期末考完补评。考试从18：30做到二教关门（曹老师传统），除去最后一题前面选择简答证明也就1.5h；结课那会儿会发样卷，和真正考试相近的题还是很多的，记得小抄多抄一些定理（等效原理啊buchdahl啊birkhoff啊之类的），方便写简答题；如果看到有什么题，克氏符每个都长达一行并且还要算测地线，别做，快跑。引力波一般比较好算，因为难算的算不出来。

嗯虽然觉得老师讲得很好，但是复习的时候确实相当痛苦~

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结课补评，补在分划线下方，出于尽可能不改变评分的原则，改成一个平均分（以免有人看到评分后对真正有价值的评课内容带上偏见emmm

曹老师很注重数学，前八周讲了代数基础、拓扑、光滑流形、向量场、联络（向量丛呼之欲出不过没继续讲）、（半）黎曼几何，到第八周逐渐进入物理内容的学习。

个人体验非常好，前面的数学内容大部分都自学或听过王🚀的课，所以接受起来比较容易（还是有新东西的，比如广义黎曼流形上的指数映射利用测地线来进行flow，关于时空弯曲的挠率、weyl张量等的讨论）；可惜抽象指标我真不喜欢，我觉得这个东西让人搞不清楚在讨论的数学对象是什么，尤其是表达式里面有联络的时候。曹老师的ppt很细致，学习时和复习时都很有用。

经过了漫长的数学准备后，曹老师给出了他关于引力理论的理解：一个引力理论包含时空观和场方程两部分，时空观包含了用什么数学对象、什么样的度规、联络去描述理论，场方程描述了物质与时空具体如何相互作用。我觉得十分精辟，让人豁然开朗（考虑到几何化定理，这个总结比玄学广义协变和等效原理靠谱多了）。

（由于妮可课程安排的问题，曹老师不得不讲一些本来大一数学课就应该讲的线性代数……（线性代数b不事线性代数.jpg）

在妮可理论物理专业能遇到这样的课真是令人欣慰。以及曹老师人很和善！ （等待期末补评

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个人感受：曹老师前半学期的讲解可谓高屋建瓴，如分划线上方所述，真正实现了把抽象的、模糊的物理思想转化为可描述、可推广的数学语言，也把广义相对论从神坛上拉下来，告诉我们这不过是一种最简单的引力理论。

从等效原理开始趋于平淡，大概是这部分内容确实平淡；Lovelock定理可以算是一个小高潮，它告诉我们在拉格朗日场论的框架下，对于度规引力理论（引力场仅由度规描述），只通过“微分同胚不变性”和“运动方程所含偏导阶数”这样简单的要求就能直接确定拉氏量的形式。一个自然的推论是：4维时空中，广义协变、且场方程只包含度规二阶偏导的引力理论只能是广义相对论，最多加上宇宙学常数项。我一直很反感从拉格朗日场论出发没有什么理由地写下拉氏量然后去生成各种没有道理的理论，但lovelock定理及其在其他引力理论下的推广做到了“无可辩驳”。

后面内容：

施瓦西解。在这里着重联系了前面所讲的参考系，研究了各种观测者的轨道和观测量、光子轨道、施瓦西解的扩张；（后面Kerr解可能实在复杂，当科普直接过了）

时空上的因果结构，时空渐进性质。一个重要操作是时空的共形嵌入，把无穷远点拉近（太神秘了，讲得又快，说实话没听懂）

黑洞的形成过程，球对称引力坍缩。这里面Birkhoff定理感觉很重要，因为之前讲施瓦西解的时候只是在给定的施瓦西解下讨论问题，并没有具体讨论什么情况下会得到施瓦西解；Birkhoff定理声称，真空爱因斯坦场方程的球对称解必然具有施瓦西解的形式。

引力微扰理论，引力波。虽然确实是研究前沿，但是听完基本理论，Stewart-Walker两个引理，简单的线性引力场方程，后面太神秘了，讲得又快，说实话没听懂……（变成了记结论党qwq）

