拓扑学(H)(陈杲) 2022秋  课程号:00170701
2022秋  课程号:00170701
10.0(1人评价)
  • 课程难度:中等
  • 作业多少:很少
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
选课类别:计划 教学类型:理论课
课程类别:本科计划内课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:专业核心 学分:4.0
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
简介 最后更新:

本课程阐述拓扑空间的连通性,紧致性等重要概念,学习拓扑空间的商空间,基本群,覆叠空间,还引入单纯复形,单纯同调,并对闭曲面进行分类。

参考教材:Armstrong的Basic Topology.

(获取教材正版电子资源的免费方式:

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-1793-8

校内IP应该可以直接下载,校外IP可能要统一身份认证)

讲课内容:参考教材1~7章(除了2.4节)。

期中考试:有。在2022年秋季学期考参考教材前四章(除去2.4节)。

期中考的改卷标准(每道题20分)(冒号以后的这段话完整摘自陈老师原话):完整答案20分,缺微小的细节18分,比如,没有证(0,1)并上(-1,0)的闭包为[-1,1],有微小的错误16分,有重大步骤缺少12分,比如没有计算闭包,直接说(0,1)并上(-1,0)是反例,没做出来但完成了部分重大步骤8分,说了与题目相关的正确的定义4分,回答:“因为天线宝宝是同一个胚胎培养出来的,所以同胚”或者“Hausdorff老爷爷托梦给我说这个集合不归他管”0分。

成绩分布:(老师)希望1/3的人在90分以上,2/3的人在80分以上。

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Kimuel 2022秋
  • 课程难度:中等
  • 作业多少:很少
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
  • 难度:中等
  • 作业:很少
  • 给分:超好
  • 收获:很多

在本学期(2022秋)一边上课一边更的,所以在本学期结束前评分什么的不必太care。一些很宏观的、关于老师课讲得怎样的问题可能也要到了学期末才能更新到。

来自物理学院学生的评课,也就是目标成为they physicists的人的评课。

所以数院同学如果觉得参考价值不大,大可掠过。不过貌似每一年都会有一些听拓扑课程的雾里人。当然,如果八卦雾里人怎么雾里看花的也可以康康啦。

可能与一些同学关于雾里人思考问题喜欢从直觉出发、数学则更喜欢严谨化、公理化构造有点微小偏差,事实上,我在物理学院的广义相对论课程上学习拓扑学时,是直接从指定开集来定义拓扑的(大概是尤承业老师书的风格),利用这种定义与以前的定义(比如什么叫开集、什么叫闭集、连续等价定义等)是作为课后习题来做的;而在这门课呢,陈老师选用的是Armstrong(又称“手臂粗”或“胳膊组”)的书,这本书第一章算是给读者一个关于拓扑的直觉的认识,所以我在这门课上反过来是先有了一些直觉的理解,在深挖数学形式。

以下内容是在上课时间歇性更新的,结课后可能会归纳一下。

第一周,老师从欧拉公式开始讲,使用的是Armstrong的书上用“树”来讲的方式,补充了Armstrong的书上讲述得过于简洁的地方,但这个证明与书上一样,老师没有给出极其严谨的证明(以数院人的视角来看)。在对polyhedra(顺便说一句,单数是polyhedron,老师经常不分单复数、第三人称单数等\doge)的定义里老师讲解得不是特别严谨(就连雾里人也察觉到了啦),我觉得不严谨主要在于两个方面:1.对vertices处多边形怎么相接没有讲清楚,这部分Armstrong的书讲得更加明白;2.没有强调是有限个多边形的collection,所以杠王(竟是我自己)就弄出些无穷个的情况了,比方说石墨烯。再介绍了欧拉定理之后,就可以对拓扑这种捏橡皮泥的艺术有个基本认识。由此引入拓扑意义上的一种等价——同胚——靠双向都是连续的双射bijection来实现。

欧拉定理后,老师讲解的第二个直观的例子就是,拿一根纸带,两端站起来可以得到什么几何图形。直接对接得到的是圆柱侧面cylinder,旋转180度后得到的是当年费曼用来撩妹的莫比乌斯带,那么旋转360度呢?莫比乌斯带和圆柱不是同胚的,这里老师先用莫比乌斯带上的蚂蚁来讲,再简介曲面的不可定向(感觉这部分只是为了拓展,在此作用不大)。旋转360得到的环容易证明与圆柱侧面同胚,但在三维空间里这却是不能用二维橡皮泥转化的(顺便说一句,橡皮泥这个观点似乎与莫比乌斯有关),为什么不能呢?老师给的理由是,你捏橡皮泥时,不仅要同胚纸带,还得同胚纸带周围的空间ambient space。老师给了在六维空间里可以实现这个转化的证明思路,这部分我不太听得懂,万一哪天范进中举般开窍了再来更(大概不会了……)。

