总述：这是一门非常综合的课程，内容容量较大，多复变是21世纪的热门方向，其实这门课应该开两个学期，一个学期实在讲不了多少东西。本人是在大二下学期修读的这门课，给我的感觉难度中等偏上，想学好这门课需要花费比较多的时间。

前置知识：复分析，高等实分析，泛函分析，偏微分方程，交换代数，同调代数（主要是层论部分），如果会一点代数几何更好。

起源：多元全纯函数的Hartogs现象，Levi 问题。（推荐书目：萧荫堂《多复变函数论》）

这是多复分析区别于复分析的起点，使得多复分析不再是复分析的简单推广，而成为单独的数学分支。由Hartogs现象引出的第一个核心问题就是C^n中的Levi问题：给出全纯域的几种等价刻画，证明全纯域，等价于全纯凸域，等价于多次调和凸域，等价于拟凸域。第一部分是Cartan-Thollen 定理：全纯域等价于全纯凸域。证明的关键是Runge 逼近。证明全纯域是拟凸域，需要用到多次调和函数的构造技术，这一部分初学时一定要认真对待，不能只记结论。多次调和函数可以把一些复的问题转化为实的问题，并且在复几何中也经常用它来构造度量和曲率。Levi 问题是指拟凸域是全纯域。证明的核心是利用Hormander L^2 理论。

入门：解析凝聚层，Oka 三定理。（推荐书目：Noguchi）

近代多复分析是复流形上的多复分析，将全纯凸的概念推广到Stein流形。Oka 在研究第一和第二Cousin问题时引入了解析凝聚层的概念，这是复分析发展的一个里程碑。可以这么说，理解了解析凝聚层和Oka 三定理，复分析才算入了门。利用凝聚层的上同调理论可以证明Oka-Cardan A B定理，这是多复分析最重要的定理之一。不仅如此，Oka-Cardan 定理还在代数几何，偏微分方程，Sato’s hyperfunction 理论，D—模理论，表示论中有重要应用。

L^2 理论：推荐书目：（Demailly or Berndtsson）

L^2 理论是研究多复分析的非常有效的技巧，它起源于偏微分方程，目前关于L^2 理论的研究有很多流派。比如：什么流形是Stein 的？（Levi 问题）什么流形是代数的？（Kodaira 嵌入定理）这些问题的解决背后都有L^2 理论在发挥作用。利用Hormander L^2 理论可以讨论一般复流形上的\bar\paitial方程的可解性问题，Skoda L^2 理论可以解决Bezout方程，利用Ohsawa-Takegoshi L^2 理论可以讨论子流形上全纯函数的延拓问题，给出Kawamata-Viehweg 形消失定理和Kodaira 嵌入定理的分析证明。最近一段时间，Demailly，萧荫堂等人关于L^2 理论都作出了非常好的结果。

Plurigenera：

Invariance of plurigenera可以说是近二十年多复变中最好的结果。核心是利用Ohsawa-Takegoshi扩张技术。Ohsawa-Takegoshi扩张本身也是处理多复分析问题非常常用的技术手段，关于这一部分，我建议直接读原始论文：萧荫塘1998年的论文：Invariance of plurigenera和Paun2007年的论文：Siu’s Invariance of plurigenera : a one-tower proof。在代数几何，极小模型理论，双有理几何等领域，都可以见到Plurigenera 的应用。

课程最后，赵晨老师还介绍了近期的一些成果：Demailly-Kollar猜想与Jonsson-Mustata猜想的证明，以及目前多复变的一些前沿问题：Fujita猜想，Itaka猜想等等。

多复分析目前仍在发展中，很多理论尚不完善，也有很多开放性问题。笔者的多复分析目前尚处于入门阶段，在此只能非常粗浅的介绍一下笔者所了解的东西。

期末考核：本课程作业很少，一整个学期就布置了几道题，所以总评基本就是期末成绩。期末考前老师透了60分的题目，你只要背了，及格肯定没问题。这是今年的多复变期末试卷（供大家参考） https://pan.baidu.com/s/1CpSeGiNafy_K_TVLmdgfRQ  密码:bph8 

