2021秋 2020春 课程号：MATH6401P01
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：一般
- 收获大小：很多
| 选课类别：基础 | 教学类型：理论课 |
| 课程类别：研究生课程 | 开课单位：数学科学学院 |
| 课程层次：硕士 | 学分：4.0 |
考试与给分
赵晨老师的《多复变函数论》期末考核主要以期末考试为主，作业较少。期末考试前老师会透题，考试内容主要为背诵题，考试时间一个半小时，强调记忆和手速。给分略有上调，评卷较为严格但总体给分不错。有同学提到：“期末卷面88，总评92。”尽管老师改卷严苛，但成绩调整后较为令人满意。
作业
课程期间作业较少，大部分是书上习题，比较容易完成。例如，有同学表示：“作业基本就是把书上一些东西抄一抄，比较容易完成。”因此，课业负担不重，但建议课后花时间理解和消化课程内容。
教学水平
赵老师的讲课内容丰富，涵盖了多复分析与多复变的最新前沿。但是，课堂中老师以抄写讲义为主，学生容易感到枯燥。例如，有同学提到：“上课时老师会把要讲的东西抄一遍再念一遍，使得听课的人可以在老师抄黑板的时候小憩一番”。尽管如此，课后上传的讲义对复习和理解课程内容非常有帮助。
课程内容
课程内容极为全面，从基础到进阶，涵盖各种重要定理和最新研究进展，涉及L^2 理论、多复变几何、全纯函扩展等各方面。内容容量大，需要前置课程复分析、高等实分析等作为基础支持。一位同学总结道：“这是一门非常综合的课程，内容容量较大，多复变是21世纪的热门方向。”尽管内容量大，但课程的设计有助于学生了解多复变研究的核心问题和最新进展。
总体建议
对于有志于基础数学尤其是分析、几何、代数几何等方向的同学，这门课程强烈推荐。课程虽然难度较高但能提供大量有价值的知识，使学生了解现代数学前沿。同时，建议在选择这门课程之前确认已掌握足够的前置知识，与此同时，课后认真复习以充分吸收课堂内容。总结来看，这门课最适合愿意挑战自己并深入了解多复分析及其应用的学生。
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：一般
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：很少
- 给分：一般
- 收获：很多
总述：这是一门非常综合的课程，内容容量较大，多复变是21世纪的热门方向，其实这门课应该开两个学期，一个学期实在讲不了多少东西。本人是在大二下学期修读的这门课，给我的感觉难度中等偏上，想学好这门课需要花费比较多的时间。
前置知识：复分析，高等实分析，泛函分析，偏微分方程，交换代数，同调代数（主要是层论部分），如果会一点代数几何更好。
起源：多元全纯函数的Hartogs现象，Levi 问题。（推荐书目：萧荫堂《多复变函数论》）
这是多复分析区别于复分析的起点，使得多复分析不再是复分析的简单推广，而成为单独的数学分支。由Hartogs现象引出的第一个核心问题就是C^n中的Levi问题：给出全纯域的几种等价刻画，证明全纯域，等价于全纯凸域，等价于多次调和凸域，等价于拟凸域。第一部分是Cartan-Thollen 定理：全纯域等价于全纯凸域。证明的关键是Runge 逼近。证明全纯域是拟凸域，需要用到多次调和函数的构造技术，这一部分初学时一定要认真对待，不能只记结论。多次调和函数可以把一些复的问题转化为实的问题，并且在复几何中也经常用它来构造度量和曲率。Levi 问题是指拟凸域是全纯域。证明的核心是利用Hormander L^2 理论。
入门：解析凝聚层，Oka 三定理。（推荐书目：Noguchi）
近代多复分析是复流形上的多复分析，将全纯凸的概念推广到Stein流形。Oka 在研究第一和第二Cousin问题时引入了解析凝聚层的概念，这是复分析发展的一个里程碑。可以这么说，理解了解析凝聚层和Oka 三定理，复分析才算入了门。利用凝聚层的上同调理论可以证明Oka-Cardan A B定理，这是多复分析最重要的定理之一。不仅如此，Oka-Cardan 定理还在代数几何，偏微分方程，Sato’s hyperfunction 理论，D—模理论，表示论中有重要应用。
L^2 理论：推荐书目：（Demailly or Berndtsson）
L^2 理论是研究多复分析的非常有效的技巧，它起源于偏微分方程，目前关于L^2 理论的研究有很多流派。比如：什么流形是Stein 的？（Levi 问题）什么流形是代数的？（Kodaira 嵌入定理）这些问题的解决背后都有L^2 理论在发挥作用。利用Hormander L^2 理论可以讨论一般复流形上的\bar\paitial方程的可解性问题，Skoda L^2 理论可以解决Bezout方程，利用Ohsawa-Takegoshi L^2 理论可以讨论子流形上全纯函数的延拓问题，给出Kawamata-Viehweg 形消失定理和Kodaira 嵌入定理的分析证明。最近一段时间，Demailly，萧荫堂等人关于L^2 理论都作出了非常好的结果。
Plurigenera：
Invariance of plurigenera可以说是近二十年多复变中最好的结果。核心是利用Ohsawa-Takegoshi扩张技术。Ohsawa-Takegoshi扩张本身也是处理多复分析问题非常常用的技术手段，关于这一部分，我建议直接读原始论文：萧荫塘1998年的论文：Invariance of plurigenera和Paun2007年的论文：Siu’s Invariance of plurigenera : a one-tower proof。在代数几何，极小模型理论，双有理几何等领域，都可以见到Plurigenera 的应用。
课程最后，赵晨老师还介绍了近期的一些成果：Demailly-Kollar猜想与Jonsson-Mustata猜想的证明，以及目前多复变的一些前沿问题：Fujita猜想，Itaka猜想等等。
多复分析目前仍在发展中，很多理论尚不完善，也有很多开放性问题。笔者的多复分析目前尚处于入门阶段，在此只能非常粗浅的介绍一下笔者所了解的东西。
期末考核：本课程作业很少，一整个学期就布置了几道题，所以总评基本就是期末成绩。期末考前老师透了60分的题目，你只要背了，及格肯定没问题。这是今年的多复变期末试卷（供大家参考） https://pan.baidu.com/s/1CpSeGiNafy_K_TVLmdgfRQ 密码:bph8
最后我的期末卷面88，总评92。（赵晨老师卷子改的比较严，但给分不错，略微上调了一点）
这是一门科大为数不多的可以接触到近代数学前沿的课程，对于基础数学方向（尤其是分析，几何，代数几何等方向）强烈推荐！
