才想起来这门大三上体验最好的课程之一还写完评价，特来补齐。

虽然上学期被某门H课击而破之，拓扑还是头铁选了H。对陈杲老师水平的钦佩是一方面，主要是这样可以周五没课（x）

这个班总体实力还是很强的，基本是华班的金字塔尖和预修佬，还是能感觉到些许压力的。

不过第一节课听下来感觉很好，老师看起来不苟言笑，但多少带点幽默。而且代沟较小，讲课风格更加平易近人，总体还是很舒适的，不换了就。

第一次听纯英文版书的课，发现一个巨大的bug：

英语的定语在后！

这导致我多次写完一个名词，被迫划掉，然后把定语写上。

附上老师画的“树”（后排左一）

不得不说，cg不愧是和我们年龄十位数字相同的老师，a.e.没有代沟。上来第一节课让折多面体，对于那些对“拓扑”这一概念只有朴素认知的同学很友好，容易上手。

整个课程是完全按照 Armstrong 讲，大致能 cover 前五章+第十章覆叠空间，最后通过 Morse 理论证了闭曲面分类定理，另外还补了 Van Kampen 定理。

Armstrong 的第一章对于初学者很友好，用最简单的方式把点拓的主要知识点串了一遍。大部分课程，起码学了半学期才能对于“要学习什么东西”有个通透的认知，但是 cg 把第一章讲完，我们就大致了解“拓扑”到底是什么东西、有什么作用。

授课顺序和教材基本一样，老师大部分时间可以做到脱稿讲，偶尔会拿起书看一些很复杂的叙述。但是与那些念课本、念 PPT 的老师不同，cg 能随时用他自身的理解、通过通俗易懂的方式把很绕的概念讲得通俗易懂。例如名场面：

连通相当于两个人关系很亲密；而道路连通，像是有一张结婚证把两个人联系到一起。

如果一路上的弯弯绕绕太多，有情人未必终成眷属。（经典的那个 sin 1/x 反例）

但是，如果心胸开阔一些，还是能够做到的。（连通的开集一定道路连通）

以及讲到基本群需要商掉同伦的闭曲线时

你从宿舍跑来教室上课，再回去，是一条闭曲线。

结果有天你刚出门，想起东西落在操场，去操场拿到再来教室上课，结果还是一样；就算你心血来潮到操场上跑两圈再来上课也无所谓。

瞧，这学习兴趣不就一下子有了？

杲拓扑的压力比火拓扑应该是轻松不少的，当然也有弊端，就是火拓扑中的单位分解、Urysohn、A2之类的东西没有讲到。但是整个课程体系是自洽的，不会出现某个地方必须得“跳过去”的情况。

Armstrong 上很多跳过的步骤，cg 上课都会补上。比如邻域公理、开集公理、闭集公理、基公理的等价性，每一条都详细验证了。这种小细节，平时不注意，用到的时候最容易出问题。笔记跟着板书来一遍，也会有个印象。考前自己再稍微想想就不会忘了。

cg 秉持着每次课有且仅有 2 道作业的原则，从来没违背过。大部分是 Armstrong 的课后习题，还有少量检验类的题目，比如验证 Klein 瓶的基本群。当然，Armstrong 上的有些习题也没那么简单，比如某个 Lens Space 的构造，以及那个 Dunce Hat，都比较烧脑，但仔细想想还是蛮有意思。

cg 对于作业的要求是比较严格的，周一下课助教离开前必须上交，否则不接收。不过我有次发烧没去上课，晚上习题课去交也是没问题的。个人比较喜欢这种严格的迟交扣分制度，就算那个周再忙再摆，也会抽出时间按时把作业写了（当然量也不多），起码会给自己提个醒，不能掉进度。

特地夸一波助教

聂助教是我大三上遇到的最优秀的助教，没有之一。

每节课都回来随堂，早八也从不迟到。第一次课介绍的时候感觉有点腼腆，但课间去问问题，回答得很精炼，总是能切中要点。作为 cg 在科的第一届博士生，水平也没得挑，基本问不倒。有次有同学问了个刁钻的问题：“能否构造一对同胚的空间，它们之间存在一个连续双射，但逆映射不连续。”聂助教也是查了很多资料然后给出了构造。能认真及时回答所有课内问题的助教本来就不多，把额外的问题当回事儿，那就更可贵了。

作业判得很松，只要认真写完，即使有些很难的步骤没写出来也会给满分。当然，这并不是像同期微分几何(H)助教那样黑笔随便打个勾就过去了，而是仔细检查究竟卡在哪一步、用红笔写一些 hint，我们拿回来再一想可能就想通了。