宇宙学（课程名的后半部分出现在最后一节课）。大概就是宇宙学现状简介，观测事实，FRW度规直接根据宇宙学原理（大尺度上均匀、各向同性）就能推出来；把这一度规代入爱因斯坦场方程，并假设物质有理想流体的能动张量，一通操作化简出Friedmann方程，这样宇宙热历史的内容基本上都可以根据这一方程进行讨论。（剩下的时间是讨论friedmann方程的解，太神秘了，讲得又快，说实话没听懂）

我感觉我学到的最多的是观念上的东西，除了如上所述之外，曹老师前半部分的巨大升级让我意识到数学对于物理的重要性（即使不说数学物理这样明显的二者相互促进发展）。对于更偏物理的事情，站在足够高的数学角度理解起来也会变得足够容易；物理思想也会需要数学描述来具体化，分不清坐标系与参考系的时候谈论广义协变性和相对性原理无疑是misleading的；再者，数学为物理的进一步发展指出了道路，明确地告诉了我们如果想发展beyond GR的理论需要放弃一些什么。

后面的内容实际上很希望曹老师能够删去一些，用来细讲前面的东西。还是那个问题，虽然曹老师确实是位优秀的引力理论研究者，但是下面的学生好多高能人凝聚态人，未必多么care很专业很细节的topics……虽然如此，曹老师的课绝对是理论物理专业之光了，学到的东西是理论物理方向其他课总和的114514倍

这门课我的收获算是挺多的，不过值得存疑的一点是，有些收获是否是一门入门课应该涵盖的，镜像问题是，入门课应该涵盖的收获这门课到底覆盖了多少。

曹老师人其实非常好，可以私下和他约时间就是普通交谈那种，上课讲解也会问大家是否听懂了，知识方面，其实曹老师应该是对这门课应该如何讲有自己的认识的，虽然他讲解的内容很多在梁灿彬、Wald的书上可以找到，但从内容编排、讲解方式而言，可以看到曹老师自己的精心设计。

曹老师课程最“广为诟病”的可能是数学化成分过多，先客观说一句，其实曹老师也不会真的去折腾一些对引力理论研究完全没有用的数学，比如他说他不知道范畴论对引力研究有什么用（但好像对凝聚态研究有用），所以对范畴论他只作介绍，目的是便于理解拉回映射和推前映射，应该说从这里可以就可以看出，曹老师还是挺善于讲一些纯数学的东西，包括讲张量代数时，他也知道怎样总分结合地讲，先讲个总的框架，后面多次地flash-back。

我认为不恰当的地方之一在于开头所说，与一门入门课的适配性问题（学校是把这门课设置成了本研一起上的，我觉得如此设定极不合理，宛如把量子力学与量子场论II合在一起）。曹老师还花不少时间（至少PPT页数不少）讲解了诸如流形上度规存在性的问题，应该说这样的问题至少还不至于去困扰上intro课程的学生吧……这种不适配的数学灌输，一个明显的结果是，老师讲得数学概念，如果是学生在课前已经有了初步认识的，那么可能可以听得酣畅淋漓，如果不是的话，大概是越听越迷。

另一个不恰当的地方，同样是个值得关注的问题：没有讲清楚为什么我们需要使用这样的数学语言来描述物理过程（接下来几段话谈的都是这个问题）。Wigner称数学在自然科学的应用是unnatural effectiveness。广义相对论涉及到的数学应该算是比较复杂的，而且和量子那边的入门课不同，相对论基本是一开局就要先补一堆数学，这些数学对理论整个理论框架都必不可少，那为什么呢？这是值得思考的。啥？你觉得这很显然？你问问爱因斯坦（如果可以问的话）显不显然，尤其是看看爱因斯坦、弗里德曼等人早期的讨论，看看显不显然？知道我们为什么使用这样的数学语言、怎么猜到用这样的语言才能让我们谈beyond xxx。比如这么说吧，如果说广义相对论的语言显然，那好的，我们开始来研究量子现象，定义自由检验粒子走测地线……等等！粒子有固定轨迹吗？粒子产生湮灭效应怎么思考？确定测地线需要一个点和该店处的切矢量、不违背不确定性原理了吗？广义相对论里面的情形也是类似，几何话的假设就很依赖于诸如等效原理这样的原理。曹老师也说，等效原理、广义协变性原理、马赫原理这样的原理表述都有点含糊不清，所以现在的引力理论都聚焦于时空流形结构（时空观）、引力场方程两块来谈。这样能增加很多准确性，代价之一就是，学生会对这套语言怎么建立起来的缺乏足够的认识。

