我是在大二下学期修读的这门课，两年后担任这门课的助教。关于这门课还是有一些想说的，简单总结一下。

前置知识：拓扑学，微分流形，微分方程1。

关于给分：这门课没有期中考试，只有平时分与期末卷面两个部分，平时分只要交了作业都是满分。研究生与本科生的给分方式有所不同，研究生按照平时：期末=65%：35%给总评；本科生按照平时：期末=40%：60%给总评，优秀率是32%。另外，今年刘老师没有调分，不会特别照顾卡g的同学，所以一些拿了89，84的同学可能有一些怨言，这我非常能理解。不过不调分本身就是一种正常操作，不能因为调分的老师比较多就把它当成理所当然。唯一非常遗憾的是今年没有本科生总评拿到4.3。

综述：用一句话概括，黎曼几何这门课就是研究黎曼流形上的联络理论以及由联络所产生的附加产品。所以，学习这门课我们首先要搞清楚什么是黎曼流形？什么是联络？在牛顿经典力学时代，我们认为我们生活的空间是一个平坦的欧式空间，而广义相对论之后，人们认识到，我们生活的空间其实是弯曲的黎曼流形。所以这也是为什么我们要研究黎曼流形：因为我们生活的宇宙是一个黎曼流形。在经典力学中我们描述一个系统随时间演化需要一个非常重要的概念：导数。在黎曼流形上我们也可以类似的定义导数，数学家给这个导数起了个新名字：联络。也可以这么讲，这门课的本质就是“多变量微积分”，我们在大一学的“数学分析A2”可以认为是局部的、平坦的黎曼几何。故而，从多变量微积分走到黎曼几何，我们需要做两件事：一是从局部走向整体，二是从平坦走向弯曲。理解什么是黎曼流形本质就是如何从局部走向整体；理解什么是联络本质就是如何从平坦走向弯曲。

基础内容：黎曼流形与联络

（1）如何从局部走向整体？

（2）如何从平坦走向弯曲？

（3）由“联络”所产生的衍生品：曲率。

这些最基础的内容大概会占据前半个学期，后半学期开始进入几何分析的入门，例如给定曲率条件下流形的几何。这里我们先给一个直观的描述，曲率为正的流形可以看成“被吹起的气球”，它是鼓起来的、膨胀的；而负曲率流形可以看成失去水分的蔫的苹果，它是干瘪的、坍缩的。事实上，正曲率与负曲率的几何差别是非常大的，会产生完全不同的几何。相关的问题非常丰富，所使用的工具也非常广泛：非线性分析、度量几何、几何测度论、可积系统、微局部分析……。很多问题时至今日依然是开放性的。所以，一个学期的时间仅仅只够入门，介绍一下最最基本的概念和方法。

联络与曲率的引进：联络是一个非常深刻的概念，正如前面所讲，它是“求导”这个概念在弯曲空间的推广。关于联络严格的数学定义，有很多种，这门课所介绍的大致有以下几种：

（a）通过主丛的联络诱导：这种方法的好处是他是最内蕴的、最自然的，说它是最自然的是因为，由于主丛的切空间可以自然的取出纤维的垂直部分，所以我们只要规定一个平行部分，就可以得到一个联络，这是一个一一对应；说它是最内蕴的，是因为他完全只依赖于结构群（结构群是内蕴性质），其结构确定了（主丛确定了），就可以把它表示到任何向量丛（副丛）。这种定义还有一个好处，他可以用一种非常直观的几何解释什么是曲率：由于垂直部分与水平部分作为线性空间是自然分裂的，我们很自然的想知道这种分裂多大程度上保持了李代数结构，而曲率非常好地描述了水平部分的 Lie 结构是如何与垂直部分缠绕在一起的。