在得到一个cylinder后,两端有两个圆环,它们也可以粘起来,这又有两种拓扑意义上不同的粘法,分别给出游泳圈torus和克莱因瓶Klein bottle。怎么得到的呢?先想象一个圆柱的侧面,两边有两个圆吧,沿着圆周可以各自取定一个绕转方向。我们把两边对接起来,就是要使得在接口处绕转方向相同。如果一开始两端选择的绕转方向相同,你会得到torus;如果一开始的绕转方向不同,你,作为三维生物,无能为力了,但“形式上”你得到了Klein瓶——这个瓶在三维里面是有自相交的。要避免自相交,可以去到高维实现(比如欧氏空间二维平面内,非平行直线一定相交,但到在三维空间里,你看见它们快相交时可以绕到高一维避开)。

通过这个例子,老师主要是要说明两点:

1.拓扑里的一些图形,可能没办法在低维度实现,而直接tackle高维,是更具思维挑战性的。一种解决办法是,把拓扑的概念抽象化(比方说,去掉关于维度的信息和描述),直接用集合、邻域这种抽象概念来研究问题。是的,抽象不只是因为要酷炫或者说要苛求严谨性。抽象让我们可以规避一些纷乱的细节直接讨论,对严谨的苛求是因为,现在面对的问题,要么抽象、要么凌乱,不严谨容易先入为主、为illusion误导

2.对torus, Klein bottle这种几何图形,使用一个长方形,然后对接起不同的边是一个“数学”的办法——意思是减少对个体想象力的依赖、取而代之的是系统程式的解决问题。在后面介绍“沿某一条平行于边的线开始剪开莫比乌斯带会得到什么”、“Klein bottle是两个莫比乌斯环的对接”这样的观点时老师使用了同样的方法。

然后就是要抽象化的事了。

于是就到了需要使用集合论的语言把“拓扑”抽象化处理一下了。

物理类的书对拓扑的定义比较喜欢一路走到黑,一直使用“指定开集”的方法来定义拓扑。这样定义的问题在于,不直观——开集是什么?Armstrong的书以及老师的课堂都选择了从邻域开始定义:“拓扑”就是研究临近、相邻的学问。然后我们可以利用邻域来定义开集——开集是其中每一个点的邻域,也可以用开集来定义邻域:如果说子集N是点x的邻域,那么存在开集O,使得x属于O,O是N的子集。这里要特别注意的一点是(作为雾里人,我一开始确实忽略了),要证明从邻域(邻域集合1)定义开集、从开集定义邻域(邻域集合2),开始和末了的邻域是同一个东西——也就是说拓扑空间的一个子集,如果属于邻域集合1,那么也属于邻域集合2,and vice versa。Likewise,这个循环也可以是开集—>邻域—>开集。这样老师引进了两种拓扑的定义,一种基于邻域,另一种基于开集。邻域和开集里两种语言还可以分别用来定义别的拓扑概念,比如说定义两个拓扑空间之间的连续映射。连续映射的额定义,可以使用邻域的语言,也可以使用开集的语言,且两者等价。助教在此提醒(这一段话是补充内容,与课程内容不直接相关),考虑由拓扑空间构成的范畴(范畴里面的元素是拓扑空间),元素之间的态射是连续映射。那么这个时候如果我有两个这样的范畴,一个范畴使用邻域语言,另一个使用开集的语言,这两个范畴就有某种类似于“同构”的关系。(雾里人印象里好像是叫协变函子?)

