"我们走后，他们会给你们的成绩审核通过，会提高你们的优秀率，这不是因为他们良心发现，也不是因为他们变成了好人，而是因为我们来过。"

今天上了一节课后，大一上熟悉的感觉回来了。可以说很久没听过如此酣畅的数学课了

上任爷的课，恰似乘观光巴士游览景区。

这辆车速度不快，没有心惊胆战的狂飙；这辆车不会停车，没有始料未及的急刹。

到达每一处景观时，乘客无须急忙掏出手机拍照，担心下一秒就错过精彩，而失去了端详品味的兴致。

路过崖侧的青松，一瞥便能尽收旖旎于眼底；行至无垠的花海，这辆车会带你遍历一切路径，从不同视角欣赏其全貌，直至完全内化于心。

这趟旅程景致缤纷，上车时的兴奋、路途中的惊叹、下车后的满足，皆不虚此行。

 什么是任爷？

他说：

人类是宇宙的眼睛，数学是人类的眼睛。

他说：

实分析是积分定义最广的场所。

他说：

数学是一门仿生学。

他说：

八元数统一人类社会。

他说：

集合X，我们视为宇宙。

他说：

Zorn引理是一步登天的膨胀法，具体表现为稳扎稳打、得寸进尺、一步登天。

他说：

它们两个打乒乓球，不断地拉回。

他说：

当时美国用的是c，苏联用的是\(\aleph\)，其他国家呢？其他国家说了不算。

他说：

Cantor集上的居民，生活在分数维空间。

他说：

Cantor函数几乎处处不学习，但最后能拿满分。

他说：

可测集能将任意集合很好地一剖为二。

他说：

没有一把万能的尺子。

他说：

要避开\(\infty-\infty\)的陷阱。

他说：

可测集可以由开集收缩的到，或者由紧集膨胀得到。

他说：

外测度的下半连续性是Fatou引理的另一面目。

他说：

开集中的点是有房一族。

他说：

令人无法接受的是，\(\mathbb{R}\)中不可测集的势竟然也是\(2^c\)。

他说：

可测集差不多是开集。

他说：

可测函数差不多是连续函数。

他说：

几乎处处收敛差不多是一致收敛。

他说：

可测函数的分解，就是原子搭积木。

他说：

和可测函数的四部曲一样，积分的定义也分四步走。

他说：

处理双指标的时候，用到min阀门技巧。

他说：

测度是对特征函数的积分，而积分是一种测度，称作“绝对连续测度”。

他说：

实分析中没有级数理论，因为级数就是一种积分，是关于计数测度的积分。

他说：

Riemman是采用切片面包的方式，而Lebesgue采用的是分层蛋糕的表示。

他说：

这个Fatou引理就像我们科大的学生，在校内看不出什么，拿到社会上就变得很厉害。

他说：

控制函数可以防止面积逃逸到无穷。

他说：

好久没写字了，胳膊有点累。

他说：

取不到极限是因为框架太小了，我们要把框架搭大一些。

他说：

实分析的顶峰，就是交换次序的等价定理。

他说：

测度论的顶峰是Radon-Nikodym定理。

他说：

昨晚喝了一杯咖啡，一晚上没睡着，如果我站着睡着了，请把我叫醒。

他说：

量子物理研究的是Hilbert空间中非有界自伴算子的谱。

他说：

Fubini一统天下。

他说：

把它分成“好+小”两部分。

他说：

Vitali覆盖是分析的手术刀。

他说：

\(L^p\)空间是边角料中的边角料。

他说：

对偶和变分是分析中的两大法宝。

他说：

测度论和积分论是实分析的双子塔，美国的双子塔已经倒了，但我们实分析的双子塔不会倒。

他说：

一学期下来，我们也到了收获的季节。

他说：

分析是极限的艺术。

今年第二次带这门课助教，整体内容与去年大同小异。随着mj教授的改革，H课的给分也迎来新时代，今年一共选课51人（有一人是0分，相当于有效人数是50人），有25人总评拿到95以上（含95），36人总评拿到90以上（含90），成绩顺利审核通过。

