分析学选讲(王作勤) 2020秋  课程号:MATH7401P01
2020秋  课程号:MATH7401P01
10.0(1人评价)
  • 课程难度:困难
  • 作业多少:中等
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
选课类别:专业 教学类型:理论课
课程类别:研究生课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:博士 学分:4.0
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我于2020年秋季学期(大三上)修此课程,个人认为难度极大,需要花大量精力。

注:这门课不同老师不同学期很可能会讲授不同的内容,本学期王作勤老师选取了“半经典微局部分析”这个专题进行讲授。

 

总述:

我真心觉得科大数学系能有王作勤老师,如此认真负责的老师去教这样一门高质量的研究生课,是我作为科大学生的荣幸。除了巨大的收获,真的学到了很多知识,就是对王作勤老师知识功底扎实的由衷佩服。和王老师之前教过的黎曼几何一样,上课内容容量相当大,一节课从头到尾没有任何无关的话,全部是干货,基本稍一走神,就可能跟不上思路了,而且课下还要花大量时间精力回顾。不仅如此,王作勤老师的作业同样非常硬核,一次作业写20多个小时是常事。一次作业8道题,每道题平均4-5小问。关键是,每道题都在教你新的东西,相当于一个星期让你看二三十个定理的证明(然后复写一遍)感受一下。选这门课就不要想太多,就是为了学知识的。毫不夸张的说,这是我来科大所学过的所有数学课中最硬的一门!!基本上整个学期从头到尾都在狂轰滥炸!!!但是!!必须时刻告诉自己:一定要挺住!!!(震声!!!)

 

物理背景:

我尝试用最通俗易懂的语言,甚至对非数学系的同学,解释一下这门学科的物理背景:我们知道广义相对论以前,我们认为这个世界是牛顿经典力学,牛顿经典力学对应的数学理论是辛几何,随时间的演化为Hamiltonian流。但现在,我们知道这个世界不是一个牛顿经典力学系统,而是量子力学系统,量子力学系统对应的数学模型是Hilbert空间和它上面的线性算子,随时间的演化满足薛定谔方程。量子力学系统与牛顿经典力学系统的本质区别是,牛顿经典力学系统认为能量是连续的,而量子力学系统认为能量是离散的,所有的能量都是某个最小能量子的整数倍(普朗克常数h),我们每给定一个h,就有一个量子力学系统。从经典到量子,称为量子化,从量子到经典(极小能量子h趋于0,也就是能量趋于连续,这个量子力学系统如何演化)就是半经典微局部分析。事实上,理想的量子化(满足Dirac公理)是不存在的(Groenewold-Van定理),但是我们可以用数学严格证明,当h趋于0时,这个量子力学系统会展现出很多与牛顿经典力学系统很像的性质(Egorov定理,Weyl定律,量子遍历,等等)。普朗克常数是很小的,这也是为什么我们会感觉,我们生活的宇宙是个牛顿经典力学系统。对于物理系的同学,解释起来更为简单:我们把Poisson括号换成李括号时,会出现h小量,半经典分析就是要把这个h小量严格化出来。

 

研究动机:

这套理论最开始是由Hormander 所创立,更确切的说是Hormander 在研究波方程时所引进的工具,把线性微分算子的理论推广到辛几何上的拟微分算子与傅立叶积分算子。事实上,偏微分方程作为分析学的大猎场,几乎所有的分析方向的分支(例如我们学过的泛函分析,调和分析)都是研究偏微分方程所产生的附属物,半经典微局部分析也不例外,他们都源于偏微分方程。比如我们在科大微分方程2”这门课中学过二阶椭圆方程的标准解法:首先可以用Calderon–Zygmund 估计Lp范数,然后利用Nash-Moser 迭代从Lp 走到L\infty,最后利用Schauder 估计提高正则性。调和分析中的奇异积分,就是研究Lp理论时提出来的,包括哈代空间、BMO也是为椭圆方程服务的。再比如傅立叶变换,就是为了解弦振动方程,震荡积分的原型就是自由色散方程的解,等等。这门课涉及的傅立叶积分算子,原型是半波算子在相空间的表示,用傅立叶变换解波方程解出一个震荡积分,3D波方程还可以写成球面平均形式,两个东西看起来没什么关系,但是把它写到相空间下,就成了半波算子对应的傅立叶积分算子(这里要再加一点条件),这应该也是Hormander 一开始为什么要研究这套理论的动机。