另外，习题课安排得也很合理，真正地在“讲”作业，而不是念解答。由于习题课两周一次，作业量不大，把简单题一排除，可讲的东西也不多，但确实概率触发意外收获。比如“证明 Hawaiian Earring 与 R/Z 不同胚”，标准的方法是用紧性。讲完后，助教还顺便补充了用可数生成的做法。习题课最后会讲拓展，但选取的内容很合适，即不拘泥于课内，也保证了大部分同学跟得上，比如各种多边形表示、箱拓扑。

这也是我为数不多从未缺席的习题课！

虽然这门课是 H 课，但难点并没有很稠密。毕竟是一门几何课，很多东西可以直观地理解。

个人认为的难点，前半学期在于拓扑群和群作用，后半学期在于同伦和提升引理。

和实分析一样，想把拓扑学明白也应该多接触一些例子或反例。这里贴一个网站，能查到各种有意思的反例

Home | π-Base (pi-base.org)

拓扑群这块的证明值得探究细节，而提升引理更重要的是会应用，别像我一样期末考场手推映射提升引理（虽然也是满分）。

哦对，最后讲闭曲面分离定理，没有用传统功夫三角剖分，而是用 Morse 理论分类一维、二维流形，用了不少微分同胚的结论。中间 cg 有节课出差，兵子来代了节课，讲了点三维流形的东西（虽然大部分时间在侃大山）。然后也成功把 cg 布置的任务给忘了，期末考到后半程才发现没讲三维连通和。

"我是个大坏蛋，判断题里设了很多坑"

期中期末都是 4分×10道选择题外加两道大题，一道送分一道上强度。判断题确实容易“给人气笑”：考场上没反应过来，一对答案才发现错得这么明显。我知道有些几何高手也踩了不少选择题的坑。期中期末都有一道题，看起来很对、实际上也对、但上课没讲的结论，一起疑心就寄了。

期末的难度略微超出了 cg 的控制，最后一道覆叠空间的 6 问大题，后面几问想不到那就真想不到了。

本来计划的算分公式是

max{⅓ 期中+⅔ 期末, ¼ 作业+¼ 期中+½ 期末}

前一个是为了方便叠课和重修人，允许不交作业。

但是由于期末均分比较低，最终期末卷面分是经历了一次钱学森再放入计算，并且小数点不舍只入。

最终优秀率应该是 50% 多，我也拿到了 4.0，还算不错。这也说明了听得最舒服、付出精力最多未必是这学期成绩最好的，当然也算无憾了。

优秀的老师能够把考题出好，在不调分的前提下就给出相当合适的成绩

cg 也是为数不多做到了这点的老师。

虽然不知道 cg 下次开课是什么时候了，但还是十分推荐。如果大一下学了一些群论，那么大二来选也是没问题的。

至于大一…你先别急！

最后还是点名某大一，天天坐第二排，一个人占 2-3 个人的位置，爱跟老师抢话说、课上为所欲为各种怪动静、期中退课还要来考期末还要感谢老师捞捞、天天下课去问些没啥意思的问题且不让别人问…此人将课堂体验拉下一个档次。希望下次 cg 开课不会有此类人群出没了。

这是陈杲老师在科大带的第一门课，本学期助教为曾相如（zlsyyds!!!），与往年火箭老师的拓扑学(H)课程相比内容改动较大，点拓部分删去了可数可分公理以及Tychonoff，Arezala-Ascoli，Stone-Weierstrass，Urysohn等等（可能偏分析的）大定理；Tietze，Brouwer，Jordan也只讲了弱化的低维版本（不过其对应的本质思想也可见一斑了）。课程后期主要讲解了单纯复形和闭曲面分类定理，并简单介绍了同调群（对应课本8.1~8.3，考试不考察）（有锐评几何拓扑壬一般都不care分析的东西，R^n甚至R^2，R^3中够用就行，虽然但是陈老师好像也是几何分析人？）。

陈老师上课严谨而不失幽默，大部分细节都会在课堂上讲解清楚（课程内容可能也正因此而显得略有单薄（bushi）），一般不left for exercise，除非真的很显然，即使不预习听课也不会有明显的gap。

zls水平高超有目共睹，习题课擅长即兴发挥），给了懵懂的我亿点小小的代数震撼，印象最深的是拓扑群基本群交换的这个证明Eckmann-Hilton argument，如果zls明年还带这门课助教十分推荐大家狠狠地选课！