把时空捅成一个整体的几何对象，我相信这一点就不是对所有人而言都十分简单的事，至少在这点上我难得地与爱因斯坦一样有过疑惑（泪目……），不太理解或许是因为，对几何过于具体化，局限于认为几何就像手边的圆柱体、球体一样有形状、有轮廓的东西，但实际上到了微分几何、微分流形里，几何已经成为基于集合论的一个抽象的概念了，像时空这样非同寻常的东西，它的几何比起有模有样的物体就是很不一样的。这个问题的理解应该说是需要慢慢深入的，但在纸上写下时空（M, g）却简单得多。某种程度上说，曹老师自己是知道的，他也多次强调广义相对论不是黎曼几何，度规的signature（顺便说一句，曹使用的度规是引力理论研究中常用的一负三正）赋予了广义相对论丰富的结构。关于时空为什么有这么多维度而不是更多或更少应该是至今未能很好回答的（尽管stringists好像说有办法说明），但如何从我们身边的经验猜一下应该还是值得说的。曹的讲法过于数学化，导致的一个结果是，我们会倾向于想，自然可以考虑其他形形色色的度规、甚至是某个退化的对称二阶张量场，甚至不管了，理它对称不对称、二阶还是三阶……反正是数学嘛，可以的，都可以的。这段话说得有点激进，我的意思是，单纯讲数学，确实会有这样的缺点。这里顺带提一下曹的一个偏好，就是他如果觉得某个部分没时间详细地严谨地讲，他可能就干脆不讲或者给个定义就匆匆结束了。像Frobenius Theorem、Fermi法坐标、Kerr黑洞等。时空视作整体这一点，如果从时空因果结构角度讲解，按照曹偏重数学严谨性这点来说，其实还是需要很多数学预备知识的。我个人是觉得入门课理解一下因果结构的基本概念就好了，理解一下洛伦兹号差会带来些什么；整体结构是个非常有意思的问题，甚至涵盖了科幻作品相关元素，比如闭合的因果曲线、奇异性等，但相关的数学要求摆在那里，可以参考Wald的书或者省略了一些证明的梁灿彬的书，我只看了一点点，感觉可能要真把这种东西当数学，否则看不下去。上曹的课的一个好处是，他讲得比较数学，上完后再看这方面的书阻力会小一些（虽然还是很大就对了）。

就算是数学概念中，有一些地方曹还是讲得不太清晰的，比如说曲率。曲率的定义对没学过微分几何的人来说应该是不好理解的，曹上课没有讲几何含义，把这个作为了作业题。不少书是用向量的平行移动来讲解的。有些书还会辅以测地偏移。我个人更倾向于测地偏移吧，主要是用平行移动讲的话，会有一点疑虑是，如果我定义了一个平移向量的方案，到头来我发现移了一圈后向量和原来的不重合，我下意识会觉得我没有给出一个良定义，相当于是不自洽了呀，这下子反而来定义什么叫曲率？那就是说以后我定义了一个东西，发现出现不自洽的现象，我就可以快乐地生成有曲率咯？（其实也不是不可）这样定义的问题是，好像还是没有讲明白曲率为何而曲，需要用这种方法理解曲率最终还是要类比一下三维空间的二维曲面比如说地球表面，加上一个我们认为贴地而行的平移……给人感觉不那么general。要理解弯曲，就要先说，什么叫直（史称直男之问），直是通过测地线来定义的，所以倾向于使用测地线来理解弯曲。测地线怎么定义呢？在广义黎曼流形上其实有两种等价定义，曹只讲了切向量沿着测地线平行移动的定义，依照这种定义，上面说的平行移动一个电量跑一圈便和测地偏移相关了，另一种定义使用变分法定义，认为测地线的“长度”（加绝对值是因为广义黎曼流形上长度不一定满足数学上的度量公理）取极值，这个等价定义的作用之一是，方便进行联络系数的计算（参考Sean Carroll的书）。当然，怎么理解一个数学概念每个人有自己的看法，曹不讲这点着实让我不太能接受就是了。另外就是李导数和协变导数，这两者都是导数诶，用哪个呢？有什么区别呢？曹是从比较数学的角度引入这两者的，所以也就没能给到很好的几何直观，后果是，让我们自己独立定义一个物理量的话，会苦苦纠结该使用哪一个。这部分可能讲了Frobenius定理后会更好，不过曹没时间讲了。

