出分了，期中85（中位数可能差不多也是这个数），期末87（中位数71），作业分感觉正常，总评极限4.0，感谢宋爹！

至今想起期末考试最后十分钟极限捞分，大概做上的内容全对了，映射度和一个神秘填空实在不懂。E^3去掉三条过原点直线的基本群，随手猜个同伦到S^2去掉6个点，直接写了5个Z自由积；然后流形证明题本来想随便写写然后顺着就推完了……只能说数学考试不到最后都不要放弃挣扎（）

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考完期末感觉被薄纱，选课一时爽，期末火葬场😭😭千言万语不如猜一手同伦直接写基本群😭😭，

建议多做做往年题，记住常见拓扑空间的基本群和同调群用于答填空题，然后点拓也不是完全不考（比如今年就考了证明流形的边界还是流形）。听闻宋老师下学期不开代拓，有生之年听不到了qwq

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本物院人第一门正经修读下来的数院高年级课程，也是本学期最喜欢的课。宋老师的课节奏适中、讲解详细，而且宋老师在给出概念后，会用形象的语言换个角度解释这些概念“具体发生了什么”，所以接受起来往往非常舒适，看书看到头昏脑胀的东西宋老师几句话就能说清楚。（嗯除了一些同伦过程有点抽象，宋老师在上面绘声绘色地描述但是窝完全get不到他的点，窝太菜了）

结论是我建议每个有志于理论物理研究的学生都来听一下拓扑课，隔壁火箭据说偏分析一点，宋老师这边偏代数的。顺便清醒地认识到妮可理论物理专业课（除了广相之外）有多屑。

课程大体内容可以分成三部分：点集拓扑，代数拓扑，单纯同调。

1、点集拓扑

宋老师这边点拓内容很常规（不像火箭会多讲一些tychonoff定理、arzela- ascoli之类的偏分析的高级内容）。在集合上定义拓扑也就是定义“开集”，满足三条公理；由此可以衍生出拓扑空间自身上的很多概念，如闭集、闭包、邻域、聚点、稠密性、拓扑基等，还可以构造新的拓扑空间，如子空间拓扑、乘积拓扑、度量诱导拓扑等。有了拓扑空间（object）自然要考虑他们之间的态射（morphism），这就是借助开集来定义的“连续映射”，这可以视为数学分析中“连续函数”在开集语言下的推广。如果两个拓扑空间存在双的、连续的、逆也连续的映射，则称二者同胚；这是极为重要的等价关系，同胚意味着点与点、开集与开集之间的对应。

（有趣的是，不像群同构那样“双射、同态”就可以得到同构，没必要对逆作要求；拓扑空间的同胚必须加上一句“逆也连续”，而且很容易找到相应案例。）

建立起拓扑空间之后，就要讨论一些拓扑性质。首先是分离性T1~T4，从弱到强地描述了拓扑空间内不同的两个点可以被如何“分开”（其实还有更弱的分离公理T0，“任取不同的两点a和b，总存在一个开集，包含a或包含b”，与T1的差别看起来就像是文字游戏，实则在某些地方也会出现，比如在环的prime spectrum上面建立Zariski topology，这个拓扑是T0，但未必T1）。之后是可数性C1＆C2，从弱到强地对拓扑空间的开集数量提出控制。理想的拓扑空间应当有足够多的开集以分离其中的点，又有足够少的开集以保留可数性（可控性）。接下来是神秘的Urysohn引理、Urysohn度量化定理、Tietze扩张定理；Urysohn引理允许我们对T4空间上的两个无交闭集定义阶梯函数，Tietze扩张定理告诉我们用这样的阶梯函数可以逼近任何连续函数，而Urysohn度量化定理提出了拓扑空间可度量化的充分条件：T1+T4+C2。