感觉期中期末考题都比较基础，平时期中期末25 25 50给分也相当好（改卷尺度巨大放水，不调分），但是这并不妨碍我大寄特寄。期中被Jordan标准型薄纱，期末vk自由积写成直积痛失10+分，不过后来发现题目有问题后陈老师重新改卷，总评也被捞到了90，感谢陈老师大好人！！！

最后总结一下，欢迎大家修读陈杲老师的拓扑学(H)课程！

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btw：zls锐评以后直接大一上完全套拓扑（

在本学期（2022秋）一边上课一边更的，所以在本学期结束前评分什么的不必太care。一些很宏观的、关于老师课讲得怎样的问题可能也要到了学期末才能更新到。

来自物理学院学生的评课，也就是目标成为they physicists的人的评课。

所以数院同学如果觉得参考价值不大，大可掠过。不过貌似每一年都会有一些听拓扑课程的雾里人。当然，如果八卦雾里人怎么雾里看花的也可以康康啦。

可能与一些同学关于雾里人思考问题喜欢从直觉出发、数学则更喜欢严谨化、公理化构造有点微小偏差，事实上，我在物理学院的广义相对论课程上学习拓扑学时，是直接从指定开集来定义拓扑的（大概是尤承业老师书的风格），利用这种定义与以前的定义（比如什么叫开集、什么叫闭集、连续等价定义等）是作为课后习题来做的；而在这门课呢，陈老师选用的是Armstrong（又称“手臂粗”或“胳膊组”）的书，这本书第一章算是给读者一个关于拓扑的直觉的认识，所以我在这门课上反过来是先有了一些直觉的理解，在深挖数学形式。

以下内容是在上课时间歇性更新的，结课后可能会归纳一下。

第一周，老师从欧拉公式开始讲，使用的是Armstrong的书上用“树”来讲的方式，补充了Armstrong的书上讲述得过于简洁的地方，但这个证明与书上一样，老师没有给出极其严谨的证明（以数院人的视角来看）。在对polyhedra（顺便说一句，单数是polyhedron，老师经常不分单复数、第三人称单数等\doge）的定义里老师讲解得不是特别严谨（就连雾里人也察觉到了啦），我觉得不严谨主要在于两个方面：1.对vertices处多边形怎么相接没有讲清楚，这部分Armstrong的书讲得更加明白；2.没有强调是有限个多边形的collection，所以杠王（竟是我自己）就弄出些无穷个的情况了，比方说石墨烯。再介绍了欧拉定理之后，就可以对拓扑这种捏橡皮泥的艺术有个基本认识。由此引入拓扑意义上的一种等价——同胚——靠双向都是连续的双射bijection来实现。

欧拉定理后，老师讲解的第二个直观的例子就是，拿一根纸带，两端站起来可以得到什么几何图形。直接对接得到的是圆柱侧面cylinder，旋转180度后得到的是当年费曼用来撩妹的莫比乌斯带，那么旋转360度呢？莫比乌斯带和圆柱不是同胚的，这里老师先用莫比乌斯带上的蚂蚁来讲，再简介曲面的不可定向（感觉这部分只是为了拓展，在此作用不大）。旋转360得到的环容易证明与圆柱侧面同胚，但在三维空间里这却是不能用二维橡皮泥转化的（顺便说一句，橡皮泥这个观点似乎与莫比乌斯有关），为什么不能呢？老师给的理由是，你捏橡皮泥时，不仅要同胚纸带，还得同胚纸带周围的空间ambient space。老师给了在六维空间里可以实现这个转化的证明思路，这部分我不太听得懂，万一哪天范进中举般开窍了再来更（大概不会了……）。

在得到一个cylinder后，两端有两个圆环，它们也可以粘起来，这又有两种拓扑意义上不同的粘法，分别给出游泳圈torus和克莱因瓶Klein bottle。怎么得到的呢？先想象一个圆柱的侧面，两边有两个圆吧，沿着圆周可以各自取定一个绕转方向。我们把两边对接起来，就是要使得在接口处绕转方向相同。如果一开始两端选择的绕转方向相同，你会得到torus；如果一开始的绕转方向不同，你，作为三维生物，无能为力了，但“形式上”你得到了Klein瓶——这个瓶在三维里面是有自相交的。要避免自相交，可以去到高维实现（比如欧氏空间二维平面内，非平行直线一定相交，但到在三维空间里，你看见它们快相交时可以绕到高一维避开）。