 

课程主要内容:

王老师这门课所讲的内容大概可以分为以下四个板块:

 

1)关于实分析,泛函分析(谱理论),辛几何的准备工作

实分析的内容主要是带有半经典参数的傅立叶变换,分布理论,以及驻相法,这部分内容在科大高等实分析这门课中讲过,王老师就是花了不到一次课把相关知识串了一遍。泛函分析的内容主要是谱理论,而这方面内容在科大泛函分析这门课中却少有提及。主要涉及谱分析的各种理论,尤其是无界算子的谱理论(例如:谱映射定理,泛函演算,谱测度,谱投影算子,等等,如果懂一点算子半群理论更好)。 辛几何的部分都是最基本的东西,辛流形,哈密顿流,辛范畴,并引入增强辛范畴的概念。事实上辛几何与分析的关系是非常密切的,例如我们知道,有的函数求完一次导后就不能再求第二次导了,这就意味着微分算子在某些函数上是不能复合的。那么对于一般的算子,能否复合?怎么复合?这就需要考虑到它背后的辛几何,在增强辛范畴中,两个拉格朗日子流形是如何复合的,其上面的半密度函数如何复合,由此定义两个傅立叶积分算子该如何复合。 

 

2)半经典拟微分算子(简记为 PsDOh-Pseudodifferential Differential operators

我们的核心理念是用函数研究算子,希望函数的某些性质在量子化后,所得到的算子上得以继承,这就是象征演算。熟悉表示论的话,可以把量子化看成象征函数在Hilbert 空间上的表示,算子的复合对应象征的Moyal积,量子化的方式并不唯一,我们通常感兴趣Weyl量子化(有比较好的对称性),Kohn-Nirenberg量子化(方便计算)。把函数的性质反应到算子上,这一过程并不容易,需要一些比较细致的软分析(区别于PDE里各种不等式估计的硬分析),例如:函数的有界性会对应到算子的有界性(Calderon-Vaillancourt定理),反之算子的有界性也控制了函数及其导数的有界性(Calderon-Vaillancourt逆定理),函数的无穷远边界消失对应算子的紧性,函数的椭圆性对应算子的可逆性,函数的正性对应算子在高能极限意义下的非负性(Garding不等式,或更强的Fefferman-Phong不等式),等等。对于更一般的象征类,我们可以定义广义Sobolev 空间,这样所涉及的算子就是有界算子,方便我们进行各种操作。这些理论都可以推广到流形上,但需要注意的是,我们在流形上定义一定要满足坐标不变性,所以我们要考虑更特殊的象征-经典象征,象征到算子的对应要在高能极限的意义下(商掉h小量),算子的象征的对应也只能定义主象征。

 

物理意义:

有了这些理论,我们就可以回答一开始所提到的问题:半经典参数h趋于0时,量子系统为何会展现出很多与经典力学系统很像的性质。例如:我们取定一个象征函数,它是一个经典观测,那么他在经典力学系统中沿着Hamiltonian 流流了时间t,与它在量子力学系统中演化了时间t后,二者相差的是一个h小量(Egorov定理),也就是说在高能极限意义下可忽略不计。我们对一个比较良好的象征函数使用泛函演算(Hellfer-Sjostrand公式),可以得到它的trace的渐进级数,从而说明拟微分算子在固定区间的谱的个数差不多就是它对应的象征函数在这个区间的原像(Weyl定律)。通俗地讲:象征函数是经典观测,函数值就是观测值,拟微分算子是量子观测,他对波函数的数学期望是量子观测的值,量子化建立了象征函数与拟微分算子的对应,所以Wely定律事实上就是说,在普朗克常数h很小的时候,量子观测差不多就是经典观测。为了更好理解这种对应,我们引进波前集和量子缺失测度的概念。(数学上引入波前集是为了描述波方程解的奇异性,它可以描述奇异的传播方向。事实上拟微分算子的一个重要应用就是发展了偏微分方程的微局部分析理论,分布的波前集是一个最基本的概念)。从物理的角度,可以在某种意义上看成:经典观测为零,那么量子化之后,它所对应的量子观测(高能极限意义下)也为零。

 

3)傅立叶积分算子(简记为 FIOFourier Integral Operator):