附一下今年的考试题（助教出题）：

期中 2023实分析H期中出题.pdf

期末 2023实分析H期末出题.pdf

在科大数院跟着任爷上过两门课：实分析H与数学分析A1，这学期担任任爷的助教，简单写几句。

关于课程：

实分析课程的内容与学习建议我已经在王兵老师的评课下面写的比较详细了，任爷除了实分析标准内容之外，还会讲一些集合论与点集拓扑的知识。但相比华班学生的知识接收速度，任爷讲的确实有些慢了。

关于考试：

任爷每年都会让助教提供一些考试备选题，最后基本上80-90分都是助教出的，所以从往年试卷推测当年的出题风格是不可能的。我提供的期中题如下： /uploads/files/89baa115e39954800dee7caf241603255f76be6a.pdf。

关于改卷：

期中改卷标准非常严苛，不过也可喜地看到在如此严格的扣分下依然有学生能拿到96的高分。期末大放水，不少人拿到了卷面100，班级中位数87。

关于给分：

第一次上传的分数被打了回来（jwc嘛。。。懂得都懂。。。）好像是新规定了总评平均分不能超过85，反复试验了几次，最后调分后总评平均分84.9，一共39人，90以上给了17人，任爷已经尽力了。说真的，华班的优秀率其实应该再高一些。

难度中等-作业不多-给分超好-收获一般 大概是这门课比较合适的评价 任爷还是很好的 后来也发出了大部分的ppt 但过于简洁的证明思路书写还是会让人在理解上产生不少困难（内容含量(zmq1-6和一点点抽象测度论 但比较阴间的部分都不会涉及)与作业都不算多 因此可以摸 实分析也算是相对可以速成的科目 成体系地理解概念之后 任爷的考试一般不会涉及什么变态技巧）

期末放水 但我因为有个ppt上的定义没注意到喜提-8 这个故事告诉我们书和ppt都得好好看

先捡着优点说吧，任爷上课总是先把整个框架展示出来，再在后续时间里慢慢填补，对于小白来说确实很好接受，上课跟上也完全没有问题。而且任爷本来也很有人格魅力，自己期中考炸之后去找他聊天，给了很多指导（虽然自己没几项做到了），而且很鼓励我这个垃圾转院人学数学。哭死~~

但任爷的PPT确实很简略，假如考试按照PPT上写，要被扣惨。。。。而且上课花在一些“框架”上的时间有点太多了，整体显得华而不实。

有没有一种可能，H课比普通班更适合没什么基础的人。。。（迷惑）

第一次写评课社区，各方面的评价可能比较主观，大家多多包涵。

实分析（H）这门课程主要的内容如下：

主线：集合论→Lebesgue测度论→Lebesgue积分论（PPT 2-16+20-21）

支线1：抽象测度与积分理论（PPT 17-19+22）

支线2：Lebesgue框架下的微积分基本定理 （PPT 23-26）

支线3：L^p空间理论（PPT 28-29）

每一部分的详细介绍与核心内容可以去看田助教的详细介绍，这里不再赘述。

不得不说，任爷对于主线和支线2的把握还是相当精彩的，内容有深度又通俗易懂，紧跟老师步伐弄懂PPT上的内容应该不会落入“实变函数学十遍”的囹圄之中（但是两三遍似乎是有必要的）；但是支线1和支线3可能因为课程安排与时间原因讲的不是很详细，许多内容只是介绍性质的（当然抽象测度这块儿似乎考试考都没有考），不过这里还是建议大家多去学一些，可以参考Folland书上的相关内容进行补充（至少我个人认为该书上用支线1的知识去证明支线2的里面命题的过程是相当精彩的）。

教材方面，个人不建议使用周民强的教材进行自学（尤其是第一遍），感觉逻辑有些混乱。我自己学习本门课的路线是：寒假的时候先找网上任爷往年的课程视频听一下，了解个大概，适应了之后直接看Folland书。

助教方面，懂得都懂，个人能力强大不堪，而且感觉与带数分A1时候相比仁慈了不少吧（笑）。可能是因为毕业和出国相关事宜吧，这学期的习题课比较少，而且大部分时间讲的都是拓展内容（比如说Hausdorff测度和谱测度），其实还想听田神讲更多拓展内容的！！！希望明年的助教可以继承田神的精神~

考试方面其实我个人有点小小的不满意，其实我个人不太好评价“PPT默写”式的考试对于促进课程学习的效果如何，但是至少从最后的总评给分来看算是皆大欢喜（班级里面一半的同学拿到了满绩点）。