（b）通过平行移动引入联络：我们谈论导数其实就是在谈论一个质点运动的速度，一个前提条件是这个质点要在“一个空间中运动”，如果这个质点一会在这个空间，一会又“瞬移”到另一个空间，那么我们是没有办法谈论速度和导数的。我们现在仔细地扣一下之前学过的一些概念的定义：在平面上考虑两个向量，如果起点相同，我们就认为这两个向量在同一个空间，对于一族起点相同的向量v(t)，我们就可以对终点的移动求导。事实上，如果一族向量的起点不同，他们就不属于同一个“切空间”，所以我们是不能定义导数的！然而在欧式空间中，我们可以做一些“操作”，使得起点不同的向量族也可以求导。我们很容易发现：一个向量的平移，只要起点和终点确定，无论沿着哪条曲线移动，移动的结果都是一样的。于是我们便可以把这些向量都平移到原点，然后再求导。但是正是这个事实过于显然，也就导致了我们在多变量微积分中学习求导时并没有考虑那么多，甚至没有意识到再求导之前我们已经进行了“平移”这样一个操作。然而这个事情在弯曲空间中就出现了问题，就拿最简单的球面来说，北极点处一个切向量沿着不同的经线走到南极点，结果并不相同（学过微分几何的同学可以用 Gauss-Bonnet 公式看的更清楚）。这就意味着，我们不能天真的认为我们可以很轻松的定义导数了。联络的出现解决了这个问题，我们就把联络定义成一种“平移的规则”。一个联络，就是一个如何平移的法则。当然这种法则要满足一定的约束或公理。刘世平老师的这门课就是用这种方法引入联络的，它有着非常好的几何直观，对于初学者是非常友好的。

（c）通过弧长变分引入联络：我们知道黎曼流形上是具有长度结构的，所以我们就把所有的可求长曲线拿出来，组成一个空间，通过一些简单的分析，我们可以很容易得知：分段光滑的曲线在这个空间中是稠密的，所以为了方便起见，我们可以转化为研究所有分段光滑的曲线组成的空间（下文记为“W”）。每一个这样的曲线都有一个确定的长度，故而长度便是这是这个空间上的一个泛函，我们还可以注意到，一个曲线会有很多种参数化的方式，这就把问题复杂化了，于是我们引进了能量泛函的概念，把那些不均匀的参数化过滤掉。有了这些概念，我们就可以引进联络和曲率。在边界条件比较好的时候，联络就是能量泛函的一次导数（一阶变分的积分核函数），曲率就是二次导数（二阶变分的积分核函数）。测地线就是一阶变分的零点，所有测地线组成W的子空间，这个子空间的切空间就是 Jacobi 场，这个空间还有比较好的叶状结构，其边界的奇点就对应于流形共轭点……用这种方法引入联络，更加宏观，也可以很自然地将课程后期的概念引进来。

（d）通过代数的方法引入联络：由于余切丛具有代数结构，我们还可以用代数的方式定义导子，从而定义导数，这种方法的好处是可以推广到带有奇点的轨形或更一般的代数簇，同时，在格罗滕迪克的观点下，导子还是一个可表函子，那么就会有很好的范畴性质。然而这种方法的缺点在于不够直观，对于这门课而言，不会在这里进行过多的讨论。

关于流形上的分析，可以讨论的内容非常丰富，包括热核分析，典范度量的存在性，曲率条件对几何的影响，几何流与孤立子，极小曲面，子流形几何，等等。一个学期的时间没有办法对这些理论做出全面的介绍（先挖个坑，以后有时间我再一个个补充吧）。

典范度量：（注：这部分内容来自我本人的习题课讲义，原稿是英文的 /uploads/files/0a6c1f9ff0e5fec5fd767df4c4954e3c666f5073.pdf）

几何分析学家总是想在给定流形上找到一个“好”的度量，这似乎是典范的。“好”的定义可能是个微妙的问题。一个自然的想法是，它使一些常见的泛函，如数量曲率泛函，达到其最小值。数量曲率是高斯曲率的高维推广。Yamabe 曾提出这样一个问题，我们是否能找到一个度量，使其数量曲率等于一个给定的光滑函数，进一步，这个度量能否限制在给定的共形等价类中。在他的原始论文中，他声称任何不低于三维的紧黎曼流形可以逐点共形等价于常数量曲率度量。Trudinger 指出其证明中有一个严重漏洞，他的断言是有疑问的。后来 Kazdan 和 Warner 证明了只要函数在某个地方是负的，就有一个度量，其数量曲率与给定的函数一致。考虑到这一点，我们会很自然的认为找到一个在每个点上数量曲率都为正的度量应该并不困难，因为它只是整个度量结构上的一个不等式。然而事实上，正数量曲率度量的存在是有拓扑障碍的。

