预修：微分流形、拓扑学

内容：

第一章：黎曼度量

第二章：测地线

测地方程、指数映射、测地完备性: Hopf-Rinow定理

第三章：联络

仿射联络、平行移动、共变导数、Levi-Civita联络、第一变分公式、共变微分与Laplacian

第四章：曲率

第二变分公式、黎曼曲率张量、截面曲率、Ricci曲率与数量(scalar)曲率、测地变分与曲率控制拓扑: Synge定理、Bonnet-Myers定理、Weinstein定理

第五章：空间形式与Jacobi场

全测地子流形、空间形式与Jacobi场、共轭点与测地线极短性、指标形式, Morse指标定理、Cartan-Hadamard定理及其应用

第六章：比较定理

Sturm比较定理、Morse-Schoenberg比较定理、Rauch比较定理、割点(Cut Point)与割迹(Cut Locus)、Hessian/Laplacian比较定理、体积比较定理

第七章：更复杂的曲率条件

非正截面曲率与凸性、Bochner技巧与Bakry-Emery Γ-Calculus、Weitzenbock公式、黎曼几何与图论

课程概述： 刘世平老师的《黎曼几何》课程主要研究黎曼流形上的联络理论以及由此产生的相关几何和分析问题。这门课内容涵盖了从基础的黎曼流形、联络、平行移动到曲率、几何分析等多个方面，注重从分析角度定义和证明基本结论，并融入几何直观解释，是数院的优质课程之一。

课程内容： 课程内容丰富，前半学期主要集中于黎曼流形与联络，如黎曼度量、测地线、联络、平行移动、共变导数、联络的几何意义等；后半学期则转向曲率与几何分析，如曲率的几何意义、第一和第二变分公式、Jacobi场与拓扑球面定理、分裂定理等，以及一些现代几何中的经典问题。刘老师课程讲义详尽，涵盖大量计算和细节。

前置知识： 学习这门课需要具备微分流形、微分几何、ODE理论等相关前置知识。拓扑学的基本群、覆叠空间等也是必要的背景知识，对向量丛和示性类的了解会有助于更好地理解课程内容。

教学水平： 刘老师课堂讲解清晰细致，基础概念和重要定理的推导从容不迫，细节丰富，逻辑性强。特别是在讲解几何意义和直观时，对初学者非常友好。课程讲义和手写笔记详尽具体，方便学生课后复习。

作业与考试： 课程通常不设期中考试，本科生或研究生的平时成绩和期末成绩比例有所不同。本科生为平时：期末=40%：60%，研究生则为65%：35%。平时分主要通过提交作业获得，今年（2023年）刘老师取消了调分操作，导致部分学生对分数有怨言。期末考试涉及较多计算，有些同学反映考试难度较大。

给分： 总体上，本课程给分偏严格，特别是今年缺乏调分机制，使得很多本科生高分较少。虽然有拿到优秀的同学，但总体上90+的成绩非常稀少，且无4.3的总评。

学生反馈： 学生们普遍认为刘老师讲课水平极高，讲解细腻且直观。部分学生认为课程内容偏理论化，计算练习相对较少，建议增加计算练习以更好地掌握课程内容。此外，尽管课程对新手友好，但建议保持预习和课后复习的习惯，以便跟上快节奏的讲解。

选课建议： 刘世平老师的《黎曼几何》课程内容丰富、注重几何直观、讲解细致准确，是一门硬核且高质量的数学课程。对于感兴趣于几何与拓扑关系、几何分析等方向的同学，强烈推荐本课程。但需注意，课程给分严格，需做好充分准备。