总的来说，我对于实分析（H）这门课程的整体评价还是很高的，但是内容设置上和考试题目设置上可能还是有一定的改进空间，所以打9分。内容方面，如果任爷还是不发生改变，讲的比较介绍性的部分可以通过自学弥补（或者求助教浇浇）；而考试题目设置方面，或许会因为助教的变化而发生风格上的改变（这两年都是田神给任爷供题任爷略作修改，不知道明年会如何），这些就靠之后的大家了！

先来占个坑

这学期依然是ppt授课（那看起来以后都是ppt了），板书“差不多”是没有的。任老师讲课是很有特点的，能经常讲授数学思想，但其实我个人感觉这是一把双刃剑。。。就有时候课上空话套话稍微有点多。

然后个人还是感觉在ppt上做数学证明不是一种最好的方式。如果硬要用ppt，私以为权宜之计是一行一行地放出证明，而不是一下把证明全放出来。。。

另外还有一点是上课详略稍有失衡，一些例子虽然简单，但是却花了很长时间讲解；而一些证明比较抽象、困难，却只有干巴巴的文字（当然可能只是我太菜了😂

非常喜欢板书授课的同学，上述个人感受可能有小小的参考价值👻

期末出分了。给分是真心好，期末在平均90左右而我错了十道题里两道题的情况下仍然能给优秀。。。

下半学期的观点确实高，但自然细节就相对少了，看个人喜好吧

任爷讲课很接地气，经常会用一些通俗的话语解释实分析里的基本思想，但是我认为只听这些东西的话还是会缺乏对数学本身应该具有的严密性的认识。用PPT讲课就更是如此，讲一些证明过程的时候就像是在念latex代码，听下来还不如我自己自学的时候认认真真的在纸上follow一遍收获大。这也是我为什么坚持认为数学课用板书讲课才行。至少对于实分析这门课，这么做非常有助于对初学者的“分析功底”的构建，而这是仅凭“把证明念出来”所无法做到的。

讲zmq的内容至少我可以课后自己重新学一遍，讲其他一些补充内容的时候，虽然我在看其他教材的时候自己就学过一遍，但是再听他讲的时候还是觉得云里雾里，甚至没有我第一遍学的时候那么明白。当然补充内容也不考，听不懂也就无所谓了。

作业都是zmq的习题，不是太水就是太多技巧。我在自己把Stein前三章的习题做了一遍之后就觉得做zmq上的题就是为了做题而做题，做过之后对理解整一个所学内容其实没有多大帮助。相比之下Stein的习题就很多干货，像普通班今年期末考就考了大量上面的原题，但是个人觉得能把这些题理解清楚，实分析这门课也就基本上算是学懂了。（不过zmq的正文内容还是不错的，一些比较重要/奇怪的例子的构造实际上也是Stein的习题）

给分的时候有点小插曲：

最开始助教帮任爷拟定了给4.3,4.0,3.7各十个（总人数39），但是据说由于教务处新增了“均分不能超过85”的规定，最终结果如田助教的评论里所写。由于此事事关H课是否真的“不限优秀率”，我先后向数院负责管理华班的老师以及jwc负责成绩管理的王晓荣老师求证，得到的答复均为没有这种说法。（下附截图为jwc王老师的回复）

不过最后给分还是很不错的。

2023.06.23 更新：

这学期选了调和分析，期末被gank了，恰逢今年实分析H期末出成绩，特地在此破个防：

2023.07.28 更新

怎么到现在还有人总觉得H课就理应给多高的优秀率啊，又动不动就说优秀率给高了教务处不给过什么的，是有迫害妄想症还是咋的，，，最近水群又听说去年“被驳回”实际上是助教把总评给好之后任爷觉得大家考得也没那么好不想给那么高才这么说的，而且我去年就问了并且在这条点评里也写了教务处根本没有这种规定，自己选择性失明还赖教务处，教务处才没那闲心管你均分多少呢（当然这不影响教务处没ma的事实）