实际上，某些流形不可能具有正数量曲率度量。例如，圆环上不存在任何数量曲率恒为正的度量。在二维的曲面中，我们考虑了流形上的高斯曲率问题，我们研究高斯曲率的关键是 Gauss-Bonnet 公式，它根据欧拉示性数对紧致二维流形的高斯曲率施加符号限制。在高维情形中，我们也有一个拓扑不变量，它为某些特殊流形的正数量曲率存在性提供了一个拓扑的必要条件。Lichnerowicz 证明了如果在紧偶数维自旋流形上数量曲率是非负的，但不是完全零的，那么就没有调和旋量场。从这个事实出发，利用Atiya-Singer 指标定理，可以得出这样一个流形的Hirzebruch A 亏格属必须为零。因此，在A 亏格不为零的紧致自旋流形上，不能有非负数量曲率的度量，除非恒为零。这种流形的例子出现在自旋配边理论中。当一个流形是单连通且自旋的，我们可以把A 亏格推广为 α(M)，它可以完全刻画此时流形是否存在一个正数量曲率的度量。这个不变量 1974 年由 Hitchen 首次提出，并证明了如果有一个度量具有正的数量曲率，那么α(M)=0。Stolz 于1990年证明了逆命题。事实上，只有在维数模8余0、1、2、4时，α(M)才有可能不为零，这也就意味着在其他维数，是不存在恒正数量曲率的。而即使在这些维度中，这种这种判别法也只适用于自旋流形，如果M没有旋量结构，那么它总是存在一个正的书量曲率度量。

在 Yamabe 的观点下，“好”的度量可以认为是具有常数量曲率的度量。这个常数不能随意选取。Yabame 不变量（这是一个共形不变性），刻画了这个常数。正因为 Yamabe 泛函的 Euler-Lagrange 方程存在非平凡解，所以我们可以在共形等价类中找到 Yamabe 度量，它有常数量曲率。

总的来说，这门课是一个比较硬核的课程，但相比于王作勤老师的讲法，刘老师更注重几何直观，对于初学者更加友好。

大四狗，没有选这门课，只是开学至今一直在旁听。由于近期太忙，可能以后不再有时间去旁听了。作业我也没怎么写（尽管作业并不好写），期中考试我也没参加，所以不评论太多有关这方面的事。

课程主页 http://staff.ustc.edu.cn/~spliu/Teach_RG2017.html

刘老师讲的非常好！相比上学期王火箭的TPO式轰炸而言，刘老师的讲课方式可能容易让学生接受一些。前期讲测地线、联络、曲率这些基本内容时，都是从“分析”的角度给出基本定义，再通过分析的手段证出重要的结论，再给出几何意义。对于我这种毫无抽象能力的人来说，是一件好事。

课程的内容非常的丰富，并不比2016年王作勤老师的黎曼几何内容少多少。基本内容大致分为如下五个部分：黎曼度量、测地线（先用能量泛函临界点作为定义）与指数映射（上学期微分流形其实没太学懂这个）、联络/平行移动/共变导数 （这个时候Levi- Civita联络的定义就显得非常自然了）、曲率与第一/第二变分公式、空间形式与Jacobi场。前四部分更偏重计算与分析，第五部分则偏重于拓扑，例如用曲率去控制流形的拓扑就有一系列神奇的结论。后继应该还有一些additional topics, 比如比较定理、Bochner技巧之类的。刘老师的讲课顺序非常赞，每一步都让人感觉衔接自然。

因此学这门课你需要预备的知识大概有：微分流形、微分几何（Christoffel Symbol算的头疼）、拓扑。

刘老师人很nice，也很敬业。平时上课是没有课间的，还经常拖堂把这节课的内容讲完。有时候他去出差了，还找周末的时间给我们补课。当然，他讲课的速度也非常快，有时候开小差两三分钟就跟不上了。不过总体来说，刘老师的黎曼几何是一门非常好的课。

