老师讲课基本是念书，而且声音有时很小听不清，个人听课体验很差，所以后半学期基本没来过。不过没考勤没作业，也不说啥了。

这门课大概讲了半学期Leon Simon的几何测度论，后半学期就是挑了一些文章讲，其中一篇是校准几何的综述，别的我没听课也不知道他讲了啥，老师用邮箱发了两篇文章但是我没看。个人感觉这些内容之间也没什么联系。

下面是一些我关于几何测度论和极小曲面的感受。

几何测度论我认为是一门对初学者非常不友好的学科。入门时首先遇到的就是各种关于测度的名词，覆盖定理，密度的计算，以及面积公式，并且其中百分之九十的定理都不知道有什么用。我认为这部分最有用的技术就是覆盖定理的应用和取一个稠密子集做逼近的技巧。后者是lipschitz函数几乎处处可微，以及面积公式的证明中的核心。至于各种测度都可以不妨假设在欧氏空间或者流形上，然后覆盖定理直接承认即可，证明都非常麻烦也没什么启发。此处稍微提一下为什么几何测度论中都用lipschitz函数而不用至少C1的函数。这是因为在应用中我们需要具体构造一个函数，这时候lipschitz函数更方便构造。余面积公式的好处之一就是降维，举个例子，假如我们研究三维流形，我们可以研究他的水平集(即曲面)，这部分我们可以用高斯博内公式等来做计算。以上差不多是Simon前三章的内容，后续他还引入可求长集，varifold，current等概念，并且推广了前面的结果，我还没有见过后续内容的应用，因此就说到这里。

极小曲面我是为了完成期末作业去看的。结果我发现极小曲面并没有我想象中的无聊，相反他是一个高品味的学科。同时他需要应用很多几何测度论的结果，证明你在几何测度论里吃到的屎是有用武之地的。例如yau在75年证明了一个结果，设n维黎曼流形是n＋1维欧氏空间中的浸入极小曲面，则在流形的内部(远离边界)，流形上的度量球体积大于等于n维欧式空间中半径相同的球的体积。这个结果被用在Chao Li 2021年证明的定理，R4中的稳定Bernstein定理中。这是一个优美的定理，他说R4中的稳定极小可定向完备超曲面一定是平面。