残  暴

没上过这门课，但之前学黎曼几何的时候读过王老师的讲义，习题也做了相当一部分。王老师的讲课水平是没得说的。论难度而言，我之前觉得他的微分流形已经挺难了，然而比黎曼几何的讲义和习题仍然简单1919~114514倍。甚至我听说他那学期先后出差了一个月，有时候一次课要上掉两个lecture...

课程内容院长已经介绍得很好了，在这里我想附加一下，就是：

一定要做习题！

王老师的作业，大概一个月交一次吧，可是这作业量仍然堪称恐怖：每次作业10+大题，每道题少的三五问，多的十几问。也就是说一次作业你相当于做了几十甚至上百个小题目。并且要注意，几乎所有的习题都是在教读者新知识，这其中有很多后继内容里面涉及到的知识，例如共形拉普拉斯算子的性质（即，Δ-4d/(d-2)倍的数量曲率在共形变换下不变）、子流形几何、活动标架法、Topogonov比较定理等等。

很大概率你会一个晚上甚至一整天陷在一个题里面。比如让你证明某个球外面Schwarzschild度量的Ricci曲率为0（即，它是爱因斯坦方程的一个特解），你就得算至少一晚上。当然这个还算简单的，毕竟只要无脑计算Christoffel Symbol和R_ijkl再求迹就行了。让你验证共形拉普拉斯的一堆性质，一晚上还不够。然而，

你  要  挺  住  ！（震  声）

一些也许用得上的参考资料：

刘世平老师的讲义、白正国《黎曼几何初步》、Peter Petersen "Riemannian Geometry", GTM 171、do Carmo的黎曼几何

最后再膜一发王火箭，，，

我没去上过这门课所以给分填了个一般，但是我一年前预习的时候就是看的王老师讲义，断断续续看了很长时间。我即使学过一遍再来看他的讲义还是觉得内容好多，更令我震惊的是听说那年王老师期末时候还出差了好久。

王老师的课无论是内容的深度还是广度都堪称数院之最，如果不愿意投入时间很可能完全跟不上，他作业里很多内容其实都是很多教材的正文内容，像Killing Field，Riemannian Geometry on Lie Group，Convex Function，Holonomy Group等重要内容都被作为作业题布置。

正文内容可以说干脆利落，直接被分为五大部分。黎曼流形上的结构，黎曼张量的代数理论，测地线及其衍生的工具（变分公式与Jacobi场，指数映射与测地坐标系，割点与割迹，指标形式），曲率与拓扑关系（这部分定理都是黎曼几何早期的重要结果），大概这些定理分为这么几类：曲率控制拓扑（Cartan—Hadamard，Bonnet—Myer，Synge，Preissman），比较定理（Rauch，Hessian，Laplacian，Toponogov，Bishop—Gromov），Sphere Theorem，最后一部分内容就是整门课的高潮：Hodge Theory and Bochner tech。我记得我去年年底看完Hodge Theory之后被其结论深深震撼，直接下定决心去找王老师做有关Hodge Theory的大研，k次调和形式构成的群同构于de rham上同调群进而同构于k次R系数奇异上同调群，这实在是非常令人惊叹的，被认为是划时代的定理，而从中发展的Bochner tech则是几何分析的起点，给出了Ricci曲率张量和Laplace算子的关系，那么椭圆方程的理论也就成了必要的。这两个理论虽然在这门课介绍只是蜻蜓点水，但毫无疑问这是最漂亮的结果。

相对于刘老师强调几何直观的娓娓道来和细致的讲解，王老师的课显得“不近人情”，想要学到东西必须刻苦付出，这个讲义没有太多细节，大量很困难的内容都需要自己验证，作业难度也是很大，就连纯粹的计算题也是非常重要的例子，比如说去计算广义相对论中大名鼎鼎的史瓦西度量的Ricci分量，整整算了我大半天的时间。

最后吐槽一下两位老师的记号是完全相反的，导致我切换记号的时候造成了一定麻烦。。。其实这是黎曼几何这个学科的通病。建议最好是完整的看完一本书再去看别的书。。。否则真的适应不了