其实黎曼几何这门课一直是数院的“拳头产品”。近年来黎曼几何都是数院的扛把子们授课(例如麻希南、刘世平、王作勤、张希老师等)。来了米帝才知道妮可有些让人亦可赛艇的课是真的好，内容够深够广够细致，讲课水平也很高。这门课的老师们都非常负责，班上有大佬同学在2015年选了麻老师的黎曼几何，一个星期10+课时，周六晚上三个小时的习题课有时候是麻老师亲自上课。16年王作勤老师尽管出差一个月但还是讲了非常多的内容，并且网页上也有电子版讲义。17年刘世平老师更是上传了自己手写300多页的讲义到教学网页上，其中cover了几乎所有细节性的计算，的确为大家提供了非常大的帮助。近几年科大在丘赛的几何单项上表现大放异彩，少不了这些课的功劳。要好好珍惜这些课呀！

这门课每年由刘世平老师教授，质量无需多言。唯一缺点就是受时间限制具体计算太少，学完之后你知道了一些概念，但如果截面曲率都算不利索，我认为等于白学。

关于前置课程:

1.因为讲的内容相对古典，分析方面只用到ODE理论，流形或许可以边学边补概念，但我认为理解了向量丛的基础概念会更好，不过科大很少讲，很多人会忽视掉，而示性类在现代几何中是极其重要的，如对几何感兴趣，至少应该知道陈类是什么，这是这门课的范围以外的善意提醒。

2.代数拓扑需要懂基本群和覆叠空间。黎曼几何的核心方向是曲率和拓扑之间的关系，对于恰当的变分，长度泛函的第二变分的符号由曲率张量决定，求第二变分是本课程中研究曲率的主要工具，因为刘老师的计算基本是不变形式，大多数同学不太会算局部坐标，但局部坐标在normal coordinates下其实很简洁，因为含有gij的项要么丢了要么缩并，思路更加简单粗暴，如果你想做这方面的练习，可以算一遍Library Genesis: Bennett Chow, Peng Lu, and Lei Ni - Hamilton's Ricci Flow (libgen.is)的第一章。本课程没有讲Hodge定理，就是说紧的黎曼流形上，n阶De Rham上同调群与调和p- form同构，这当然要在局部坐标下去算Laplace算子\(\Delta\)长什么样子，才能去理解它，这个定理的重要性在于通过考虑调和p-form来估计betti number。一个简单应用是可以给出紧流形上Bonnet-Myer定理的一个证明，即Ricci曲率为正的紧流形上第一betti数为0。想了解更多曲率和betti number的关系，可以看Gromov的文章Curvature, diameter and betti numbers (ihes.fr).

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黎曼几何即研究带黎曼度量的流形的几何，在学习过程中，要时刻思考，引入度量究竟有什么好处？其实在曲面的微分几何中 ，Gauss- Bonet定理已经告诉了我们Gauss曲率和示性数之间的关系，也就是曲率对拓扑是有限制的。

课程中证明了拓扑球面定理: 完备黎曼流形如果截面曲率介于1/4到1之间，必同胚于球面。

进一步有微分球面定理:微分同胚于球面，于2007年由Simon Brendle和Richard Schoen用Ricci流证明。两者分别对应着曲率对拓扑结构和微分结构的限制，这始终是微分几何的核心方向，尽管并不总是奏效的:

(Lohkamp):For each manifold M^n, n ≥ 3, there is a complete metric g with negative Ricci curvature and finite volume. That is , there are NO topological obstructions for negative Ricci curvature metrics. 也就是说Ricci曲率为负对拓扑没有任何限制。

相反，1985年Hamilton证明了: 严格正Ricci曲率、紧、单连通3维黎曼流形必是标准球面。

课本上也有这样的定理: Suppose (M, g) is a complete Riemannian manifold with Ricci curvature Ric ≥ (n − 1)k > 0. Then diam(M, g) ≤ \pi/k. Further more, (M, g) has finite fundamental group.