通过这个例子，老师主要是要说明两点：

1.拓扑里的一些图形，可能没办法在低维度实现，而直接tackle高维，是更具思维挑战性的。一种解决办法是，把拓扑的概念抽象化（比方说，去掉关于维度的信息和描述），直接用集合、邻域这种抽象概念来研究问题。是的，抽象不只是因为要酷炫或者说要苛求严谨性。抽象让我们可以规避一些纷乱的细节直接讨论，对严谨的苛求是因为，现在面对的问题，要么抽象、要么凌乱，不严谨容易先入为主、为illusion误导；

2.对torus, Klein bottle这种几何图形，使用一个长方形，然后对接起不同的边是一个“数学”的办法——意思是减少对个体想象力的依赖、取而代之的是系统程式的解决问题。在后面介绍“沿某一条平行于边的线开始剪开莫比乌斯带会得到什么”、“Klein bottle是两个莫比乌斯环的对接”这样的观点时老师使用了同样的方法。

然后就是要抽象化的事了。

于是就到了需要使用集合论的语言把“拓扑”抽象化处理一下了。

物理类的书对拓扑的定义比较喜欢一路走到黑，一直使用“指定开集”的方法来定义拓扑。这样定义的问题在于，不直观——开集是什么？Armstrong的书以及老师的课堂都选择了从邻域开始定义：“拓扑”就是研究临近、相邻的学问。然后我们可以利用邻域来定义开集——开集是其中每一个点的邻域，也可以用开集来定义邻域：如果说子集N是点x的邻域，那么存在开集O，使得x属于O，O是N的子集。这里要特别注意的一点是（作为雾里人，我一开始确实忽略了），要证明从邻域（邻域集合1）定义开集、从开集定义邻域（邻域集合2），开始和末了的邻域是同一个东西——也就是说拓扑空间的一个子集，如果属于邻域集合1，那么也属于邻域集合2，and vice versa。Likewise，这个循环也可以是开集—>邻域—>开集。这样老师引进了两种拓扑的定义，一种基于邻域，另一种基于开集。邻域和开集里两种语言还可以分别用来定义别的拓扑概念，比如说定义两个拓扑空间之间的连续映射。连续映射的额定义，可以使用邻域的语言，也可以使用开集的语言，且两者等价。助教在此提醒（这一段话是补充内容，与课程内容不直接相关），考虑由拓扑空间构成的范畴（范畴里面的元素是拓扑空间），元素之间的态射是连续映射。那么这个时候如果我有两个这样的范畴，一个范畴使用邻域语言，另一个使用开集的语言，这两个范畴就有某种类似于“同构”的关系。（雾里人印象里好像是叫协变函子？）

除了这两种公理体系，老师还介绍了另外两种公理。一种是拓扑基公理：拓扑基是拓扑空间子集的一个集类，规定拓扑基里面元素满足的一定关系后，拓扑空间中每个开集都可以写成拓扑基中某些元素之并。“拓扑基”就是一种基础，我们可以用它来生成一种拓扑结构。就像在线性代数里，选定几个（我们claim）线性无关的向量，然后它们就能生成（span）一个线性空间。群论里也有“生成元”。拓扑学里面不太简单的一点在于，拓扑基不仅不唯一，而且拓扑基的一个真子集可能仍然是拓扑基。讨论线性空间时，我们可以说，这个线性空间至少得用N个向量张成，这是这N个向量线性无关，我们说是N维空间。但这似乎在拓扑空间里不太好用。在拓扑里，实际说的多的是“第二可数”，也就是一个拓扑空间存在一个拓扑基，该拓扑基只有可数个子集。比如，有限维欧几里得空间就是第二可数的，因为你可以拓扑基里面的元素选择为不包括球面（sphere）的球，然后选择球心坐标、半径为有理数，有理数可数且稠密，可证这是可数的拓扑基。

老师介绍的另一种定义是闭集公理。要介绍闭集公理，得先定义什么是闭集。拓扑闭集公理里面是直接公理化地规定闭集的性质的，2^X的任意一个子集，只要满足闭集公理的三条性质都认为定义了一种闭集。这三条性质是：“全集和空集是闭集、任一个闭集的交集是闭集、有限个闭集的并集是闭集”。

这是公理化的定义，那么应该怎么理解闭集呢？（就像理解开集来反映相邻、临近一样）

首先，不是非开即闭。闭，指封闭。关于什么封闭？数学分析里面，闭区间关于柯西列是封闭的——极限点落在集合里面。但柯西列的定义依赖于距离，我们现在在谈拓扑呢，怎么又引入距离呢？于是这个时候需要给出拓扑意义上的极限点的定义。（需要注意，数学上常说的封闭还有另一种——代数运算的封闭，比如两个非零整数除法可能得到小数，所以整数关于除法代数意义上不封闭）

