这是我大三上过的一门很憋屈的课，尽管我很轻松就考到了95。下面的课程评论可能很不客观，但有些话我还是要说出来。希望能对想学调和分析的同学们给予帮助，不要浪费了自己宝贵的时间去学一些没用的东西。

当时开学之前看到是任老师教这门课本来还感觉亦可赛艇，然而讲了一段时间之后真是让人觉得这不再是以前数分课上那个神采奕奕的任老师了。

课程一开始讲的还是调和分析标准的内容，比如说H-L极大函数，C-Z奇异积分算子，Littlewood- Paley理论。然而大部分细节都没有详细证明。我觉得这种硬分析的内容不讲细节简直是**，本来就是各种实变技巧反复利用，重要的就是每一步怎么去算呀。在这之后，画风一变，不知道是不是有哪位同学私下跟任老师说讲一下预备知识。任老师突然从傅立叶级数讲起，然后又是傅立叶变换L1, L2, Lp理论和缓增分布，然而缓增分布讲了三遍还是没讲清楚。此后画风又变，开始讲所谓的抽象调和分析。涉及紧群与局部紧群的表示论，小波变换，Weyl变换。这部分讲的很流畅。

总之这门课涉及的内容还是较为广泛，各方面都提到了一点。但是都没有讲透，甚至是不能让人明白这个topic想干什么，有些时候稍微讲深一点也就明白了。

推导基本都靠自己课后补，我觉得这是一个致命伤，本来这就强调你每一步怎么去算，结果上课还跳步那么多。以及，他的讲课内容是从9本不同的书上摘取的，前后顺序混乱，并不很懂。

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题外话，如果想对调和分析有个基本的了解，建议按如下顺序学习，当然自己一定要搞清楚细节，不是看着差不多就行了的。本人一直认为调和分析是主题非常鲜明的学科，近现代调和分析的各个话题背后的leading problem都是非常直截了当的。因此学习的时候务必要想办法了解这背后的动机是什么，分析学家从来不会凭空构造一堆奇葩算子去做无聊的研究。

0. 关于参考书：调和分析很难找到一本能从头到尾看下去的书。Stein的奇异积分太过古老（但前三章除了向量值奇异积分其它必看！），调和分析大板砖又过于艰深晦涩（但震荡积分部分必看！）。GTM249/250写得太过繁琐废话连篇，更适合作为工具书查阅细节（但好像苗长兴老师的书查细节更方便）。Javier Duoandikoetxea的书相对还好，但定理证明经常有不平凡的跳步，而且这书从来不写motivation。Muscalu和Schlag的调和分析内容涵盖面很广，行文简明扼要但有点跳跃，分析基础不够扎实的人自己很难补出所有的细节，有人带着念会比较好。

1. 预备知识：

L^p空间与插值不等式、傅立叶变换、广义函数与索伯列夫空间（Folland实分析第6、8、9章），

极大函数（Javier Duoandikoetxea 傅立叶分析第2章或Folland实分析）

实际上我认为以上内容应该在高等实分析这门课里面完成，Lp空间应该在实分析课程里面就加以强调而不是一拖再拖。科大的实分析课时是绰绰有余的，一般来说至多60课时就可以上完Stein的前三章和第六章前3节（这是教学大纲），如果上不完只能说明老师上课实在是太慢了，往年的实分析都是五月底就结课的。

要记住极大函数的一个给出点态上界的工具，往往是证明Lp有界性中的桥梁（因为它自身有Lp有界性）。

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2. 古典实调和分析：奇异积分理论

（1）卷积型奇异积分：椭圆方程的W^{2,p}正则性估计

参考书：Stein 《奇异积分和函数的可微性》前三章或Schlag的调和分析（下面提到了这本书的书名）第一卷第七章。

卷积型奇异积分的来源实际上是为了研究椭圆方程的W^{2,p}估计。众所周知拉普拉斯方程的基本解是形如|x|^{2-d}，求二阶导数之后大约为|x|^{-d}，而这正好就是一个标准的奇异积分核。因此椭圆方程的Lp估计最后就归结为了奇异积分的Lp估计，当然p不能取端点。当p为无穷时，需要用一些更深入的极大值原理与De Giorgi迭代的方法。

