从今年开始,法班分离了习题课与正课,但是两者事实上又是有机结合的整体,所以我就随便找了一个开始评课,,,(这次不重蹈分析III评课的毛病,杂七杂八少写点)

本课程分为三部分,第一部分是Lebesgue积分的基本理论,第二部分是基本的概率论知识,第三部分是基本的常微分方程的知识,分开简介一下.

Partie 1. 线路大概是从抽象测度的定义开始,先定义正值的积分,得到单调收敛定理和Fatou引理,然后定义\(L^1\)L^1空间得到控制收敛定理,至此得到三个主定理.作为应用,定义欧氏空间中的Lebesgue测度,引入外测度的概念,再定义了Stieltje积分和得到Riesz表示定理.后续的流程是定义Banach空间L^p,证明了一系列稠密性定理,证明Radon-Nikodym定理.积分部分的最后一个大块,在σ-有限的测度空间上定义积测度,证明了两个Fubini定理.(这个从定义到证完Fubini只用了一趟三节连的课,殷老师震惊,后来得知不是在最一般的空间上做的.)时间原因没上符号测度与复测度,讲完积分换元公式就结束了.

下面给出了具体的课本链接:(概率论也用的这本)

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~jflegall/IPPA2.pdf

注意,这甚至还没普班内容多()因此殷老师觉得总不能学得比普班还少吧,这肯定不行.习题课补充了Littlewood三原则剩下的Egorov定理和Luzin定理,L^p空间更多的不等式,造了一些诡异的Borel集,证明了Vitali覆盖引理,证明了Lebesgue微分定理,证明了单调函数几乎处处可导,简介了有界变差函数和绝对连续函数的性质(主要是为了微积分基本定理),以及足够多经过他挑选的习题.

Partie 2. 首先是把实分析的语言全部翻译到概率论的语言上去,定义了一些概率论中才会比较出现的概念(比如随机变量生成的σ-代数什么的).然后是一块关于独立性的基本知识,从事件的独立性到σ-代数的独立性再到随机变量的独立性,然后考虑多个独立随机变量反过来生成的σ-代数的独立性,et cetera.接下来定义何为依概率收敛(依测度收敛)和依分布律收敛(弱*-收敛),当然其实都是实分析的老朋友()通过Kolmogorov定理证明强大数律,通过Levy定理证明向量值的中心极限定理,概率论部分也就结束了.

殷老师本人对概率论的了解并不那么多,所以这一块补充知识没那么丰富,主要以做题和感受为主,感觉没有讲Wiener测度这种还是有点可惜()

Partie 3. 从基本的解的理论开始,证明Cauchy-Lipschitz定理,使用殷老师认为的技巧手段证明了Peano定理,证明了极大解的存在性定理,证明了紧方法(分析解是否爆破的一个东西),当然还有标准的Gronwall不等式这一套.第二部分是线性ODE,表面上是ODE实为复习Jordan标准型理论()第三部分介绍自治系统,向量场生成流,线性化定理,分析线性自治系统解的稳定性与渐进稳定性,分析一般系统的解;最后由于时间不足就没有讲Lyapunov函数那一套,比较可惜,只在习题课上见到一两眼.

前面说到殷老师认为法国老师用的比较技巧的手段证明了Peano定理,然后他在习题课介绍了一条康庄正道.我们这部分的知识补充跟随着GTM182的流程,先讲边值问题,基本解与Green函数,证明了Brouwer和Schauder两个不动点定理,用后者证明了Peano定理,最后还讲了连续紧自伴算子的谱的一些性质(那是在7.13的晚上,分析考试考完了,老师还在坚持为我们补完最后一节课,比较泪目)

分析分也出完了，来评一下课（比较难绷的是期中比期末出分还晚）。

分析IV前半学期还是Stéphane，但后半学期老师是Igor。两个老师讲课都很细致（或许分析老师都这样？），下面来分别说说。

Stéphane，又称4n（因为他的名字里面有4个n）。他讲的部分主要是实分析与概率论初步，但其实概率论就上一周，就相当于讲个定义而已。考试的话一般喜欢引用一些经典结果，比如Hausdorff测度，Jordan测度这种东西，我个人还挺喜欢这种出题形式，相当于是用你课内所学的知识来进行研究。但是给分的话，相对于其他老师，Stéphane可能会比较杀（可能分析老师要求会比较严格），不过最后还是给了我16.2（话说这也是第一次在你仏成绩中看到这种小数），我真的哭死（话说我分析排名居然比代数高，是不是有点过于抽象了）

下半学期的Igor，人很好而且个人主页很有意思，可以看看老师的过往经历。貌似Igor以前是在高师就读，还是Rosso的学生，所以某种程度上来说，他其实是我们的学长（bushi）回到课堂内容，Igor主要讲概率论和EDO，概率论大概讲到按分布收敛就差不多了，EDO则是讲到Lyapunov定理。他甚至还花了一节课用Python给我们演示，可惜我对此一窍不通，哭哭，最后一节课也讲了一些EDO的应用，包括经典的谐振子和一些其他的经典模型，不得不说Igor确实是灵魂画师，🐺和🐏画的还是挺抽象的。此外其实Igor本体是猫猫（bushi），因为每次他写错了猫猫都会叫PS：老师的猫猫真的很可爱😍说到考试，其实Igor前面大部分考得都相对基础，最后两道大题会相对而言比较难，可惜我微分方程学得一塌糊涂，概率论相对还好一点，结果考试最后一题概率论全丢，微分方程那道也就写了一半，只能怪自己复习不到位😭😭😭不过Igor是奶王（Stéphane能不能学学人家啊🤣），给了一半的15+，最后给了我16.5，我只能说Igor是我叠🥰

最后来点推荐教材，实分析和概率论看Le Gall就行，EDO是Davide Barilari的Équations Différentielles