一方面说明一般正曲率对拓扑有强限制。

另一方面，有这么多曲率对拓扑会有限制的结论之后，给定一个流形，研究它性质的一个朴素想法就是寻找足够好的、特殊的度量，如Ricci- Flat度量(Ricci曲率为0),Einstein度量(常Ricci曲率),CSCK度量(常标量曲率)，我们称它们为典范度量，KE度量和CSCK度量的存在性可以说是现今复几何的核心问题之一，其实在本课程中:无论是测地线、Jacobi场等的存在性、还是比较定理，都基于经典的ODE理论。而在丘先生将Calabi定理证明以后: 即Kahler流形上Ricci曲率为0的Kahler度量存在性等价于解复Monge-Ampere方程，真正将非线性PDE引入了对于度量和曲率的研究。

几何分析的巅峰是用Hamilton和Perelman发展的Ricci流证明了Poincare猜想:即任意闭、单连通3-manifold必同胚于球面。定理的陈述与度量、曲率无关，但赋予它一个初始度量，考虑满足方程g'(t)=-2Ric(t)的一族度量g(t)，随着时间的流动，竟能控制它收敛于一个常Ricci曲率的度量(已知在3维情形，Ricci曲率可以还原成截面曲率，而常截面曲率一定是三种space form)。没有比这个更好的例子来回答为什么要引入度量了。

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有同学提到黎曼几何重要的哲学为: Geometry hides in familys of geodesics。测地线的哲学更一般的可以说在几何空间中考虑自然能量泛函的极值点......

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未完待续

刘老师讲的真好

为什么黎曼几何不是微分几何的前置课呢？（暴论

出分啦，ts太奶哩，给ts跪下了

       刘老师上课水平极高，一个大定理的证明抽丝剥茧，讲解地十分清楚，听课体验特别好，一学期学下来觉得收获很大。

       按老师的说法，基本的philosophy在于：Geometry hides in FAMILYs of geodesics. 意思是尽管一条测地线体现不了什么，但“一把”测地线就能反映很多信息。诸如指数映射、变分、Jacobi场、指标形式，其实都是按照这个精神出发的。运用这些基本工具，可以得到整体几何的一些结果。这又把几何和拓扑联系在一起，非常有趣。

       很喜欢这门课后半程的内容，讲了黎曼几何中的经典定理（体积比较、分裂定理、拓扑球定理之类的）。没有用很多硬分析的东西，更多使用的几何论证，学来觉得很有趣味。貌似Cheeger等人现在还在做这样的一些工作，进一步会用一些度量几何的理论，但总体上是很几何的手段。几何分析固然是强有力的工具，但纯几何的论证读来实在饶有趣味。

       这门课的缺点应该是一学期下来具体的计算做的太少，大部分时候都是在理论和大定理中度过，让人有一种“能算的例子只有R^n、S^n和H^n”的错觉。（不过严格来说这不能算缺点。。。毕竟计算应该是自己下工作做的事情。）其实有趣的例子还是很多的，比如CP^n上的一个度量使得每点的pinching number都是1/4，正好告诉我们拓扑球定理的pinching number＜1/4条件不能减弱，算是很微妙的例子。此外，限于课程学时，没有介绍活动标架法的应用、第二基本形式和空间形式分类定理这些内容，算是有些可惜。

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附图一张，画质略渣。

本学期听课体验最好的课

大概没有之一

可考试体验太差，期末一场大雨使我手机报废，心态有点崩，考的乱七八糟的

  今年黎曼几何内容讲述顺序上略有差异，感觉更像是老师即兴讲的。比如讲到割点，发现需要Jacobi场才说的清楚。然后后面讲完Jacobi场之后又讲了一遍共轭点和割点和割迹。最后讲topological sphere theorem的时候又讲了一点割点和单射半径。建议还是和以往一样讲完Jacobi场之后放一起讲，可能好一点。

  众所周知，刘老师每次课都会讲点新的东西。比如上学期微分几何最后一节课，整体微分几何里的各种猜想定理。又比如17年 黎曼几何该课程介绍下的第七章很几何分析的内容。 而今年老师用最后两周多一点讲了分裂定理和拓扑球定理完整的证明，还有让一位19级的同学讲了一下Perelman 对Soul Conjecture 的证明。其他的和往年好像就没啥区别了。当然这些也都能在课程主页上看到。