广义相对论是美的，是general的，不过曹的课却显得她有点special了。这点是好是坏众说纷纭，我交代一下情况吧。爱因斯坦之前，牛顿引力势就像库伦势一样，是一个额外的场，爱因斯坦从马赫原理等原理出发，把引力现象归结成为了时空流形的几何效应，这点应该是极为精彩的。后世的物理学家考虑了更“一般的”情形，如Brans-Dicke, Horndeski理论，除了引力场之外，它们又额外考虑别的标量场。曹是先从general如Horndeski的度规引力理论讲起，然后说广义相对论是其中比较special的一个理论。这样讲的利是，如今确实出现了Horndeski这样的理论，比起它们广义相对论确确实实很special；弊端是，不太容易培养对广义相对论的美的鉴赏，和前面说度规那类似，往后是不是可以考虑各种各样general的模型。数学上总可以的，就看你的物理审美了。不过有些问题还是我个人觉得还是很值得讨论的，比如为什么局限于谈论二阶的理论？Lovelock, Horndeski讨论的都是二阶的情况。原因各执一词了，比如说有人会说高阶理论有Ostrogradsky instability（我不会啊），也有的说法是度规局域可以做到0阶导为Minkowski、1阶导为0（这也和爱因斯坦等效原理表述相容，好耶），所以要对局部描述（相对论的假设是要求局域性的），就要用二阶导来；但是为什么只需要使用最低阶non-trivial描述呢？这点是不是可以反过来作为我们对局域性的理解呢？考虑一个extreme情形，在解析流形上，如果对一点的描述需要所有阶导，那么这个点的局部性质都要包括整个流形的性质了，它还局域么……当然这些都是open questions。

曹自己是做引力的，emmm，他的课程也没讲太多场论的东西，这一点我还是略微有点小失望，不过也没什么，因为一门课讲不了太多。额，我不是说一门课通吃引力论和量子场论。广义相对论是建立在一般流形上的，一般来说大家也不指望又什么等距群了，而量子场论是建立在Minkowski spacetime上的，所以可以把庞加莱群拿来玩，用不可约表示可以玩出花来。而联系两者可以依靠微扰论，把一般流形看作对Minkowski的微扰，把这个微扰项往引力子去靠，包括给出自旋为2这个性质。曹算是在讲引力波时简单提了一嘴，没有换个视角来讲解了。Sean Carroll也没有讲的很细，似乎大黑书MTW也没有细讲。听闻Schwartz的场论书有，现在不确定。

内容上的话，我觉得还有的不足就是有一些可能入门课给个简介的话题曹未进行讲解，比如Kerr黑洞、AdS/dS时空等。

如果不谈论课程的内容，默认讲课就要以曹这种思路的话，那么其实曹还算是讲得可以的，最起码他的PPT做得比较用心，设置了很多按钮可以点击跳转。他确实大多数时候所讲与PPT呈现的无太大差别，但偶尔他也会有PPT之外的讲解，也可以看出他自己是有着很多理解的。听曹的课，我觉得最折磨人的地方在于做计算的时候，基本他在快速地做计算、读结果，我的脑子完全跟不上。

以上的评价算是用严格的指标来评判的，事实上我好奇要是要用大多学生觉得满意的方式来上这门课那得是多少个学时。

大家可能真正关心的问题：

作业：不多，难度基本都不大，很多在PPT里面可以找到；有一次作业给了几个度规让我们计算诸如曲率张量、Weyl张量等，手算的话计算量还是有点大的，但只有一小题要求手算。

考试：

只有期末考，考试法定时间是两个小时，但实际上允许延长时间，今年是晚上考试，可以延长到教学楼关门。考前给了样卷，样卷是前几年的version了，所以实际上重合度没有前辈们说那么大。