除了这两种公理体系,老师还介绍了另外两种公理。一种是拓扑基公理:拓扑基是拓扑空间子集的一个集类,规定拓扑基里面元素满足的一定关系后,拓扑空间中每个开集都可以写成拓扑基中某些元素之并。“拓扑基”就是一种基础,我们可以用它来生成一种拓扑结构。就像在线性代数里,选定几个(我们claim)线性无关的向量,然后它们就能生成(span)一个线性空间。群论里也有“生成元”。拓扑学里面不太简单的一点在于,拓扑基不仅不唯一,而且拓扑基的一个真子集可能仍然是拓扑基。讨论线性空间时,我们可以说,这个线性空间至少得用N个向量张成,这是这N个向量线性无关,我们说是N维空间。但这似乎在拓扑空间里不太好用。在拓扑里,实际说的多的是“第二可数”,也就是一个拓扑空间存在一个拓扑基,该拓扑基只有可数个子集。比如,有限维欧几里得空间就是第二可数的,因为你可以拓扑基里面的元素选择为不包括球面(sphere)的球,然后选择球心坐标、半径为有理数,有理数可数且稠密,可证这是可数的拓扑基。

老师介绍的另一种定义是闭集公理。要介绍闭集公理,得先定义什么是闭集。拓扑闭集公理里面是直接公理化地规定闭集的性质的,2^X的任意一个子集,只要满足闭集公理的三条性质都认为定义了一种闭集。这三条性质是:“全集和空集是闭集、任一个闭集的交集是闭集、有限个闭集的并集是闭集”。

这是公理化的定义,那么应该怎么理解闭集呢?(就像理解开集来反映相邻、临近一样)

首先,不是非开即闭。闭,指封闭。关于什么封闭?数学分析里面,闭区间关于柯西列是封闭的——极限点落在集合里面。但柯西列的定义依赖于距离,我们现在在谈拓扑呢,怎么又引入距离呢?于是这个时候需要给出拓扑意义上的极限点的定义。(需要注意,数学上常说的封闭还有另一种——代数运算的封闭,比如两个非零整数除法可能得到小数,所以整数关于除法代数意义上不封闭)

拓扑空间X中的点x叫做子集A的极限点(x可以属于A、也可以i不属于),当且仅当x的任意一个邻域与A的交集在除了x点之外还有别的点。通俗地说,A中的点在x附近密密麻麻的,密集到了你没有办法划出一个小区域把x和这些密集的点分隔开。

X的某一个子集A,并不一定包括其自身的所有极限点,如果包含了自身的所有极限点,那就是“极限意义下封闭”,是个闭集(可以证明,开集的补集在在极限意义下都封闭,而且通过”封闭“定义的闭集的补集是开集,所以闭集也可以定义成开集的补集)。任一个子集合A与其极限点的并集叫做A的闭包(closure)。

我们可以用拓扑的语言,重新描述数学分析里面”内部“、”边界“。A的内部就是包含在A内部的最大的开集(在全空间X的意义下)(”最大的“这个说法为什么有意义?因为开集的并仍然是开集,你可以把包含在A中的各路开集并起来),这样定义的A的内部中的任意一个点,都落在了某个包含在A中的开集,也就是有一个泡泡(不对,应该是邻域、或者说开集)把这个点包裹在A中,所以是内部。A的边界点定义为A的闭包减去A的内部(那些可以靠近有没有办法包进来的点,是谓边界)、

至此,完成了拓扑的定义以及定义里面涉及到的主要概念的性质的阐述。

这里提几点数学分析课程里的基本的性质,用来构造反例或理解命题时会比较有用。

  • 开集的无限交得到非开的集合:比如使用(-1-1/n,1+1/n),n从一直到正无穷,相交起来。
  • 闭集的无限并得到非闭的集合:[1/n,1-1/n],n从一直到正无穷,取并集。
  • 对于任意的一个映射(不一定是连续映射),任一个集合的并集的像等于它们各自的像的并集(简称并集的像等于像的并集),交集的像是“像的交集的子集”;
  • 对于任意的一个映射(不一定是连续映射),并集的原像等于原像的并集,交集的原像是原像的交集。

最后两条性质(不会吧,不会吧,不会有人……咦,是我啊)的不对称性在理解一些命题时会有用。第三条性质在处理交集、并集时的不对等会导致有些性质用开集、闭集描述也不对称了(虽然在定义的时候,开集公理和闭集公理之间似乎就开集<—>闭集,并<—>交,但上面那两条性质不是拓扑学的性质,不由得你拓扑挽回啦)

定义了拓扑之后,就是定义了相邻的概念,有了相邻就可以定义连续。连续,就是没有发生”跃变“。(唔会跳到”唔拏更“嘅地方)

(皮亚诺曲线)

(紧致)

(粘合映射)

(口嗨教材写得不清晰)

(拓扑群)

(扯点”冇拏掕“嘅群论)

(未完待续)

(最后修改于 6 2 复制链接
将以有为
鴨知れない膜欧

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陈杲

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