 个人觉得没学过微分流形和微分几何也能学这门课，老师第一节课会大致讲一下所需要的微分流形的知识。当然学过更好。我是真佩服老师讲课和计算能力，，口若悬河，别的老师写定理的时候一般就不说话了。而刘老师则是边写边说，写的还贼快。。就没有几次卡壳的情况。。可能是期中太难了，，期末考试太水了，我这种菜鸡都能考满分。。

不出意外, 这门课应该是我除组合学外考的最差的一门课了. 但这不能成为我不给刘老师满分的理由.

今年和往年不太一样, 没有作业但是有期中考试. 至于课程内容本身 , 到体积比较定理( 含此定理 )之前是必讲的, 之后的内容貌似是老师挑着讲, 今年是讲 Splitting thm 和 拓扑球定理. 内容比较丰富, 刘老师的讲课对新手也比较友好, 就是可以留点作业, 不然很容易陷入一种 ''大家都不知道自己学的怎么样'' 的一种状态.

同时期还学了麻方程和群表, 刚开始学的时候难度: 麻方程 > 群表 > 老母鸡盒. 而后变成: 群表 > 老母鸡盒 > 麻方程. 最后期末的时候: 老母鸡盒 > 群表 > 麻方程.

老师讲得好, 学的也很有意思, 但可能自己不是很适合学几何吧, 一学期学下来, 依旧没啥自信就这样吧...

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出分了 特地回来评一下，被狠狠捞了，感谢田助教，期末看错一到大题，期中错了很基础的概念，还能被捞上优秀，我的内心只有感激。

诶我居然当初没写一些评论。。。不过现在除了当初的笔记和一个期末成绩之外也难以回忆起太多，只不过当初的笔记确实足够使我在半天之内重新梳理出整门课的脉络。老师讲课无与伦比。给分不好说，我连当初考的是啥都忘了，我只记得我的排名是10以内的某个质数，总评被老师捞了一下之后是4.0。

啊，2020年的夏天，夹杂着小区里雨后泥土味的迷迷糊糊的时光。。。就这样散去了么？

以及，我想如果我明年毕业季有空的话没准会愿意当这门课助教，顺便学点广义相对论…毕竟谁没有那种想往土卫六轨道上发射一颗探测卫星的梦想呢？

本来是抱着半吊子心态选的，想的是要是不高兴我就把课给退了，不过刘老师的课实在是太吸引人了。

个人感觉是数院讲课的天花板，可能有人会提到王作勤老师，其实没有比较的必要。两位老师各有特点。刘老师讲课相对来说比较细腻，会把一些来龙去脉和直观解释得很清楚。不过老师比较喜欢口述证明，偶尔会出现那种证明讲完了但是黑板上就一个图和几个式子这种情况。好在这学期会同步录制网课，完全可以课后回看一遍。

作业少得离谱，和火箭形成了鲜明的对比，去年火箭我是每次都希望他少布置点，今年大家盼作业就跟盼星星盼月亮一样。虽然作业很少，但是课后还是需要进行一些例如局部坐标计算的练习，不然感觉很容易学了后面忘了前面。

“那么，代价是什么呢？”

代价就是给分。给分可以说是相当不好了，不过也没必要吹毛求疵，人总不可能什么都有吧！得到一些东西就会失去一些东西，很正常的。

可惜评课社区只能给十分，我想给100分。

之前是看火箭的讲义预习的，感觉王老师的讲义对我不太友好。本来以为这门课会很难学，但是上课听课感觉极好，一步步下来都顺理成章，感觉把概念都理解清楚了，收获真的很多。上课的时候刘老师都是面带微笑，感觉非常和蔼。不过内容好像要比去年少了一点，作业也比去年少了很多。

自己以为这是这学期学的最好的一门的课了，不过期末考差了有点伤心，但是想来都是自己犯病也可以接受了，也确实学会了好多东西。