2026春 2023春 2022春 2021春 2020春 2019春 2018春 2017春 课程号：MATH5013P01
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：一般
- 收获大小：很多
| 选课类别：基础 | 教学类型：理论课 |
| 课程类别：研究生课程 | 开课单位：数学科学学院 |
| 课程层次：本研贯通 | 学分：4.0 |
预修：微分流形、拓扑学
内容：
第一章：黎曼度量
第二章：测地线
测地方程、指数映射、测地完备性: Hopf-Rinow定理
第三章：联络
仿射联络、平行移动、共变导数、Levi-Civita联络、第一变分公式、共变微分与Laplacian
第四章：曲率
第二变分公式、黎曼曲率张量、截面曲率、Ricci曲率与数量(scalar)曲率、测地变分与曲率控制拓扑: Synge定理、Bonnet-Myers定理、Weinstein定理
第五章：空间形式与Jacobi场
全测地子流形、空间形式与Jacobi场、共轭点与测地线极短性、指标形式, Morse指标定理、Cartan-Hadamard定理及其应用
第六章：比较定理
Sturm比较定理、Morse-Schoenberg比较定理、Rauch比较定理、割点(Cut Point)与割迹(Cut Locus)、Hessian/Laplacian比较定理、体积比较定理
第七章：更复杂的曲率条件
非正截面曲率与凸性、Bochner技巧与Bakry-Emery Γ-Calculus、Weitzenbock公式、黎曼几何与图论
课程概述： 刘世平老师的《黎曼几何》课程主要研究黎曼流形上的联络理论以及由此产生的相关几何和分析问题。这门课内容涵盖了从基础的黎曼流形、联络、平行移动到曲率、几何分析等多个方面，注重从分析角度定义和证明基本结论，并融入几何直观解释，是数院的优质课程之一。
课程内容： 课程内容丰富，前半学期主要集中于黎曼流形与联络，如黎曼度量、测地线、联络、平行移动、共变导数、联络的几何意义等；后半学期则转向曲率与几何分析，如曲率的几何意义、第一和第二变分公式、Jacobi场与拓扑球面定理、分裂定理等，以及一些现代几何中的经典问题。刘老师课程讲义详尽，涵盖大量计算和细节。
前置知识： 学习这门课需要具备微分流形、微分几何、ODE理论等相关前置知识。拓扑学的基本群、覆叠空间等也是必要的背景知识，对向量丛和示性类的了解会有助于更好地理解课程内容。
教学水平： 刘老师课堂讲解清晰细致，基础概念和重要定理的推导从容不迫，细节丰富，逻辑性强。特别是在讲解几何意义和直观时，对初学者非常友好。课程讲义和手写笔记详尽具体，方便学生课后复习。
作业与考试： 课程通常不设期中考试，本科生或研究生的平时成绩和期末成绩比例有所不同。本科生为平时：期末=40%：60%，研究生则为65%：35%。平时分主要通过提交作业获得，今年（2023年）刘老师取消了调分操作，导致部分学生对分数有怨言。期末考试涉及较多计算，有些同学反映考试难度较大。
给分： 总体上，本课程给分偏严格，特别是今年缺乏调分机制，使得很多本科生高分较少。虽然有拿到优秀的同学，但总体上90+的成绩非常稀少，且无4.3的总评。
学生反馈： 学生们普遍认为刘老师讲课水平极高，讲解细腻且直观。部分学生认为课程内容偏理论化，计算练习相对较少，建议增加计算练习以更好地掌握课程内容。此外，尽管课程对新手友好，但建议保持预习和课后复习的习惯，以便跟上快节奏的讲解。
选课建议： 刘世平老师的《黎曼几何》课程内容丰富、注重几何直观、讲解细致准确，是一门硬核且高质量的数学课程。对于感兴趣于几何与拓扑关系、几何分析等方向的同学，强烈推荐本课程。但需注意，课程给分严格，需做好充分准备。
- 课程难度：简单
- 作业多少：很少
- 给分好坏：超好
- 收获大小：很多
- 难度：简单
- 作业：很少
- 给分：超好
- 收获：很多
这门课每年由刘世平老师教授，质量无需多言。唯一缺点就是受时间限制具体计算太少，学完之后你知道了一些概念，但如果截面曲率都算不利索，我认为等于白学。
关于前置课程:
1.因为讲的内容相对古典，分析方面只用到ODE理论，流形或许可以边学边补概念，但我认为理解了向量丛的基础概念会更好，不过科大很少讲，很多人会忽视掉，而示性类在现代几何中是极其重要的，如对几何感兴趣，至少应该知道陈类是什么，这是这门课的范围以外的善意提醒。