傅立叶积分算子的定义并不是一件容易的事情,由于本学期王老师把大多数时间安排在了半经典拟微分算子的讲解,讲到这个地方的时候已经是最后一个星期了。王老师大概花了两个小时的时间,把如何定义傅立叶积分算子的大致思路梳理了一下,并没有给出证明的细节。我们知道半经典拟微分算子是象征函数的量子化,推广到傅立叶积分算子,就是辛映射的量子化。在辛范畴中,辛映射可以看成拉格朗日子流形,这时我们要寻找它的Fifration 的生成函数。这里会涉及到很多技术上的细节(Hormander moveBohr-Sommerfeld 条件)。最后我们通过振幅半密度函数空间,将傅立叶积分算子定义清楚。事实上半经典拟微分算子就是一种非常特殊的傅立叶积分算子(恒等映射,拉格朗日子流形取对角线)。关于半经典拟微分算子的很多理论,可以推广到傅立叶积分算子。例如:象征函数的对应,Weil定律,Gutzwiller 迹公式,等等。由于时间关系,这部分内容没有过多介绍。

 

4)量子遍历理论:

假定Hamiltonian流在每一个能量面上是一个保测度不变的遍历动力系统(注:这并不是一个苛刻的条件,很多流形稍加限制基本就可以满足,比如负曲率紧黎曼流形的测地流就是遍历的),那么由经典动力系统的结果,我们知道象征函数的时间平均趋近于空间平均(Birkhorff定理)。量子遍历理论就是问:这个象征函数所对应的拟微分算子是否也有这个定理成立?我们目前所能得到的结果是,在高能极限中除去一个密度为零的子列后,结论是肯定的(Schnirelman-Zelditch-Colin de Verdiere量子遍历定理),大多数特征函数的半经典测度是Liouville 测度,    这些特征函数在特征值趋于无穷大时趋于平均分布 。量子唯一遍历猜想(Rudnick–Sarnak)是指,在负曲率或一些强混沌的情况下,我们甚至不用去掉这个密度为零的子列,也即:半经典缺失测度是唯一的(Liouville测度)。

 

量子混沌与分形不确定性原理:

这一部分的内容,作为这门课的尾声,王老师请到了清华大学的金龙教授来为我们讲解。经典混沌系统指对初值敏感的动力系统,爱因斯坦1917年提出:经典混沌系统的量子化会产生什么结果?这就启发我们去研究量子混沌系统。对于量子混沌的研究,目前已经有了很多有效的研究工具,例如:半经典微局部分析,分形不确定性原理,双曲动力系统,等等。分形不确定性原理最早由Dyatlov–Zahl提出,出现在他2016年的文章,并用这一工具来研究凸余紧双曲曲面的谱隙,Bourgain–Dyatlov 在一维情形给出了完整的证明,并证明了谱隙的存在性,Dyatlov–Jin 以及Dyatlov–Jin–Nonnenmacher 将其应用到紧致双曲曲面的半径典测度的研究中。本次短课程,金龙老师主要介绍的是双曲动力系统、紧致双曲曲面上的控制问题,以及引入一个新的工具:分形不确定性原理,最后简要介绍了量子混沌领域中的一些最新进展,解释了Bourgain–Dyatlov 以及Dyatlov–Jin 对于双曲曲面上Laplace 特征函数的半经典测度的全支集性质的证明的主要思想。

 

考核方式:

这门课没有期中和期末考试,总评取决于平时成绩和课程论文,王老师给了十几个主题,要求从中选取一个写一篇小论文。可以一个人写,也可以两三个人合作,但平均到每人不得少于5页。我是与严大燊学长合作,选取了向量丛的拟微分算子与Atiyah-Singer 指标理论作为主题。这是我们的小论文(仅供参考):https://pan.baidu.com/s/1hL4eBL4wfX7O8Zi644bhNA     密码:rm5f。

总评:90。(看来想从王老师手里拿4.3还是挺有难度的)

 

结语:

丘吉尔有一句名言:这不是结束,甚至不是结束的开始,只是开始的结束。王老师最后一节课把这句话抄在了黑板上。2018年之前(进几年)国内好像只有王作勤老师一个人在专门做这个方向。去年金龙老师回国后在清华开了一次这门课。今年经过一个学期的铺垫,最后一个星期,王老师花了两个小时,才把傅立叶积分算子的定义讲清楚(所以讲:结课只是开始的结束)。最后王老师还专门请来金龙老师为我们介绍这个领域的最前沿问题。可以看出王老师是很想让我们多去了解一下这个方向。以后有可能的话,应该会有更多的中国学者进入这个领域。

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