如果说以上两个拓扑性质更多着眼于局部，那之后的紧致性和连通性则更关注整体。紧致的定义可谓耳熟能详，“任意开覆盖都有有限子覆盖（有限开加细）”，这种有限性是一个非常好的性质，以至于最平常的欧氏空间都不紧致，所以有稍微放宽的局部紧致性和仿紧性（仿紧性可以用于给出度量化的充要条件，同时对于流形上的partition of unity的存在十分关键）。连通性指拓扑空间不能分解为两个无交开集的并，更令人关注的一种连通性是“道路连通”，指的是拓扑空间X中任意两点可以被一条道路（[0,1]到X的连续映射）连接；二者有着微妙的差别，道路连通是更强的连通性（见topologist’s sine curve）。

最后我们研究商空间与闭曲面。X模掉一个等价关系“~”得到商空间，而商映射是对“粘合映射”（X到X/~的自然映射）的模拟；闭曲面指连通、无边界点、紧致的二维流形，我们可以通过往球面S^2上“粘”环柄或莫比乌斯带，来得到两类闭曲面mT^2、nP^2，用多边形表示来证明闭曲面分类定理，即：闭曲面只有这两类，任何闭曲面一定同胚于某个mT^2或nP^2。（至于这些闭曲面互相不同胚，需要用代数拓扑的方法来证）。

（可惜闭曲面分类定理证明窝没仔细听，感觉有点琐碎qwq）

这部分推荐使用munkres的拓扑学，熊金城翻译版就行，非常简单易懂，没有老师讲也完全可以自学；还可以看看火箭的讲义，里面有好多升级内容（期中考了紧开拓扑，但是没讲，然后我也不会，小寄）。

2、代数拓扑

代拓内容其实也不多，概括而言无非是同伦、基本群、复叠空间以及他们之间的关系。

同伦描述的是连续变化的过程；映射的同伦有点像mathematica里面那个“交互式操作”指令，用一个[0,1]上的参数去展示某些内容随着参数值的演变。两个拓扑空间的同伦建立于映射同伦之上，与同胚对比可以明显看出“同伦”是更加广泛的等价关系。

我们研究拓扑空间上的道路，由于并非任意两条道路都可以连接成一条新道路，我们考虑通过同一个点（基点）的回路，并且发现在这些回路的同伦等价类之间可以自然地定义乘法，同时也有单位元（点道路的等价类）和逆元（道路反向的等价类），这就出现了群结构，即为基本群。在道路连通分支上，两点之间的道路类自然地给出了一个群同构，所以基本群可以定义在连通分支上而不再依赖于那个点的选取，同时拓扑空间之间的连续映射可以诱导基本群的同态。基本群极为重要，因为可以证明基本群是个同伦不变量。作为简单应用，我们可以证明圆环S^1的基本群为Z（需要先证道路提升引理，这个引理的证明会用到[0,1]是紧致度量空间的好性质）、n=2的Brouwer不动点定理（D^2到D^2的连续映射必有不动点）、代数基本定理等。

一个强力的基本群计算方法是Van- Kampen定理，这个定理允许我们用开集剖分拓扑空间X，保证任意三个开集的交道路连通，将计算X的基本群转化为计算各开集的基本群自由积模掉一个正规子群。（Van- Kampen的证明十分精妙，我觉得那个划分方块、移动边界属实把道路的同伦玩明白了……）

复叠空间与基本群关系密切，在这章会出现两个神秘定理（指证明很复杂）。对于道路连通、局部道路连通的E和B，复叠映射p:E->B是连续的满射，B中每个点都有邻域U，使得U在p下的原像是一系列无交开集的并，而且p限制在每个开集上都是同胚。形象地看，就是p把一系列E中开集叠到了B中同一个开集上，“叠了多少个开集”就称为p的叶数。