当d=1时，其特例为Hilbert变换，它来自于函数往上半平面的调和延拓（或者全纯开拓）：给定x轴上的一个函数f，我们先将其与泊松核P_{\epsilon}卷积得到上半平面的调和函数，而这个调和函数对应的共轭调和函数在epsilon趋于0的极限便是f的hilebrt变换。Hilbert变换是奇异积分里面较为重要的一个例子，更神奇的是它在PDE里面居然还能用上：著名的华人数学家邬似珏教授就是反复利用它破解了水波方程存在性的问题（迄今为止已经发了五篇这方面的四大了，都是突破性的工作）。

（2）H^1与BMO（Javier Duoandikoetxea 傅立叶分析第六章）：补充知识

如上奇异积分的Lp有界性在端点p=1 or ∞的时候不成立，因此我们可以考虑修改函数空间——H^1与BMO空间应运而生。Hardy空间我不大了解，而BMO空间则是在椭圆方程里面经常出现。另外在研究分数阶Leibniz法则的时候，端点Kato-Ponce不等式往往要把L∞换成BMO才成立。这部分属于对卷积型奇异积分的补充知识，如果不是必要则可以暂时跳过。

（3）Littlewood-Paley理论与几乎正交原理：波包分解与decoupling的雏形

参考书：Camil Muscalu, Wilhelm Schlag: Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol.1 , 第8章前三节+第9章前3节

众所周知卷积的傅立叶变换即化为乘积，因此如上的C-Z奇异积分理论也应该有它的傅立叶乘子版本——Mikhlin-Hormander乘子定理。

Littlewood-Paley理论的想法很简单，就是在频率空间做局部有限的单位分解——刻画函数在不同频率的行为，而不是仅在物理空间对x变量进行操作。

这部分引入了一个很重要的概念：平方函数。它的想法就是把函数视作频率空间里面（可数个）（几乎不交）的波包的叠加，引进平方函数的目的则是希望分离出不同频率的波包，不要让它们交织在一起，换句话说这就是decoupling的雏形。当然Littlewood-Paley理论与概率论也有关系，平方函数定理本身的结论就很像是Lp意义下的大数定律。

Littlewood-Paley理论曾在过去的10-20年中在PDE领域（色散方程与不可压流体的长时间行为研究）起到了举足轻重的作用。借助这个理论我们也可以定义很多（从频率空间角度来看）更精细的函数空间：Besov空间、Bourgain X^{s,b}空间等。只不过这套理论目前已经发展得较为完善，但仍不失成为同学们积累实例的重要来源。

（4）非卷积型奇异积分的T1定理：走向多线性调和分析

参考书：Javier Duoandikoetxea 傅立叶分析第九章，或者Muscalu-Schlag调和分析第8.4节和第9章第4-5节（只证明了一维的情况，不过想法是一样的），或者Stein调和分析(1993)第七章。

进阶参考书：Muscalu -Schlag调和分析第二卷第四章.

不要去看GTM250上的第一个证明，直接看用Cotlar引理来证T1定理的内容即可。

当奇异积分不具有卷积形式的时候，上面的方法都失效了。实际上它和卷积型奇异积分的来源也完全不一样，因此莫想着照葫芦画瓢。非卷积型奇异积分的来源之一实际上是具有Lipschitz系数的拟微分算子的研究。Calderon六十年代的工作表明它的困难可以归结于一个叫Calderon交换子的东西——若所有Calderon交换子都是L2有界的（with多项式的增长），则可以导出Lipschitz曲线上柯西积分的L2有界性，而后者则与Lipschitz domain上的椭圆方程有关。

回到T1定理本身，它之所以叫T1定理是因为导出L2有界性的关键条件是1在T下的像是BMO函数。它的证明是利用几乎正交原理——即Cotlar引理：将算子T的有界性化为T_jT_k*的有界性，后者（借助频率空间的几乎正交性）更容易估计。