2.代数拓扑需要懂基本群和覆叠空间。黎曼几何的核心方向是曲率和拓扑之间的关系，对于恰当的变分，长度泛函的第二变分的符号由曲率张量决定，求第二变分是本课程中研究曲率的主要工具，因为刘老师的计算基本是不变形式，大多数同学不太会算局部坐标，但局部坐标在normal coordinates下其实很简洁，因为含有gij的项要么丢了要么缩并，思路更加简单粗暴，如果你想做这方面的练习，可以算一遍Library Genesis: Bennett Chow, Peng Lu, and Lei Ni - Hamilton's Ricci Flow (libgen.is)的第一章。本课程没有讲Hodge定理，就是说紧的黎曼流形上，n阶De Rham上同调群与调和p- form同构，这当然要在局部坐标下去算Laplace算子\(\Delta\)长什么样子，才能去理解它，这个定理的重要性在于通过考虑调和p-form来估计betti number。一个简单应用是可以给出紧流形上Bonnet-Myer定理的一个证明，即Ricci曲率为正的紧流形上第一betti数为0。想了解更多曲率和betti number的关系，可以看Gromov的文章Curvature, diameter and betti numbers (ihes.fr).
-----------
黎曼几何即研究带黎曼度量的流形的几何，在学习过程中，要时刻思考，引入度量究竟有什么好处？其实在曲面的微分几何中 ，Gauss- Bonet定理已经告诉了我们Gauss曲率和示性数之间的关系，也就是曲率对拓扑是有限制的。
课程中证明了拓扑球面定理: 完备黎曼流形如果截面曲率介于1/4到1之间，必同胚于球面。
进一步有微分球面定理:微分同胚于球面，于2007年由Simon Brendle和Richard Schoen用Ricci流证明。两者分别对应着曲率对拓扑结构和微分结构的限制，这始终是微分几何的核心方向，尽管并不总是奏效的:
(Lohkamp):For each manifold M^n, n ≥ 3, there is a complete metric g with negative Ricci curvature and finite volume. That is , there are NO topological obstructions for negative Ricci curvature metrics. 也就是说Ricci曲率为负对拓扑没有任何限制。
相反，1985年Hamilton证明了: 严格正Ricci曲率、紧、单连通3维黎曼流形必是标准球面。
课本上也有这样的定理: Suppose (M, g) is a complete Riemannian manifold with Ricci curvature Ric ≥ (n − 1)k > 0. Then diam(M, g) ≤ \pi/k. Further more, (M, g) has finite fundamental group.
一方面说明一般正曲率对拓扑有强限制。
另一方面，有这么多曲率对拓扑会有限制的结论之后，给定一个流形，研究它性质的一个朴素想法就是寻找足够好的、特殊的度量，如Ricci- Flat度量(Ricci曲率为0),Einstein度量(常Ricci曲率),CSCK度量(常标量曲率)，我们称它们为典范度量，KE度量和CSCK度量的存在性可以说是现今复几何的核心问题之一，其实在本课程中:无论是测地线、Jacobi场等的存在性、还是比较定理，都基于经典的ODE理论。而在丘先生将Calabi定理证明以后: 即Kahler流形上Ricci曲率为0的Kahler度量存在性等价于解复Monge-Ampere方程，真正将非线性PDE引入了对于度量和曲率的研究。
几何分析的巅峰是用Hamilton和Perelman发展的Ricci流证明了Poincare猜想:即任意闭、单连通3-manifold必同胚于球面。定理的陈述与度量、曲率无关，但赋予它一个初始度量，考虑满足方程g'(t)=-2Ric(t)的一族度量g(t)，随着时间的流动，竟能控制它收敛于一个常Ricci曲率的度量(已知在3维情形，Ricci曲率可以还原成截面曲率，而常截面曲率一定是三种space form)。没有比这个更好的例子来回答为什么要引入度量了。
-------
有同学提到黎曼几何重要的哲学为: Geometry hides in familys of geodesics。测地线的哲学更一般的可以说在几何空间中考虑自然能量泛函的极值点......
