看了一下24年的期末试卷，可以说质量非常好，需要一定的理解深度，尤其是前三题。T1算是Girsanov测度变换（这个变换在research中非常重要！实际上hoeffding ineq证明里面也有提及）在Brownian motion里最经典栗子之一，在这里实际上按定义test function展开变量代换一下就能出来；T2用常规的分析标准手法+BM最基本的性质就能解决；T3可以接着T1通过Girsanov测度变换后再构造鞅（martingale）利用标准方法解决，也可以利用T4的结论（legall貌似也有（类似的）作业题）做。如果只是硬背结论没有仔细思考课堂内容的话做前三题还是比较棘手的。另外conditioned on yss出卷结合授课和给分来看的话比两年半前的高钙确实长进了很多。

这学期刚好去北大旁听学习xwj老师的随机过程论，结合这门课原有的大纲和授课内容想再提点建议：这门课各部分的理论框架整体来说很完善，也把细节讲得很清楚，但这门课把超过八成的时间和精力都放在此了，对鞅，马氏链，布朗运动等的例子和应用讲得过少。我认为今后授课在这方面上还可以再侧重一些。

• 关于鞅，实用随机过程里比较侧重投骰子/花样问题，比如某个有限序列出现时间的expectation讲了若干方法，讲到鞅的时候给了一个构造鞅的方法，当然还有其他例子等等。我认为这门课也可以在这里简单提及一下，至少给一些经典且深刻的例子来加深对鞅的理解是很有必要的。实际上research中最困难也是最origin的点在于如何在问题情境中巧妙构造鞅或者差不多是鞅剩下可以被一个校正子控制等等，实际上这也可以看成一种coupling的方式，运用鞅的结论给出证明是standard，可能会涉及一些技术细节但应该不是最本质困难的地方。
• 马氏链在random walk的应用也可以再深入讲解（比如参考durrett5.4，5.5节），另外如markov chain的generator可以看作discrete laplacian一些和离散PDE相关的结论（这是lattice model里最基本的常识），我认为也可以在课堂上补充（lawler的intersection of random walk这部分写得很全，可以参考），与之对应的连续情况下亦成立：Brownian motion的generator就是正常意义下的laplacian。
• Brownian motion和连续鞅讲完可以额外上一节课或者开一节习题课专门讲讲legall那些习题，和课堂内容有个比较好的衔接。这几道题难度总体很大但绝大部分都是最经典的例子，否则很容易因为考前背答案然后考完试完全扔掉了（比如我。。。下面提及的Peter Mörters, Yuval Peres的Brownian motion这本专著算是精炼的BM百科全书，感兴趣着可以学完直接慢慢啃。

另外强烈安利一下你科网络课堂课程：王冠扬学长讲授的“马尔科夫链里的耦合方法”。其中讲了耦合及其相关的证明方法，mixing time，以及一些模型的栗子及耦合在其他学科（如统计MLTCS等）中作为算法的应用。耦合的具体实现往往也通过构造某种“算法”/regime来完成，里面的idea私以为是很概率的，比较适合作为本课程的衍生内容。

前段时间看到一个关于鞅收敛结论总结的outline，感觉比较完整了，在这里扔一个。事实上从分析角度看某种意义上similar with Hardy-littlewood极大函数的结论（包括一丢丢similar with插值定理的idea）

给概率壬推荐一些这门课衍生出的参考资料：

布朗运动是现代概率论中非常基本且重要的模型，里面涉及到的很多问题和idea对于今后研究纯概率领域都是非常有帮助的。这里非常推荐Peter Mörters, Yuval Peres的Brownian motion专著 Brownian Motion.pdf，甚至可以尝试完全啃下来。