T1定理本身的证明并不困难，从头讲到尾两个小时应该就够。但它证明过程中出现的工具，例如：仿积(paraproduct)、双线性Hilbert变换的雏形、Coifman-Meyer定理，则是多线性调和分析或PDE中非常重要的内容。因此学习T1定理的时候更要注意它带来的新东西是什么，而不是仅仅纠结于那些琐碎的计算。

T1定理出来之后，奇异积分理论基本可以认为是完善的了。

3. 近现代调和分析：震荡积分

课内参考书：Stein 调和分析(1993)，第8-10章；Muscalu-Schlag调和分析第1卷第11章(TT*方法的妙用、时空Strichartz估计的原型)

调和分析作为一门研究生的基础课，我认为震荡积分部分必须要讲且是重点！反而奇异积分部分可以只讲主要定理，没有必要重复太多。课内需要掌握的有：固相法、Tomas-Stein限制性估计、TT*方法是必讲。后可以讲一些较为简单的应用：Bochner-Riesz可和性与限制性估计的关系、傅立叶积分算子的Lp估计、或是借助Besikovitch集合构造的一些反例。

震荡积分本身来源于色散方程的解，例如自由薛定谔方程的解便是其初值的时空傅立叶变换在频率空间的抛物面上，波方程则换成锥面。因此震荡积分本身就是支撑曲面上测度的傅立叶变换，而且与傅立叶限制性估计有直接的关系——曲面是R^d中的零测集，将函数的傅立叶变换限制在曲面上是否能有意义？这便是傅立叶限制性估计要回答的问题。反过来，给定频率空间里面某个曲面上一个函数，能否在物理空间里面讲其原函数（可以视作反傅立叶变换）还原出来？这两个问题实际上是等价的（借助Lp空间的对偶即可完成）。

Tomas-Stein限制性估计于1975年完成（前者证明了非端点的情况，Stein利用复插值的方法给出端点估计，当然现在用TT*方法+Hardy-Littlewood-Sobolev不等式一两页纸就秒了），但是这与Knapp反例+球面测度给出的sharp指标仍有距离。至今≥3维情况的sharp restriction estimates还是公开问题，也是调和分析四大猜想之一。回过头来看，Toams-Stein限制性估计的局限性是：他们没有对频率空间作分解——无论是复插值还是TT*+HLS不等式都无法完成这件事情。另一方面，Knapp反例的思想（或者说它本身）却恰好是波包分解（进一步地，decoupling去耦合）。这就给了后人做出突破的方向指引。

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学习过程中，以下几点需要格外注意：

1. 积累一些反例：例如很多$L^p$有界性在端点情况不对，反例是什么？这些反例有何具体的意义？不少情况下反例就是一些诸如bump函数、幂函数等很常见的函数，或是构造一些特殊尺度的cap来解决问题，这都是值得思考的。当然，这些例子的验证都需要亲自去完成。

2. 记住几个常见的应用，尤其是与PDE、格点估计有关的问题。

3. 尝试自己去理解并解释“为什么”有些地方需要按那样构造，这些技术的目的是什么。例如，可以问自己Calder\'on-Zygmund分解的大致目的是什么？Littlewood-Paley理论里面 Bernstein不等式及其一系列114514个推论里面，如何去理解“s阶导数”？极大函数在很多的证明里面都会出现，其目的是什么？不用极大函数过渡，证明会在什么地方崩溃？反复推敲这种问题，有助于理解调和分析的内容。