拓扑空间X中的点x叫做子集A的极限点（x可以属于A、也可以i不属于），当且仅当x的任意一个邻域与A的交集在除了x点之外还有别的点。通俗地说，A中的点在x附近密密麻麻的，密集到了你没有办法划出一个小区域把x和这些密集的点分隔开。

X的某一个子集A，并不一定包括其自身的所有极限点，如果包含了自身的所有极限点，那就是“极限意义下封闭”，是个闭集（可以证明，开集的补集在在极限意义下都封闭，而且通过”封闭“定义的闭集的补集是开集，所以闭集也可以定义成开集的补集）。任一个子集合A与其极限点的并集叫做A的闭包(closure)。

我们可以用拓扑的语言，重新描述数学分析里面”内部“、”边界“。A的内部就是包含在A内部的最大的开集（在全空间X的意义下）（”最大的“这个说法为什么有意义？因为开集的并仍然是开集，你可以把包含在A中的各路开集并起来），这样定义的A的内部中的任意一个点，都落在了某个包含在A中的开集，也就是有一个泡泡（不对，应该是邻域、或者说开集）把这个点包裹在A中，所以是内部。A的边界点定义为A的闭包减去A的内部（那些可以靠近有没有办法包进来的点，是谓边界）、

至此，完成了拓扑的定义以及定义里面涉及到的主要概念的性质的阐述。

这里提几点数学分析课程里的基本的性质，用来构造反例或理解命题时会比较有用。

• 开集的无限交得到非开的集合：比如使用(-1-1/n,1+1/n)，n从一直到正无穷，相交起来。
• 闭集的无限并得到非闭的集合：[1/n,1-1/n]，n从一直到正无穷，取并集。
• 对于任意的一个映射（不一定是连续映射），任一个集合的并集的像等于它们各自的像的并集（简称并集的像等于像的并集），交集的像是“像的交集的子集”；
• 对于任意的一个映射（不一定是连续映射），并集的原像等于原像的并集，交集的原像是原像的交集。

最后两条性质（不会吧，不会吧，不会有人……咦，是我啊）的不对称性在理解一些命题时会有用。第三条性质在处理交集、并集时的不对等会导致有些性质用开集、闭集描述也不对称了（虽然在定义的时候，开集公理和闭集公理之间似乎就开集<—>闭集，并<—>交，但上面那两条性质不是拓扑学的性质，不由得你拓扑挽回啦）

定义了拓扑之后，就是定义了相邻的概念，有了相邻就可以定义连续。连续，就是没有发生”跃变“。（唔会跳到”唔拏更“嘅地方）

（皮亚诺曲线）

（紧致）

（粘合映射）

（口嗨教材写得不清晰）

（拓扑群）

（扯点”冇拏掕“嘅群论）

（未完待续）

这是陈杲老师在科大教的第一门课，当初抱着试试看的态度选了一下，一学期下来也是收获颇多。

先说教材，Armstrong的书作为尤承业书的原始材料，是速通代数拓扑的良好教材，没有在点集拓扑上纠缠过多。书里有专门讲拓扑群的相关内容（相比尤承业），我个人觉得这部分还是相当重要的，我在看Atiyah的完备化时无比庆幸自己在Armsrong的书上提前准备过一些内容了（不然有点难啃...）个人觉得用这本书搭配尤承业效果极佳：尤承业的书定义的排版更清晰明显，而且Armsrong上有些诡异证明可以参照尤承业的讲法。同时，尤承业也补充了不少书上没有的内容；但尤书有时写得过于简练，有些动机阐释Armstrong写得更清楚。（注：Armstrong写这本书第六章时似乎水平突然下降，课后题出错...正文也令人迷惑，老师当时直接放弃了6.5大部分和6.6节）

再说上课，与我一开始想象的不同。老师上课非常注重细节，证明十分严格和完善。相较于有些老师愿意把细节证明留给学生，陈杲老师更愿意在课堂上直接硬刚这些细节。有时我提前预习了课本，一个步骤可能书上只写了一句话，就没怎么重视，然而一抬头发现老师十分严谨地补充证明了一黑板，此时也看不懂细节了...（偶尔怀疑会不会是证麻烦了?捂脸...)不过好处是这样的话老师绝不会跳步，好好听的话应该是便于理解的...（注：老师学期初上课时是积极鼓励大家参与、上讲台的美式风格，不过奈何科大学子都比较腼腆...最后也就变成中式教学了）