复叠空间有几个重要的性质：

（1）可以证明提升的唯一性，从而复叠映射诱导了pi_1(E,e)到pi_1(B,b),b=p(e)的单同态，同态的像记作H_e；

（2）H_e在pi_1(B,b)中的指数，就等于复叠映射的叶数；

（3）选取p^-1(b)中的不同的e，得到的所有H_e构成pi_1（B,b）的子群共轭类。

根据性质（1），我们考虑X到B的连续映射f，如果f能够提升为X到E的连续映射f‘，给出一点f’（x）=e，那f诱导的连续同态必定把pi_1(X,x)映到H_e内，e=f'（x）。问题是，什么情况下这一提升存在？映射提升定理表明，上述其实给出了充要条件：“f能够提升为X到E的连续映射f‘，f’（x）=e” 等价于“f诱导的连续同态把pi_1(X,x)映到H_e内，e=f'（x）”。（其实用道路直接构造一个提升还算容易，关键是要证明连续性）

有了复叠空间的概念，就会考虑对其分类，很自然地可以用一个交换图定义出复叠空间的同态和同构。一类特殊的复叠空间称为泛复叠空间“universal covering space”，即E的基本群平凡，而本章最神秘的定理莫过于泛复叠空间的存在性，即：任意道路连通、局部道路连通、局部半单连通（每点都有邻域，其包含映射诱导一个平凡同态；这里“半单连通”的引入很自然，可以画出提升映射的交换图，很容易发现如果泛复叠空间存在，B总会有局部半单连通的性质）的拓扑空间总有泛复叠空间；证明的方式是直接在道路同伦类空间上建立拓扑、给出一个映射、证明这个映射是复叠映射、证明E单连通。

进一步，给定pi_1(B,b)的子群H，通过在泛复叠空间中模掉某个等价关系，我们就可以构造出相应的复叠空间，使得该复叠空间的基本群拉到pi_1(B,b)中正好是H！由此就实现了用基本群分类复叠空间。（宋老师说正如Galois群与域的扩张，可惜窝不懂Galois）

同一个复叠空间上的自同构称为复叠变换，所有复叠变换具有群结构，称为复叠变换群D(E,p)；一类比较有研究价值的复叠变换是在“正则复叠空间”上，即H_e是pi_1(B,b)的正规子群。根据性质（3），选取不同的e时，得到的H_e都是一样的，再根据性质（2）很容易找到D(E,p)到pi_1(B,b) / H_e的一一对应并证明其为同构。由此我们可以实现基本群与复叠变换群的互推。

宋老师在拓扑课上讲的仅仅是代拓的入门，这部分内容我觉得参考munkres、尤承业、火箭讲义都挺好；hatcher看不懂，悲。（最后一节课听宋老师说代拓的后续内容，奇异同调、Hom(-,G)函子诱导上同调、同伦群等，好期待）

3、单纯同调

单纯同调基于单形，说实话我感觉这部分和前面代拓的画风差异巨大，因此摘出来自成一段。（我一直觉得单纯同调看起来像一个跑题但是跑到了正题、总共10页写了9页铺垫的long story……）这部分似乎火箭没讲，把隔壁的＠jgroot都馋哭了（bushi）

n维单形是欧氏空间中的n维三角形，由它的所有顶点唯一确定；单纯复形（以下简称复形）是有限个单形的集合，并且要求每个单形的面都在复形内、任意两个单形都规则相处（无交，或交集为公共面）。把一个复形K中的所有单形并起来，得到一个拓扑空间|K|；若有拓扑空间X同胚于|K|，则称K是X的单纯剖分。

（我问过宋老师怎么判断一个拓扑空间是否可剖分，他说没有通用的办法，但是一般来说没有局部无穷结构（如Hawaiian earring）的紧致空间都可以剖分emmm

每个单形根据其顶点排列顺序的奇偶可以分为两个定向，由此我们可以对复形定义“q维链群”C_q：所有q维定向单形自由生成的整系数Abel群，再模掉定向（相反定向相加为0）。进一步可以定义“边缘同态”partial_q : C_q -> C_q-1, 把C_q中的单形s映为其所有q-1维顺向面求和。容易证明连续两次边缘同态为0，这样我们得到了一个chain：