durrett5.4节后半部分讲了在Z^d上更general的random walk探讨了不同d下常返性的条件，里面用的证明技术都是basic的概率和分析，值得一学。另外若深入了解随机过程和马氏链理论，尤其是离散概率这部分，入门的话先可以看一下p大陈大岳老师的自编教材《应用随机过程》随机过程_陈大岳.pdf（请注意，这门课在p大是具有相当历史的硬课，跟你科翟应随完全不是一个量级），里面也给了不少参考资料（对（modern/群上的）随机游走理论感兴趣者教材里都有推荐）。此外，想学习 mixing time相关的内容（尤其是直接尝试对标research的话）非常推荐Levin-Peres-Wilmer 的Markov Chains and Mixing Times Mixing Times of Markov Chains_ Techniques and Exa.pdf。可见大佬Yuval Peres不仅概率论research做得很顶流，而且writing也非常之好，值得钦佩。大佬主页上自己编写的各种专著都很推荐大家去看看。

此外，对随机分析感兴趣可以看看Martin Hairer的SPDE讲义 SPDEs_Course.pdf 写得非常好，涉猎了很多topic，非常值得一读。

张老师大善人！！！

授课内容基本与往年大纲一致，进度适中。这门课风格和本科应随完全不同，整个内容是在高概语言基础上建立而成，抽象程度和语言严格化上都比应随做了更高的要求。老师基本上把每个知识点中最核心的部分都讲得很清楚也举了实例，而不像应随一样沉迷于各种寄巧和小结论（像这里布朗运动讲了零一律以及通过反射原理得到sup_Mt/停时T_a的分布后就可以a.e秒杀应随里的一些小结论）

老师上课节奏很舒适，很流畅，板书也非常清晰，推导过程中遇到难点时也会反复解释。总体来说体验效果很不错，也算比较标准化的授课模式了。

可能是因为老师不久前从英国回来，第一次在国内正式授课而不太了解国内高校学生的授课情况（总体国外高校课堂活跃度越高于国内），所以考（gei）试（fen）十分水（lao）！期中大部分是原题而且原题难度也不高，特别送。期末没期中那么送，但也不难，只要把基本概念理解清楚，作业题和笔记好好看，考试把细节注意好就能拿到高分。

给分比例是平时：期中：期末=2：4：4。我期中有一道很简单的马氏链题目翻车了，94；期末100，最后总评98！感谢张爷爷让我拿到妮可首个数学课期末卷面满分和最高数学课总评！

总之大力推荐！

这学期去得最多的课，终于结课了。好像翘的课次数和本科某门必修课去的次数快一样多了。课还是很不错的，尤其是在同行衬托下。不给10分是因为觉得不够精彩，仅限于不错，能学到东西，而且有用，建议都选，早选。

传一个notes供参考，文件很大。goodnotes压缩也压不动。home.ustc.edu.cn/~matchbox/ASP_notes.pdf

这是一个总结性的大纲笔记，可以转成思维导图。https://www.mubucm.com/doc/7rUU6LCTrMB

关于课程学习，算是比较舒适，老师上课节奏把握得不错，让人有些听的欲望，摸一会鱼也能跟得上。

先简单聊聊课程内容。老师基本是完全照着书讲，但是听课会比自己看书舒适很多，课堂也会有一些不明确的内容，自己看书补上效果更好。有些内容我也理解得不够透彻，如有错误或不恰当的地方望指正。

期中前：

• 离散时间鞅和离散时间马氏链。这一部分算是一个入门，学到后面再看会很容易，因为后面连续的内容大多使用离散的逼近。难点在于不会高概（球球数院好好开高钙）：测度论都不太会，比如什么直接用单调类定理不妨只证明，每次只能承认，或者花很久用一个牵强的理由把自己说服，也不算难吧。还有条件期望，和用带有Filtration、stopping time的语言来刻画鞅和马氏链等等。但归根到底只是一个“语言”上的难度，熟悉了以后就好很多。后半学期听说本科某课也在讲鞅，但没讲filtration？?还是叫什么关于 \((X_1,\ldots,X_n,\ldots)\)的鞅？甚至stopping time只是提了一下，证明完全没有，没有让同学看到这一工具的强大性，不知道意义何在，大三的学生干嘛要学那一套鼓捣条件概率，有一份好讲义高中生都能算明白的东西？当然，很多同学学那门课算不清条件概率，数学系的同学确实不会喜欢那些繁琐无聊的东西，讲义也不行，被这门课内容吊打。