反正任爷，助教，教务处当中至少有一个人没说实话，你们自己猜是谁吧\偷笑

老师是好人，助教也尽力捞了。

只有jwc是啥比！！！

任爷水平还是高的，另外这学期的李助教必须点个赞，非常负责，习题课，作业考试的批改都非常认真。

扣两分一分扣在用ppt上，ppt的上课效果实在有点一言难尽。另一分扣在周民强这本书上，个人对这本书实在是深恶痛绝，正文中间穿插着一堆杂七杂八和正文没啥关系的例子和习题，使得主线很不明确。课后题目是很多，但做作业的时候感觉很多题目质量很差，有点强行拼凑或者意义不明的感觉。

给分：今年考试比较容易，期中很简单，90多甚至100者众，期末加大了难度，但也并没有难到哪去。因此最后没有调分（可能捞了一下卡绩的人），但最后大家考的都很好，优秀大概有30人左右（一共也就40人不到）。另外今年明显是助教出题（至少大半是助教出的），很多题目是从Rudin，stein之类的书上摘的，明年换成任爷自己出题的话情况可能会变化。

本人不太适应任爷风格。。。

话说任爷在疫情那学期之前应该不用PPT吧，这学期是不是有了PPT之后变懒了。。。（悲）

任爷的水平绝对是高的，但我觉得介绍性、框架性的内容的比重对初学者来说偏大了，一些细节不太到位。

不过任爷讲课速度确实不快，因此可以Stein和Folland同步跟着任爷进度。。。

实分析的双子塔：测度论，积分论

分析是极限的艺术

测度可以视为积分，积分也可以视为测度。

好了，实分析学完了（bushi）

原本以为PPT式教学会导致课堂笔记做不完，但任爷对节奏的把握总能让你及时补完笔记并且弄懂（

任爷所用的PPT应该是用了很多年了，每年都会对一些错漏作出修改，但所有内容关于时间保持a.e.相等，在孙天阳学长的主页里或者是西瓜视频（田神说的，我也没有考究过）都有任爷往年的录课，要是想提前学习实分析，可以去听一听。

PPT主打一个简洁，一面PPT的字寥寥无几，但是足以概括整个定理的证明。这样做的代价是，自己看PPT弄懂的时间要比上课听讲弄懂的时间还要长，而且有些具体的细节还需要课后进行补充。PPT的证明和例题大部分来自周民强的教材，或许是因为我之前看的是stein，因此对周民强还不太反感（？但是stein写的是真的抽象。

任爷讲实分析的思路主打一个体系建构，这是上其他数学课从来没有的体验，对于我这种喜欢搞体系结构化学习一门课的人来说再合适不过了。从关联测度论，积分论的大体系，再到重要定理证明过程的结构化思想（打包研究目标集合，积分经典四步走，提取微积分基本定理背后的商集对应等等），个人认为这样的学习才能真正把握一门课的脉络。当然要想更深入全面地学习实分析，还得是看Folland。

关于作业，周民强上的题比较适中，例题有部分比较困难，但是相比于stein和Folland上的习题可以说是没什么营养。要想在做题过程中领悟题目的真实意图，可以做stein的习题。不过考试（包括H和普班）的命题风格跟周民强贴近，这点需要各位自我权衡。

考试不必多说，考试的形式决定了这门课可以是相对轻松的课，但是容错率也会大大降低，平均分会很高，一题错了就会到中位数。助教改卷也主打一个尽量捞分，希望这个传统可以继续延续到以后的实分析H课上，造福广大生存不易的花瓣学子。

转数人一枚，有幸成为任爷的学生。

ppt主要参考folland，课程主线与zmq差别挺大。大致框架是：基本集合论，抽象测度，Lebesgue可测函数，Lebesgue积分，抽象积分，Fubini定理，微积分基本定理，Lp空间。许多细节也采用了与zmq不同的方式处理。笔者由此认为教学内容与若干年前已经有了很大调整。作业依旧是布置zmq的习题，这一点将来也许可以改进。

任爷的课堂引人入胜，一学期下来获益良多，就是上年纪了，一些例题容易挂黑板（乐）。这节课其实不需要太多前置知识，给分也是极好的，属于是老少咸宜了，对自己有自信的大一学生可以尝试大一下就把任爷的实分析选了。不过假使有人能继承ts的伟大精神，以后这门课可能会一位难求hhh。