老师每次作业均恰好布置两道题，如果只完成作业题的话一般很少的，然而Armstrong的课后习题风格独特，很多时候感觉不像标准课后题（验证个良好定义都得一番功夫），有些时候我一道题得陈述两页纸，个别情况还发生过题错的情况...譬如6.15和6.16，6.28好像也有问题？

期中期末都有10道判断题，之后两三道大题，整体难度都不大（奈何我期中弱智错了三道判断，有一道还是题干直接看错了...期末用Van- Kampen把自由积直接写成了直积，真是心塞...）加之老师明确说了严格按总评（25%作业+25%期中+50%期末），不会调分（最后放松成了向上取整），一度觉得自己要没了...但老师虽然不调分，但改卷宽松，会给充足的过程分，类似于把调分换到卷面分了（所以一定要详细写过程）最后极限操作4.3，我真是感激涕零，陈杲老师大好人啊！

课程前半部分较水，主要是些基本定义，例如乘积拓扑商拓扑等。

涉及到拓扑群时，课程难度开始提升，陈老师介绍了非常多的例子，复习的时候推荐各位一定记住例子，判断题会考。

从基本群开始，难度增加，一部分作业题相当有难度，这也是虽然作业只有一周四道题，但我评价作业量为“中等”。陈老师在覆叠空间一节讲课时备课不充分，定理证明逻辑混乱，经常有讲到一半发现半个小时前的一个错误的情况发生。这可能是因为这门课的教材《basic topology》后期的证明逻辑混乱，口胡严重，建议切换教材。这部分知识我自己是看hatcher补上的。

曲面分类部分陈老师采用morse理论，参考donaldson的Riemann surface。陈老师逻辑清晰，内容侧重也很合理，给好评。

给分相当奶，优秀率应该是50%左右。

复习破防了！占坑，考完补上。 这卷子限制我一个小时做应该比两个小时拿的分高。最后一题直接给我干碎。看看怎么判卷和调分吧。 出分了，给分相当好，考试一定别放弃，有思路就往上写，说不定就得分了呢。 关于课程相关待寒假细评。 回来填坑。

课程内容：点集拓扑（Armstrong1-4章期中），这部分内容对应期中考前内容。国庆后进入第四章商映射课程难度显著增大。期中后，代数拓扑入门，基本群、同伦、覆叠空间（Armstrong第五章加10.3节）。最后以Morse理论分类曲面结尾，参考教材是Donaldson的Riemann Surfaces的2.1节。

讲课水平：这学期老师开了回放，利好叠课人，但是也导致课堂到课率不是很高，不过陈老师是年轻教师，似乎很能理解同学们，对此也并没有很生气。陈老师。期中前讲课较为清晰严谨，但我认为开头部分讲的有些慢，因为这部分相对来说很简单，所以可以稍微讲的快一点。在第四章，陈老师疑似夹带私货，不充了大量李群内容。期中后陈杲老师讲的代数拓扑部分很混乱，有些符号和书上定义的不一样，比如同伦的F(s,t)，当然这个无伤大雅，但对于初学者来说还是不太友好。之前看了评课社区的点评导致这学期我是没怎么预习直接听课的，结果代数拓扑部分被爆杀。每周老师的两次课我经常花上整整两天的时间去看回放整理。最后还是学的一知半解。直到十二月中旬有一天周末我在东图静下心来仔细阅读课本才把这部分知识搞明白了。很多人吐槽Armstrong，实际上我觉得他的1-5章和10.3节写的还可以，虽然较为简略，但还是能看懂的。 进入到今年老师新加的Morse理论部分，陈老师的讲课水平极高，曲面分类的多边形表示部分讲的很清晰，但我还是建议大家预习一下再听课，这样更能跟上老师的节奏。 我和很多同学一样，感觉陈老师是不备课的。我感觉老师应该是学过这本书，然后按照他的理解来讲课。然而这样难免会出现错误混乱（不过从此也可以看出老师的学术水平之高，在不备课的情况下讲成这样我觉得已经很好了）。 有时候老师讲课会陷入巨大的细节之中，导致到最后我已经忘记老师到底要干什么了。数学是时间的函数，对于初学者而言有些细节可能没有必要弄得很清楚。比如老师花了一节课讲连通和的良定义，我整节课听的云里雾里，最后我还是选择相信连通和的良定性。