最后我的期末卷面88，总评92。（赵晨老师卷子改的比较严，但给分不错，略微上调了一点）

这是一门科大为数不多的可以接触到近代数学前沿的课程，对于基础数学方向（尤其是分析，几何，代数几何等方向）强烈推荐！

一门十分神秘的课。 内容： 第一章是对单复变的模仿

第二章是讲述多变量全纯函数的特有性质，即其存在一个开集使得任何在这个开集上的全纯函数都可以被延拓到更大的区域，因此那些“最大”的全纯函数定义域（即全纯域）就成为了一个需要考虑的问题

第三章引入了多重次调和函数和几个几何上的凸性条件，并证明全纯域恰好满足这几个几何的凸性条件，它的反问题即为levi 问题

第四章利用bochner公式和一些泛函分析得到了一个存在性估计，用它来解决了levi问题，并给出一些其他应用，比如一些日本人名消灭定理和kodaira嵌入定理，cousin问题之类的

第五章是关于全纯函数的延拓和延拓之后的估计

就课程内容本身而言其实不太多，而且较有趣味性，把看似毫不相干的东西缝在一起总是很有趣的，但上课的感觉却比较神秘。

上课时老师会把要讲的东西抄一遍再念一遍，使得听课的人可以在老师抄黑板的时候小憩一番，劳逸结合，非常符合人的认知规律。每节课都看似讲了很多东西但由于这种上课方式导致事实上内容不多，容易让人幻想自己是多复变高手。老师讲完一章之后才会上传讲义，导致要是上课走神了想知道其课程进度需要等待较长的时间，建议大家一定要好好听课。

作业基本就是把书上一些东西抄一抄，还是比较容易完成的。

直到要期末复习和考试的时候，不对劲的地方才会集中爆发。老师上传的讲义通俗易懂到能让精神分析学家或者考古学家之类的外行轻松阅读。考试只考一个半小时，几乎完全是默写题，考试时间没有延长，感觉是记忆力与手的田径比赛。不发草稿纸，甚至一开始还没给我发考卷，我我问老师她竟然感叹到：来考试的人那么多啊！致使我只能用卫生纸打草稿，最后也没写完，看来本人在短跑这方面确实天赋不佳。

总之，对于想选这门课的同学，我推荐一些教材：前三章可以参考demailly的那本complex analytic and differential geometry的第一章，第四章可以参考demailly的l2 estimates for the \bar{\partial} operator on complex manifolds，第五章可以参考涂振汉的那本多复变，想进一步学习复几何的建议把demailly那本厚书看完。

       秋季学期上的这门课。一开始选课没有抱很大的期待，一个学期下来却发现是本学期最有趣、收获最大的一门课。

       我感觉课程最大的亮点有两个。一个是L^2理论的部分没有局限在C^n中，把strictly PSH的条件理解为线丛上的strict positive curvature，从而可以做几何上的推广。还有一个就是课程最后介绍的一些前沿的内容，这学期讲的是O.T. extension及其应用；可以看到多复变在代数几何、复几何这些领域都能作为强有力的工具，算是响应了Oka、Cartan对多复变理论的期待。

       赵老师在备课上确实花了很大的精力。她的讲义参考了大量的多复变书、Lecture Notes、前沿论文，让人觉得收获很大。但听课方面确实略显无聊，很多人大概都没来上课。就个人感觉听听课还是有必要的，起码能听到她为什么这么准备授课顺序和内容，理解整个课程脉络，比单纯看书或看讲义强。

       关于参考书，Siu的那本中文书感觉一般。H\“ormander的书挺适合入门的，但一些细节被省略了，读的时候需要补gap。然后老师发的几本参考书感觉Demailly的厚书和他另一个Notes写的最清楚，而且内容很丰富，观点很高。不过一个学期课肯定讲不了那么多就是了。

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        又过了一学期，回过头来思考了一下“听课”这件事。赵老师课的优点可能是希望靠近前沿问题，选材也比较用心；但讲课上可能还是很难评价，感觉没有讲出essential的分析的想法。知识上确实学到不少，但自己对这个东西的理解还是太有限了。