期中后：

• Poisson过程：这部分张老师只用了一节课，但我觉得讲的东西足够了。看见那门课的小o就烦，放过我吧…… 
• 布朗运动：作为连续时间鞅的代表，也能产生连续时间鞅，提供了很多例子，理论证明也相当漂亮。从定义到构造到\(\sigma\)代数\(\mathcal{F}_{0+}\)的01律再到作为应用的一系列轨道性质，最后介绍强马氏性，整套下来一气呵成，完全碾压那门必修课。
• 连续时间鞅：这部分就是把离散时间的结论通过逼近再走一遍，没有太多新的思想，但为了这门课的完整性也是必须要了解到东西。那段时间因为事多也翘了几次课，书上定理证明写得很清晰，可以看一遍。
• 一般马氏过程：课程最后最精彩的部分，一次迟到到教室看到一堆堆算子和“预解式”，Resolvent identity？\(R_\lambda-R\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu=0\)以为是错走进了泛函分析的教室。还好泛函没学好不怎么影响这部分的理解，我也无法解释泛函对于随机过程的作用究竟有多大，希望最后能学明白吧。这部分的顶峰大概是研究在一般的转移半群和Feller半群下不同的研究工具：(Feller)转移半群\(Q_t\)、预解式\(R_\lambda\)以及无穷小生成元\(L\)（对，就是某门必修课连续时间马氏链要算的那个G）。这里其实看起来蛮tricky的证明背后的观点都不难想到：\(Q_t\) 便代表转移概率，预解式\(R_\lambda\) 是转移概率作用到某个有界连续函数上的Laplace变换（其实这里直到复习本科那门必修课我才想明白背后的原理，所以那个课也不是一无是处），\(L\)是\(Q_t\)算子在0处对\(t\)的导数，对于位置坐标\(x\)来说大概是一个二阶微分算子，从布朗运动这个例子中得到的\(Lf(x)={1\over 2}f''(x)\)可以明显感觉出来(本科那门必修课似乎也提到了布朗运动的转移半群满足热方程，但证明方法只是简单的分别对\(t,x\)求导验证，我想大部分同学应该不会懂得其背后的含义，当成一个不知所云的课后练习题)。第一遍学的时候还会学到一个令人惊奇的性质：预解式作用在\(Lf\)上，大概等于\(f\)（相差一个带常数的项）：\(R_\lambda (\lambda-L)f=f\)。我个人理解这其实就类似数学分析学的对于一个导数\(f'\)作Fourier变换，结果等于一个数乘以\(f\)的变换。这种积分求导与乘除法相互转换，正是Fourier变换与Laplace变换最精彩的性质之一，体现在这里便是\(R_\lambda Lf=\lambda R_\lambda f\)。然后课程用这些工具（线性算子）来刻画马氏性、强马氏性以及分析马氏过程的一些性质,比较精彩的是几个“鞅性”。整理下来收获颇多。课程的最后简单介绍了跳过程和Levy过程作为马氏过程的两个例子，跳过程本质是一个马氏链，核心是证明出来\(X_{T_1} \)和\(T_1\)独立，然后算一些具体的算子结论。Levy过程也是经典且一般的随机过程，平稳独立增量大概可以使它涵盖布朗运动、Poisson过程等。不过张老师对于Levy过程转移半群的Feller性质好像说的不太明确，至少没有明确把\(Q_t(x,A)\)的可测性证明出来，而书上将其作为强连续性的推论，也是个有趣的想法。到这里，那门屑必修课的内容除了最后的随机积分应该被完全涵盖了，而且是降维打击。
• 个人认为随机积分也是有点用的，这门课限于课时没有讲到，不过没有遗憾，反正有门必修课逼着我学。