作业：一节课两道题，每周四道题。我感觉老师布置习题太过随意，虽然能看出老师选的这些题目是有一定目的性的，但是Armstong的习题质量参差不齐。期中考后的作业我基本上都不会做，都是抄擦了个DJ的作业或者去网上查答案的。

考试：老师出题极其新颖，因此刷题肯定是一点用也没有的。我感觉陈老师在这门课上花费的最大心思可能就是出题了。期中期末都是40分判断加60分证明（法师大题，但没那么长)。总体而言期中难度不大，期末较为困难。陈老师在期末考试的时候还搞心态，听到“我是个大坏蛋”我是真没绷住。 不过判断题在仔细阅读教材和复习老师上课笔记后应该问题不大。考试的时候做判断题让我想起来高考生物的感觉，有些错误设置的方式也是类似的，比如偷换概念等。如果你实在不会做了，请记住一个原则，疑罪从无。期中8道判断6个正确，期末10个判断7个正确。当然也许明年陈老师这个“大坏蛋”出题风格改为错误的比较多这也说不准。我今年期末的时候就用这个原则蒙对了两个判断哈哈。然后期末的最后一道压轴题比较困难，还是由于我对于知识的掌握程度不高，理解没有到位，没有领会到老师对我的提示。所幸我没有放弃，把自己的一些思路都写上去了，陈老师判卷较为宽松，我最后也因此混到了一个不错的成绩。但是我深知我和某些大佬的差距远不止于此。

助教是曾经华罗庚班的学长，目前是研究生，水平很高，习题课讲的很好，讲义也很清晰，问问题从来都是秒回。作业也判的很宽松，基本写了就是A。

给分：调分对于高分段几乎等于没调，不过对于低分段较为友好，有些同学发挥失误了也能被捞上来，因此我觉得给分是不错的。拿到3.7应该不难，但是想要冲4.3比较困难。最后优秀率据说50%左右。

这门课相较于火箭的讲义而言，内容还是少很多的，比较适合像我这样的拓扑萌新入门。我个人比较推荐大一大二选，放在大三选我觉得太晚了。（大一选你可能还是需要有一些实力）

PS：总结一下陈老师的一些段子（欢迎评论区补充，我寒假有时间也再整理一下） 1、以后骂人就说你这个人是sin曲线，弯弯绕绕的。 2、四维的情形就留给你们拿菲尔兹奖了。 3、开集的反义词是开心

这门课前半段的重点是粘合映射、拓扑群和轨道空间，后半段基本都是重点，总体上偏重代数拓扑。点集拓扑部分不会遇到困难，粘合映射之后我们可以真正把一些几何上的操作严格化，轨道空间部分老师引入fundamental domain分析商空间，比教材上更详细。同伦和覆叠空间以后就难很多了，仅仅理解老师证明就需要付出很多努力，作业也时常有过程极其冗长或者需要额外补充些结论的怪题，做不出来不建议死磕。课程最后用Morse theory做曲面分类，这个技术本身不要求掌握，只需要了解一些基本的分类结论和连通和；此外老师还会介绍高维曲面的一些结论。课程内容是比较全面的，也是我大二上学的最辛苦的一门课。

本学期期中考试很送，期末第三题有几问比较杀，映射提升定理我愣是从头到尾没想起来用，看来还是平时用的太少（作业题没怎么出过用这些定理的（怒！！））。总体上考试要求不是太高，和作业也没太大关系，也没啥高分策略。

调分方式我给翻译翻译：总评 = 25%作业+25%期中+\(\frac{\sqrt{10}}{2}(期末)^\frac{3}{4} \)

评价：如调，期末要不是很低的话也就比 %25：%25：%50 调个两分的样子。

上到14周左右有点难绷，老师不备课（如果备过课还是这个样子，我也不知道是谁的问题了），板书细节混乱，有些大定理（如同伦提升引理、van-Kampen 定理）讲完估计只有cg自己能看懂（也有可能他也看不太懂）。上课有些人对照的是火箭讲义而非课本，很可能放弃了记笔记，乐。

今年的课相比于去年，删掉了三角剖分的部分，改用morse理论证明闭曲面分类定理（参考书会发在群里，milnor，Donaldson）以及补充一些CW复形的知识（考纲之外，期末不考）。
陈老师上课基本按照Armstrong上的讲，同时补充一些没有的证明，课后作业也很少（一节课布置两道题，一周四道题）