最后说一下听这门课比较遗憾的点吧。首先是积分本身与泛函有着千丝万缕的联系，囿于知识所限，这门课对此只能做到一点点科普。其次，在抽象积分这部分，不少重要的结果只给出了证明的部分或者不予证明，笔者翻阅了folland的对应章节，私以为无论是难度上还是篇幅上都是可以做到完全证明的，略有遗憾。不过教学内容仍旧是瑕不掩瑜。

任爷数院同学都不陌生，上课主打接地气理解记忆法，摒弃了毫无直观可言的部分。

上课采取的是高观点讲课，低难度习题的策略，非常非常舒服，比隔壁复变函数好太多了。（史济怀复变教材习题太难了）

由于任爷PPT制作的独特风格，一开始可能不太适应他上课的ppt形式，但差不多过了6个ppt以后就能轻车熟路了。（不过ppt有点简略，没有适当笔记不具有可读性）

考试方面，同时感谢助教田神，出题心慈手软，都是些应知应会的东西（PPT里的），可能比较水（简单）？但毕竟是H课，教啥考啥应知应会。（不喜欢专门用来区分同学的压轴题，对于一道题，如果只有一半人做出来，那是老师上课没教好还是这部分人靠聪明才智胜人一筹？那要上课何用？）

期中中位数92，期末中位数90，皆大欢喜。

教材是周民强，一本陈旧而标准的教科书，正如作者所在机构北京大学的培养计划一样。如果你实分析只会周民强上面的内容，那么你还活在二十世纪上半叶。

实分析这门课，在后续学习中我只在动力系统课程中用到了其内容，在我的研究方向中完全没有再出现过。如果还在背诵周民强，还不如取消。

华罗庚会多复变，但不会在1963年（文革之前三年）就已经成熟了的微分流形理论。所以华罗庚没有资格搞复几何。

华罗庚班真是个笑话。15级数院很多厉害的同学们，比如姚院士，主动不加入华班的。

大一的时候上了任老师的数分，那个时候就很喜欢任老师上课的节奏和板书，或者说对于任老师上课的高度很崇拜。于是一直期盼着上任老师的实分析课。其实上第一节课的时候，任老师用ppt过了一遍实分析大概的内容，那种感觉就好像又回到了大一上第一节课的感觉。

第二节课的时候任爷上课还是用ppt，那个时候还有一点失望。毕竟很大的程度上是冲着任老师的板书来的，但是听了几节课之后，慢慢的也就适应了任老师上课的节奏。对于一个证明任老师还是讲的很细的，就是有点快，如果要记笔记的话，那就有点考验手速了。哈哈。但是任老师讲完一个定理之后就会问同学们有没有问题，其实我感觉这样挺好的。

另外我感觉任老师最厉害的地方在于对于实分析内容的理解高度。任老师应该是教了很多年的实分析了，各种原本抽象的东西在他心里可能就已经变得很直观很具体，而且可以把它讲出来，这是我非常佩服的地方。个人感觉像数学这种抽象的语言，如果心中没有一个大致的轮廓，很快就会忘得一干二净。任老师给予了数学概念另外一种身份，其实是很有助于记忆的。不过任爷每一次上课都会重复之前的概念，前面几次可能还好，加深印象，但是到了后面阶段，感觉有点迷。。。难道这就是所谓的‘实变函数学十遍’？？

至于作业和考试，作业很简单，没意思，感觉隔壁班的作业还要难一些。考试的话，期中挺简单的，有些困难的题有提示。期末有点难，没考完，不过貌似改的挺松。。

给分挺好的，最后感谢任爷抬了一手，在卡绩边缘捞了我一把，orz。

第一次遇见主要靠ppt而不是板书的数学老师，还是有些不习惯，个人还是更喜欢板书教学。然后好像所有人都在说这门课简单，菜鸡哭了。

助教超级好，每周都有习题课，补充很多内容，每次都是两个多小时，可惜我比较菜，基本上一个小时之后开始懵逼，大概也是习题课人数随周数递减的原因。

给分没得说的，优秀率接近70%，期末低了均分近10分都打算重修了，老师硬是把我捞上了优秀。

       任老师拿ppt上课，这点我不是很喜欢。ppt这东西翻得很快搞得不好记笔记，证明也过的很快。这多出来的时间老师比较喜欢拿来讲理解，但是讲来讲去很多东西都是复读，有这时间还不如把证明详细讲一讲呢。