4. 不要过分纠结于奇异积分理论中过于细枝末节的知识。最有用的永远是定理本身而不是那些赘余内容！奇异积分部分的教学在两个月内是可以完成的。

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以上是我认为调和分析一个学期应该cover的内容（从奇异积分开始讲），遗憾的是除了2014年赵老师的调和分析做到了以外，科大的调和分析课可能还没到Littlewood-Paley就结束了。实际上Christopher Sogge的Fourier Integrals in Classical Analysis的前20页不到就已经涵盖了我上面提到的一个学期该上的一半内容，从而真包含了科大调和分析课程的内容(除非赵老师教这门课)。虽然Sogge这本书对读者并不友好 ，但我真心佩服作者仅用一个定理直接串讲完了奇异积分与Littlewood-Paley的核心内容（C-Z分解、Mikhlin- Hormander乘子定理）。所以不得不慨叹数院这门课早已与时代脱节，甚至我可以说科大的调和分析课程就是屑。不知道数院这门调和分析课什么时候能跟上时代。

我已经于2017年从中科大毕业，目前在霍普金斯念PhD，下学期我也会修读Sogge先生亲自授课的调和分析。届时我将上传Sogge的课堂笔记。

要知道这可是研究生课，开这门课是让大家打下基础并走向前沿的，何必将一些过于简单的东西花长时间重复呢？一个学期下来某些老师（当然不是说任老师）连Littlewood-Paley这种调和分析里面的常识都讲不到，居然还从Lp空间这种实分析常识开始讲，这不是在浪费学生的时间吗？

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Sogge并没有完全按照他自己写的那本经典分析中的傅立叶积分讲。大概是讲了第0-2章（基本知识+TT*估计，震荡积分固相法 ，Carleson-Sjolin限制性估计，Riesz-Bochner极大函数）和前几年Bourgain的L2-Decoupling选讲，不过这部分讲了挺长时间的。第零章他真的两个星期就上完了（（（

我认为调和分析这门课，或者说任何一门高年级本科生/低年级研究生的基础课，其效果应该是让学生掌握基本语言，并且这些基本语言能有效地为学生直击前沿服务。例如pde中的调和分析方法，尤其是色散方程与不可压流体的长时间行为的研究（不过这个好像做得差不多了，有兴趣的同学可以看Dodson的Defocusing Nonlinear Schrodinger equations一书了解一下这套经典理论，是调和分析课程很好的练习与应用），以及流体稳定性的问题，就是大量地运用各种色散估计，那么这就可以成为这门课的目标之一。而其他的内容应该成为“直击这个目标”的辅助内容。何必要像Duoandikoetxea或者gtm249上那样讨论114514种核函数的奇异积分呢？basic idea就是c-z分解的东西，讲清楚这个想法和第一次操作的细节我想就够了，其他没用的东西何必要讲呢？

纯调和分析我并不懂多少（我是pde人），但我想限制性估计，bochner-riesz乘子，local smoothing等等，甚至L2-decoupling仍然是如今调和分析绕不开的话题。（有些是16年暑假在苗老师于科大作报告的时候听到的）而接触这些东西的前置内容主要也就是基本的震荡积分（实际上震荡积分技巧在pde中也是大量被运用），那我们也没必要在那些早已成为cliche一般的基础知识上花费太多时间。有兴趣的同学们则可以（在熟练掌握如上知识的情况下）阅读

Cirpian Demeter: Fourier Restriction, Decoupling and Applications, Cambridge studies in advanced mathematics 184.

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无论如何，我认为这门课的使命：

一是让学生领会古典傅立叶分析的基本工具， 例如奇异积分，Littlewood-Paley的频率局部化思想，震荡积分（固相法）与Tomas- Stein限制性估计的想法（早期的证明是复插值法，但我认为更应该讲TT*方法，schlag书上都有）与局限性。

二是直接为学生接触该方向的前沿做好充足的准备，过时与琐碎的东西，即便经典，也没必要赘述。要知道五十年代的调和分析书可是讲了一堆三角级数的，七十年代的调和分析书也是有各种非常具体的计算。现在换你你愿意学么？我们学习的目的是为了做出更多的工作，而不是去回顾那段漫长的历史。

这应该是这段评课最后一次更新（2020.1.17）（2019.5.22）。我虽然发表了如此多的异议，但我对任老师以及评论区出现的老师没有任何不敬。发表这些只是想说出这么多年来我的一些看法，仅此而已。希望这门课能越来越好！