--------
未完待续
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：一般
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：很少
- 给分：一般
- 收获：很多
刘老师上课水平极高，一个大定理的证明抽丝剥茧，讲解地十分清楚，听课体验特别好，一学期学下来觉得收获很大。
按老师的说法，基本的philosophy在于：Geometry hides in FAMILYs of geodesics. 意思是尽管一条测地线体现不了什么，但“一把”测地线就能反映很多信息。诸如指数映射、变分、Jacobi场、指标形式，其实都是按照这个精神出发的。运用这些基本工具，可以得到整体几何的一些结果。这又把几何和拓扑联系在一起，非常有趣。
很喜欢这门课后半程的内容，讲了黎曼几何中的经典定理（体积比较、分裂定理、拓扑球定理之类的）。没有用很多硬分析的东西，更多使用的几何论证，学来觉得很有趣味。貌似Cheeger等人现在还在做这样的一些工作，进一步会用一些度量几何的理论，但总体上是很几何的手段。几何分析固然是强有力的工具，但纯几何的论证读来实在饶有趣味。
这门课的缺点应该是一学期下来具体的计算做的太少，大部分时候都是在理论和大定理中度过，让人有一种“能算的例子只有R^n、S^n和H^n”的错觉。（不过严格来说这不能算缺点。。。毕竟计算应该是自己下工作做的事情。）其实有趣的例子还是很多的，比如CP^n上的一个度量使得每点的pinching number都是1/4，正好告诉我们拓扑球定理的pinching number＜1/4条件不能减弱，算是很微妙的例子。此外，限于课程学时，没有介绍活动标架法的应用、第二基本形式和空间形式分类定理这些内容，算是有些可惜。
------------------------------------------------------
附图一张，画质略渣。
- 课程难度：简单
- 作业多少：很少
- 给分好坏：超好
- 收获大小：很多
- 难度：简单
- 作业：很少
- 给分：超好
- 收获：很多
本学期听课体验最好的课
大概没有之一
可考试体验太差，期末一场大雨使我手机报废，心态有点崩，考的乱七八糟的
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：一般
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：很少
- 给分：一般
- 收获：很多
今年黎曼几何内容讲述顺序上略有差异，感觉更像是老师即兴讲的。比如讲到割点，发现需要Jacobi场才说的清楚。然后后面讲完Jacobi场之后又讲了一遍共轭点和割点和割迹。最后讲topological sphere theorem的时候又讲了一点割点和单射半径。建议还是和以往一样讲完Jacobi场之后放一起讲，可能好一点。
众所周知，刘老师每次课都会讲点新的东西。比如上学期微分几何最后一节课，整体微分几何里的各种猜想定理。又比如17年 黎曼几何该课程介绍下的第七章很几何分析的内容。 而今年老师用最后两周多一点讲了分裂定理和拓扑球定理完整的证明，还有让一位19级的同学讲了一下Perelman 对Soul Conjecture 的证明。其他的和往年好像就没啥区别了。当然这些也都能在课程主页上看到。
个人觉得没学过微分流形和微分几何也能学这门课，老师第一节课会大致讲一下所需要的微分流形的知识。当然学过更好。我是真佩服老师讲课和计算能力，，口若悬河，别的老师写定理的时候一般就不说话了。而刘老师则是边写边说，写的还贼快。。就没有几次卡壳的情况。。可能是期中太难了，，期末考试太水了，我这种菜鸡都能考满分。。