0 -> … -> C_q -> C_q-1 -> C_q-2 ->… -> 0

由此可以定义q维闭链群Z_q=ker(partial_q), q维边缘B_q=im(partial_q+1), 以及q维同调群H_q=Z_q / B_q（事实上我是先学过一点同调代数再听到的单纯同调课，因此看到这些结构就兴奋不已）；定义欧拉示性数为各维数单形的个数交叉求和（直接推广多面体的欧拉示性数），通过简单的秩关系就能得到Euler- Poincare公式，它将欧拉示性数与同调群维数的交叉求和之间画上等号。

0维同调群是自由Abel群，秩即为复形K的连通分支个数；1维同调群是|K|的基本群的交换化；对于更高维的同调群没有简单的把握。用剖分计算同调群的过程巨大神秘，简单的就是数单形、消掉边缘链找生成元、检查阶数，难的不会qwq

当然，可以把链群的定义推广到以交换群G为系数；特别的，以某个域为系数时，链群就变成了线性空间。

有了复形，接下来就要考虑复形之间的映射：单纯映射。单纯映射K->L把顶点映为顶点，单形映为单形，并且映过去的单形的顶点 就是原来单形的顶点的像。单纯映射一方面可以通过“把顶点映过去再张成单形”诱导链群之间的同态，事实上这会得到一个正经的chain map，进一步诱导了同调群的同态；另一方面由于单形上的任一点可以用顶点坐标唯一表达，单纯映射又可以通过线性的方式 诱导|K|到|L|的连续映射。

对于连续映射f:|K|->|L|, 如果有单纯映射phi，其诱导的连续映射“和f很接近”（指二者把每个|K|中的点，打到L的同一个单形的内部），那么称phi是f的“单纯逼近”。直观来看，phi是对于f的很好的模拟，就像comsol软件建模中在几何体上划分网格进行有限元分析一样。

问题是：给定连续映射f，随意做单纯剖分，是否总是存在f的单纯逼近？

好戏来了！答案是否定的，因为给定一个剖分，单纯映射的个数是有限的（单纯映射完全由顶点决定，而顶点个数有限）；而且很容易举出反例，即单纯逼近并不总是存在。但是如果将复形重新剖分，分得更细，就有希望用单纯映射去模拟f。用很技术化的手段可以证明：只要做足够多次“重心重分”（某种特别的重新剖分），任意连续映射f:|K|->|L|都有单纯逼近！

这样，我们想对可剖分拓扑空间定义同调群的目的就图穷匕见了；接着我们就可以证明，首先是重心重分不改变复形的同调群，然后是同一个连续映射f的两个不同单纯逼近，会诱导出相同的同调群同态。由此，f可以直接诱导同调群的同态，与如何重心重分无关；接着可以证明的是若f:|K|->|L|为同胚，那么f诱导了同调群的同构，由此对于一个可剖分拓扑空间X，可以直接找个剖分来定义X的同调群，与剖分怎么找也无关。至此，可剖分拓扑空间的同调群以及连续映射诱导的群同态已经定义完成。进一步我们会发现，同调群不只是拓扑不变量，甚至还是同伦不变量。

这一段充分展现了一种思路，即对于无法计算的问题，先将其复杂化从而可计算，再去证明所得的结果与复杂化的方式无关。虽然中间大量细节听不懂，但还是要感叹，数学真奇妙哇！

最后其实还有一点内容，关于映射度、不动点和一堆神秘定理。球面S^n到自身的连续映射诱导了n维同调群的自同态，由同伦不变性容易看出H_n(S^n)=Z，故f的诱导同态的作用就只是乘一个常系数，这一系数定义为f的映射度，显然同伦的映射其映射度也相同。应用比如通过求出球面上- id的映射度，可以证明S^2n上-id不同伦于id，进一步证明毛球定理。

后面还有个感觉比较重要的Lefshetz不动点定理，通过实数系数的链群推广欧拉示性数的定义，得到映射的Lefshetz数，并且claim：如果X到自身的连续映射f有非零的Lefshetz数，则f有不动点。（实在太神秘，窝听不懂了qwq

这么写下来真的感觉学到了好多，再想想什么前沿啊什么高等啊整天喂*，令人感慨。