       另外上课的内容也emm。周民强那本书的内容较Stein单薄了一点，像是littlewood极大函数我们没讲，普通班倒讲了。还有抽象测度那里讲的也很模糊，有些证明不是很严格的样子。而且作业也太简单了，绝大多数都是在套公式，一点分析的意思都没有。

教材是周民强《实变函数论》，强哥的教材特点是例题难度大，不过对华班可能正合适。任爷特别喜欢这本教材，备考只要做书上的例题和习题就好了。这学期课时比较充裕，老师补充了抽象测度，这部分可以参考徐森林老师的同名教材。

任爷的课最大的优点就是主线明确，从零开始构建实分析“大楼”，其中核心的内容是什么，每定理位居何种地位，不同的定理有哪些内在或外在的联系，老师上课会反复强调，直到你理解为止。其次，任爷上课行云流水，每一步都知道要干什么、为什么用这种方法、其中蕴含了什么思想，都给你解释的很清楚。这学期学了很多数学课，听任爷讲定理的证明是最舒服的、是永远不会犯困的。任爷不会难为学生，作业少而精，期末考试题目都比较基本，助教讲了一个挺难的例子被老师删了，最后给分也很好。

虽然拓展的东西不多，但是听课比自己看书舒服太多了，本来有一定难度的实分析被教成中学生都能理解的难度。这是一种高超的教学艺术，是大多数老师想讲而讲不出来的。听任爷讲课可以帮你把自己看书“百思不得其解”的时间节省出来，用来学自己感兴趣的东西，这才是基础课的最高境界。如此鉴课居然连9.5分都不到，米娜桑是不是有些要求过高了。

因为之前没有上过任老师的课，所以不是很清楚任老师的上课风格。这学期的实分析H因为疫情上的是网课，任老师上课用的是ppt，但ppt上的细节严重不足，大多需要老师在ppt上手写补充。

另一方面任老师上课的速度个人感觉非常的慢，导致进度比普通班慢了很多很多，不过在后期用一节课（如果没记错的话）讲完了大部分抽象测度内容，但老师还是补充了很多有意思的例子。因为我很早就自学过实分析，所以我大部分时间只是开声音挂着直播然后刷手机，或者在周四和微分方程2H冲课的时候关声音去听微分方程2H。（为什么不直接不听是因为怂，担心自己漏掉一些细节orz）

考试的话很多人都已经提过了就不再提了，很简单，但还是zz错了几处细节(比如非常简单的积分计算)导致最后被卡了94（虽然一分没调很难受，但是因为错的题实在是太zz所以认了orz）。

我是20春在家上的网课，，，

因为无法板书，任老师全程使用了PPT（但并没有发给同学，好像是担心泄露，无可厚非吧）。我因为很早为了学概率论、泛函、方程2等课，1年前就自学过了实分析，这学期网课事实上也没怎么听，，，

最后期末考了10道题（各10分），准确来说不难。我大概1小时出头就写完了9道，剩下一道“证明R中非空完全集不可数”这道之前的作业题想不起来，盯钟发呆了几十分钟。。。

后来出分，借着作业分刚刚好往上提了一档，应该算相当圆满了。

学过的课里面觉得上的最好的老师，没有之一

老师把所有的细节和思路，以及为什么要这样做讲的清清楚楚。而且不知道为什么，有一种高中老师上课的感觉，可能是他上这课已经上了无数遍了吧。

只要认真听课，感觉不写作业都没问题，唯一的问题就是讲的有点少，不过按照他的意思，后面有些内容不去在后续课程中系统的学，现在蜻蜓点水点一下也没有什么卵用，索性不讲。

最后，给分超好

任神讲课不带课本，行云流水。

经常给学生梳理知识体系，构建一个完整的知识框架（实分析大楼）

中间穿插周易，庄子

给分超好，不卡g点，总评绝对出乎你意料。

教材是周民強的《實變函數》。其中，第五章的5.5和5.6兩節沒講，而第六章只講了6.1和6.2中的完備性。（H班比隔壁王火箭和麻方程講得少）大概15周就結課了。

老師講得很好。作業大概是每週8道題。

期中考大放水，2小時6道題，平均分接近90；期末考提升了難度，2.5小時10道題。

給分好，總評91，比較滿意。

2019/3/1 講的少了點，建議自學folland。