基本上就学的差不多了。没有助教，一位大四的班上学生给我们上的习题课，这样的操作还是第一次见。期末考试开卷，而且还可以交两份卷子(当场考一份，带回去再做一次)，好像是两次里面取高的。我由于很忙，没有交第二份卷子。不过我个人感觉答的应该差不多了，应该给分不会太差。出分之后很意外。hhh