值得一提的是期末考试变难了，不再像之前的评价和期中那样纯放水（一眼看过去所有题都会做不到一小时写完交卷）。但也不太难，鞅论复杂的定理证明都可以完全不会，会用就能考。最后一章一般马氏过程学起来蛮有趣的。期中期末拿高分都挺难，这学期助教似乎是依据步骤和关键词给分，这一点不太能理解，可能就是期中期末把所有题都做出来最后都不到90分，不过也无所谓了，差不了多少。

一学期的作业全都有答案，每次很快就能抄完，想看懂的话可能得多花点时间（完全不会自己写作业的）。这和其他课比起来也舒服得多，毕竟大三下没什么时间上课写作业。

总的来说，这门随机过程与本科某门类似名字的屑课相比，含金量大得多，尤其是鞅论的内容。马氏链的知识我觉得如果不做相关领域，只知道个马氏性和平稳分布也就差不多了。偏理论的learning的paper中也可以看到鞅论的应用（主要是停时，鞅收敛等的直接应用），我所知道的最著名的是关于线性bandit的2011年最经典的一篇paper: Contextual bandit with linear payoff functions. 这篇文章引用量近1000，然而它最伟大的贡献便是将鞅论引入到了bandit理论的研究之中，摒弃了之前抽样独立同分布的错误做法。从那以后所有关于这个话题的文章都在引它。引的就是一个用了停时证明鞅收敛的定理，由此得到某个形式的concentration bound。所以学起来感觉似曾相识，又会有很深入的理解。之前和做统计的老师交流，他说学好鞅论读统计的paper会顺利很多，我没读过什么统计文章不作太多评价，只知道有关鞅和鞅差序列的concentration inequalities也相当有用。这些都是那门课完全做不到的。

最后，不装了，我就是来黑应随的，祝它早日被高级替代，当然这需要后来者的努力。

老师是刚从英国回来的概率学家，人非常可爱：）

虽然老爷爷讲课慢条斯理的，但本人觉得收获还蛮多的，建立在高概基础上的这套严格语言真的比本科生随机过程学起来舒适多了。

贴下老师给的课程简介里的信息：

教材：

Durrett - Probability: Theory and Examples, Version 5 (PTE5_011119.pdf)

Le Gall - Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus

授课计划：

第一周 - 第四周: Durrett, Chapter 4, Martingales

第五周 - 第七周: Durrett, Chapter 5, Markov Chains

第九周周二: Durrett, Section 3.7, Poisson Processes

第九周周四 - 第十一周: Le Gall, Chapter 2, Brownian Motion

第十二周 - 第十四周: Le Gall, Chapter 3, Filtrations and Martingales

第十五周 - 第十六周: Le Gall, Chapter 6, General Theory of Markov Processes

（本学期老师应该是完全按照这个计划完成了教学，让我想起上学期yss高钙学期初画的饼与现实的巨大差距，令人感叹，，，

​

土老师大善人！

虽然本壬未曾想过走概统方向，但因为受到了ldz的推(gu)荐(huo)，还是在大二下选修了这门课。整体感受十分舒畅，但可能是因为没有上过某应随，马氏过程那块直觉十分有限，许多结果理解起来还是有一点困难。提前选这门课的同学或许双开应随或者提前看一下初等的书会更好。至于高钙，并没有本质上用到多少，毕竟你可以直接承认许多大定理。

课程内容前人之述备矣，不过还是觉得土老师可以讲快一点然后把随机积分覆盖掉。

这门课作业还是有一定难度的(吐槽一下网上那份 le gall 的答案写的不太行)，但考试十分白给，改卷对于过程的要求十分严格(严格到让人怀疑这是不是数学考试)。

今早查其他课成绩时发现这门课也出分了，期中98，期末100，总评100，感谢土老师给了我入科以来首个满分总评！(zlf欠了我一个，笑)

这是一门讲课很宜人而且考试比较轻松的课。老师十分可爱且温柔。待有闲工夫的时候填坑。

前人之述备矣，不想填了。笔记没准哪天会传到个人主页上。简略些的话，大概就是要说：“好！选！”