考试方面的话陈老师出题非常简单，稍微复习一下定义定理表述能拿大部分分，不会为难大家，期中期末都只有3道题，第一题是判断题，后两题证明题。给分可以说非常奶了，期中平均分85，总评平均分被调到了80分，最后作业占比0.25,期中占比0.25,期末使用开根号乘10再和期末取几何平均，再乘0.5计算。

总之非常推荐选这门课

陈老师的学术水平是毋庸置疑的，从这门课的很多方面都可以看出来。但是我认为这门课可以上得更好。

首先陈老师上课似乎并不备课，也没有讲义，只拿着一本Armstrong。并不是说必须得备课或者说提供讲义，只是陈老师的教学经验似乎没有丰富到不需要备课或者讲义就能完整流畅地上完这门课的程度。后半学期板书混乱，讲解出现纰漏的情况显著增加（也许很大程度上和Armstrong有关系）。

其次这门课的内容略显单薄。课程近三分之一的时间停留在非常简单的点集拓扑内容，而这门课的高潮部分，用Morse theory进行闭曲面分类也略显虎头蛇尾。总而言之，它的深度和广度并没有到达我对于一门H课的期望程度。想把拓扑学好学深的同学可能需要适度加餐。

考试部分，陈老师出卷很有个人风格。援引老师在期末时的发言：“我是个大坏蛋，判断题里设了很多坑”，给了很多判断题，一道4分，要是错了还是有些肉痛的。然后是一易一难的两道大题（相对而言），总体难度不高，但是如果没对上电波也容易丢分。今年老师进行了调分，但是捞低分段为主，高分段变动不大，所以要是盯着4.3还是得小心点（笑）。

某种程度上，我觉得这门课和Armstrong在某次程度上是相似的：初衷和纲领很好，但是具体的细节还需多加打磨。说了这么多，也是希望陈老师的课能越来越好。（另外妮可拓扑实在开太晚了，想学基础的同学可以提早学，按陈老师现在这种讲法比较适合拓扑接触不多的低年级同学）。

结课后来评：

教材的话是用Armstrong，课程的话大致有个引论之后从点集拓扑讲起，点集拓扑部分讲一些简单的开集闭集公理，然后是连通性紧性等性质，接下来开始进入identification map粘合映射，逐渐为之后的较简单的代数拓扑部分（意思见就是不讲同调等等只是一些简单的基本群计算）开始准备。之后进入基本群部分。在这一部分稍作停留之中顺便插入了覆叠空间。最后进入曲面分类。曲面分类使用了Donaldson的书。然后科普一下结课。

今年讲覆叠空间的一个原因是今年讲曲面分类的时候使用了Morse理论的讲法，没有使用Armstrong原书上的triangulations，陈杲给出的理由是三角剖分的讲法过时了。

讲课风格点评：使用英语板书（这个很多人提过了），特点是清晰易懂，会把很多东西讲得很清楚。有的时候也会多讲一点相关内容，比如今年课上提了SO(4)的结构什么的。我本人不是很懂Lie群（包括Classical groups），当然也还能听一点。对新手来说还算友好。

给分：非常友好，2023年期中平均分85.74分，班上同学的水平也很高，另一方面卷子也不难。期末还没考不清楚。

课下也可以跟陈杲老师交流，他应该也会给予问题解答或者其他帮助。

补充：陈杲上课一大特点是偶尔（经常）会讲大量的笑话（部分确实好笑）。

附录：上课图片两张。

P.S.另外关于考试，我可以说，有点口糊只要思路对的陈杲改的时候都会判对。

##考完后再评##

期末题很难，还延时了10分钟。陈杲表示要调分了。

期末最后一大题是关于三维流形Thurston几何化猜想中的Solvable Manifold的，难度很大。

我sb弄没了一堆题。

活着回来不错了。

第一节课，五教小教室基本坐满了，来了得有60人吧。

期中考后，选课人数 < 20，教室里一共不到10人。

推荐一波，相当水的荣誉课。

作业少，无考勤，考试简单。讲课详细，老师讲过一遍之后我终于能看懂 Armstrong 的书了。

给分不是杀手，因为考试简单且捞卡绩。给分不是超好，因为不调分且拿分得靠自己本事（不像某 H 课跟送分一样）。

缺点：

• Armstrong 书口胡太多，细节太差，习题和正文不符，不适合作为教材。
• 老师有时陷入细节而讲不清主旨，事实上，老师在简介同调时主旨把握得不错。

想拿优秀其实可能也要不了什么本事，别把定理背错应该就可以了。