允许带三张A4纸，可以手写、可以打印。

今年没有不定项选择题，开头就是20道每道两分的选择题，这些题目还是有一定的区分度的，有些点真就考得有点细，那三张纸还是要盘活使用。选择题基本是定性结论的考查，也就是说不会真让你用史瓦西解算什么结果，但要求对有质量物体、光子在球对称引力场中运动各种轨道有认识。

接下来是概念题，20选10，多做不加分。

然后是大题，5道大题，后两道二选一。前三道题目难度较小，第三道看似有很多很难的概念，连没学的ADM质量都出来了，其实就是阅读理解题；后两道题一道是算联络之类的，另一道是计算双星系统引力波。引力波题目相当于微积分难度，因为公式都给你了，对着用就是了。样卷上有一道题也是球对称天体的引力波问题，样卷的题目双星质量相等，考试双星质量不等（我怀疑老师每年都是这样样卷一套、考试一套，所以自己练一下吧）。

不知道大家关不关心的问题：

使用什么资料？这里推荐一些我看过最起码一点点的（所以像Hawking, Penrose的书不是不好，是我没看过）：

Sean Carroll的Spacetime and Geometry: 不是尽善尽美，但做到了涵盖很多方面（甚至包括了弯曲时空场论的简介）、却又足够“入门”，这本书我自己也没有读完……对引力波的讲解个人感觉比曹清晰。这本书不使用抽象指标。使用微分几何，但不苛求严谨性，有时以对一个简单的模型的片语描述代替严格证明，比如对极大对称空间、Frobenius定理的讨论；

A. Zee的Einstein Gravity in a Nutshell: 花更多篇幅讲基础的物理概念，包括花时间讲一些科普书常见、广义相对论书少讨论的模型（飞跃太平洋的飞机）；

梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》或Robert Wald的General Relativity：两本书都比较注重使用数学语言，对初学者可能不太友善，但可以找到很多曹上课讲解的内容；

Misner, Thorne, Wheeler(MTW)的Gravitation: 这部大巨头我只看了一点点，好像它对很多问题都讨论、且是详细讨论，也有介绍对Bianchi Identity的理解（边界的边界是0）。

广义相对论这门课博大精深，修完4学分后我觉得随便拿来一个问题还是很有可能完全不会的，或许这就是提醒我要边做边学吧。也祝耐心的读者学业有成！

感觉这数学占比，确实理论人GR。。。

记得提前准备小作文（附加题，收获感想看法之类的）

除了与广义相对论关系比较密切的一些数学知识（如张量、内蕴几何）外，曹老师还花大量篇幅介绍了一些相关的其他数学概念。理解广相的物理完全不需要那么多的数学。我只能说，曹老师讲的数学加大了学生理解广相物理的难度，或至少把这一过程复杂化了。

（虽然提纲看起来跑得不那么远，但里面的内容可是飞得很远了）

后半学期介绍了广相相关的一些专题，广而不深。或者说，按他的ppt学，是学不深的。

（上图中的标题是我自己据主要内容加的，可作为了解课程内容时的参考）

总之，想学好广相，只靠上课肯定是不行的，还要自己下功夫~

本课大致的画风前面的同学都说得差不多了，我来补充一些零碎的点。

容量：这学期网课随便讲够4小时，最后tm还没讲完是最骚的。谁能想到【广义相对论与宇宙学】这门课直到考试结束，同学们连宇宙学的ppt都没见着。如果能把电路课的学分换成这门课上个两学期，这波叫做绝杀，可惜换不得。

内容：框架跟梁书很相似，当然有些顺序改变了，并且在梁书的基础上多拓展了很多东西。内容丰富的同时很明显的缺点就是重点不够突出，而且不少拓展的内容引入得比较生硬，图像不是特别清晰（这点Fluorine同学也提到了）。如果是没提前学过一点的萌新或是觉得ppt看不下去的同学可以先看看梁书的上中册，基本就是这门课里用得比较多的知识，加上梁书讲得非常友好，之后再回来看ppt体验可能会好些。如果老师先把重要的内容讲完（包括宇宙学），再在这基础上看时间补充内容，而不是有点贪心地想一次性把一个主题的内容讲得很深很全再讲下一个大概会更好。