张爷爷！爱了爱了！

这门课应该算比较硬核的课程了，但很多结论其实十分有趣，还有很多应用实例（不像另一门概统选修课，上着上着就迷茫地陷入一堆式子之中×）。

上课就是内容和书本完全一致，但老师每一步怎么推导都会很详细的解释，所以完全不用担心跟不上。人到大三下，这门课可以说本学期唯一一门能持续保持听课状态的课程了！

重要的是，考试炒鸡简单和基础，约等于课上知识点和作业题默写，完全不必担心考的不好。但要拿高分一些细节还是要留意。

课程内容与应随有重复，布朗运动和离散鞅论基本是真包含关系，对应随复习很有帮助。

我唯一感到困难的是前半学期durrent上的作业，经常一道题想一小时还想不出（呜呜喵），只能靠学长答案完成。。

所以，如果明年还是张爷爷，且考试难度不明显变化，强烈推荐选啊！（特别是与其他几门概统选修课对比）！（不过话说很多人今年没选这门课，是不是被上学期某门数院研究生课老师搞怕了的缘故，呃呃呃~~

中规中矩的课，没有太多亮点也没有太多槽点，内容也都是随机过程入门的标准内容。等其他课考完试我可能会把自己整理的笔记传上来，供交流学习。

教材的话，durrett第四第五章应该是拿来学习离散鞅论和马氏链的标准内容。不过也有一些槽点，例如第四章压根没提停时对应的sigma域然而课后题里却出现，第五章很多符号压根没解释就拿来用，疑似是书再版增删内容所导致，读的时候注意一点就好。布朗运动，连续鞅，连续markov过程用的是GTM274。这书优点是特别好读，内容简练，废话不多。不过深度可能就欠缺一点，例如连续markov过程那里就很草率，可能要自己专门找书去看。

另外再推荐几本教材：

Continuous Martingales and Brownian Motion ，by Daniel Revuz & Marc Yor

应该说是GTM274的升级版，前三章涵盖了布朗运动，鞅，马氏过程的基础知识，但讲的内容更多一些。（实际上GTM274上好多课后题是从这里摘的）后面则是随机分析的内容，非常好的一本书。

Continuous time Markov Process an Introduction，by Liggett

讲离散状态空间上连续Markov过程，也就是应随里面那些内容，只不过严格化了。第二章讲从两个角度构造Markov过程（迭代法求解Kolmogorov向后方程&直观的概率方法），第三章则是Feller过程。比Chung，Freedman写的经典教材容易读很多。

Foundations of modern Probability，by Kallenberg

很有名的一本字典式专业书，内容多且艰深。不过这上面关于随机过程章节写的都很不错，感觉第6，7章（鞅，Markov过程），11章（Gaussian过程，布朗运动），13章（Levy过程），17章（Feller过程）都蛮值得一读，作为补充参考也很不错。

最后，这门课考试灰常灰常的水，期中期末我都一小时交卷走人了，虽然还是被扣了海量步骤分，但最后也摸了一个97，心满意足。（感觉张老师有点摸不着学生的底细，他上课时常会提问一些很容易的问题，然鹅底下无人应答，可能老师据此降低了考试的难度。然而事实上大家似乎只是不想说话。）

感觉是数院概率本研贯通课里面上的最好的一门课程了。

关于这门课程，个人认为内容和体验上都爆杀应随（除了少了一部分随机积分）；之前有没有学习过高概并不是很重要，因为老师在前几节课会把要用到的内容讲一下，不过如果熟悉了高概的语言的话，对于条件期望这些内容的理解会顺很多。

个人认为前半学期课程的难度主要在鞅上，不过幸好期中考试真的非常白给，平时有好好的看作业题基本就能全部写完；后半学期无论是布朗运动还是连续马氏过程刚开始学习的时候都觉得很难，不过到最后熟悉了内容后回过头看就不是那么困难了。

Btw，因为数院ntjwc不能用随机过程高等替代应随，十分建议学习应随之前首先学习随机过程！尤其是应随变成三学分后，真的是什么都讲了，但是什么都没讲。并且随机过程上课体验、考试和给分都很友好。

总之，这门课1000%的推荐！