上课：基本就是念ppt，网课在家一次听4小时实在顶不住，经常听着听着开始摸鱼。老师人品好跟敬业是没得说的，经常做ppt做到很晚，同学们有建议也都会听。

作业：很少，但是有的计算量很大（不用mma的话）。回想起来大部分的花里胡哨的计算/证明题实际上都是一样的，就是拿曲率张量，导数算子这些变来变去，这种做一两道还好，做多了对物理图像的理解实在没什么帮助，不如整点梁书上面合适的习题。

考试：今年的考试开始格外鬼畜：1，考前宣布三千多页ppt的内容全都要考，并且没有声明重点也没有新样卷。就算提前有提示题型，并且可以携带3张a4纸，但仍然容易造成程度较大的【刻在dna里的没考但是没仔细看或者没有抄下来的考了】的尴尬情况出现；2，考概念的题特别多，在往年选做10道简答道基础上又加了一大坨必做的单选跟不定项选择，分值上我记得至少超过了一半。虽然助教有提示过，但是我仍然抱着【应该不会整得跟nm文科一样吧】的心态多抄了点零碎的公式而没有空间全部仔细地去抄一堆概念导致全 部 木 大。计算题砍了很多，感觉还是多出点难度适中的计算题跟证明题比较好。。

不知不觉吐槽占的比例有点多，总的来讲这门课对于想做相关方向的同学来说还是非常不错的。这学期因为瘟疫被封在家里效率大减，没法在学校以最好的精神对待这门课，实在可惜。

本学期转到了线上教学，曹老师仗着系统优势每节课必讲三小时以上，然而也正是系统阻碍了曹老师讲四个小时以上的可能...

今年对原来的讲义进行了大幅度更改，变成了28章ppt，内容从数学准备一直涵盖到广义相对论的历史(就连科学史内容也是中文资料中最硬核最全的！)。总之一节更比六节强，大约是整个科大生涯最充实最硬核的课程...

另外在加笔之后，我觉得这个课程真的应该分成两个学期上，且每个学期时间延长才勉强够学完，也就是本学期网课以及考试很晚，要不然完全消化不了啊。(按照原来的讲义的话可能一个学期6个学分够用)

最后考试没有了原来的样卷，感觉有点谔谔。

【老帖更新】谢谢发新版课件给我的同学。

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曹利明老师的学术水平很高，从他讲课看来，至少在广义相对论基础、黑洞物理上，他的思维是很清晰的，充分体现了年轻教授的活力。

但是他讲课次数不多，对课时的安排没有任何把握，过于期望把广相基础的数理方法讲全。问题是，这实在是太多，而课时根本不够 ，零基础的同学实在难以承受。这门课预计用6周讲完数学，结果讲了12周也没有讲完，于是“疾速”讲完了物理部分。

数学部分曹老师也算熟悉，但是他照着他和蔡荣根教授合作的讲义读起来，实在是太快，课后自学又跟不上，到讲物理的时候，我几近放弃(눈_눈)。总之，上课的时候趋于蜜汁状态。这门课结束之后，只能期望研究生阶段重新学起，如果需要的话。

但曹老师极其nice，他知道同学们准备出国很忙，而且需要成绩，因此他17年春季学期只有期末考试，而期末考试的形式是在考前发一套样题，里面几十道概念题和几道计算题证明题，让同学们事先准备，考试可以带除了讲义、书以外的任何材料。期末试题出80分一样的题目，另20分题目照样题做一些变式、或另出一些简单的题。

总之期末考试就是大家带一些或是手抄，或是剪切，或是打印的样题答案，用两个小时抄到试卷上，然后自己稍微做一点题。基本没有压力。给分很好。

因此这门课，如果觉得过于繁杂，则可以量力而行，好好准备期末即可。工作需要补的话，出国以后再上别的课，或者慢慢自学。

（另，虽然曹老师比照片上老了非常多，但是女生们认为他还是很帅）

17年样题的部分答案我用Tex做了文件，上传到了我的个人主页上yyn0319.weebly.com(希望不要找我的麻烦，估计下学期这时候我也不在学校了）