选课类别:基础 | 教学类型:理论课 |
课程类别:研究生课程 | 开课单位:数学科学学院 |
课程层次:本研贯通 | 学分:4.0 |
个人感觉,交换代数比“代数学”更适合作为近世代数之后的第一门代数学进阶课程。这门课主要包括以下内容:
环的基本概念(理想的算术、素理想与极大理想、孙子定理)
模的基本概念(模的定义、模的运算、中山引理、正合列、万有性质)
局部化(环的局部化、模的局部化、局部环的几何意义、常用的局部性质)
诺特环(诺特环、诺特模、希尔伯特三大定理、代数-几何对应)
费马方程(分圆整数环,素理想分解,单位与类数,库默尔理论)
戴德金整环(代数整数环,整数扩张,正规性,维数的基本概念)
赋值理论(域的赋值,离散赋值环,赋值环的拓扑和完备化)
理想的分解(诺特环/模的准素分解,戴德金整环的素因子分解)
这门课是我目前听过的所有代数课程中最精彩的一门,今年申屠老师的教学水平可以用出神入化来形容:
(1)能把各种代数概念的研究动机、来龙去脉讲清楚(比如万有性质的含义和研究动机、中山引理的用法,局部环的几何意义,以及希尔伯特零点定理在几何中的作用);
(2)顺序安排非常合理,能让听者以最舒适的角度理解一些定理的证明(比如推广凯莱- 哈密顿定理证明中山引理,又比如用伴随性质把张量积的右正合性转化为Hom的左正合性);
(3)讲完抽象的理论会给出一些有趣的应用(比如介绍素理想和解方程的对应关系,用换环证明IBN性质,用希尔伯特零点定理证明艾克斯-格罗滕迪克定理)。
阿蒂亚这本书写得很简练,精华全在习题里。老师留的习题不算很多,但如果有条件的话,应该多做课后习题。另外,老师会在期中左右布置一篇小论文(写了有奖励,写不完没有惩罚),主要是鼓励大家多读书,形式题材字数不限。下面是老师推荐的题材:
利用万有性质建立同调论
有限/线性群的不变式理论
环与素谱的代数-几何对应
环(诺特环)的维数理论
交换代数在数论中的应用
交换代数的其它有趣应用(开放)
今年的期末考试只有五道大题,主要考查前半学期的内容,像准素分解、零点定理、整扩张和戴德金整环这些内容都没考。第一题是线性映射的常见反例,可以从加法群中找例子;第二题考查乘积环的理想的形状,前两道题解法都比较初等(学过代基就能做);第三题是局部化的标准例题,第四题考查张量积的各种操作,要求在某些条件下证明线性同构 \(\text{Hom}_A\left( M,N \right) \otimes _AB\cong \text{Hom}_B\left( M\otimes _AB,N\otimes _AB \right) \) ,可惜条件给得不是很好;最后一题是科恩判别法的证明和应用,破题点在于考虑无限生成的理想中最大的那个,此题似乎依赖于选择公理,解法大概不会很多。
申屠钧超老师是我见过的讲课最好的老师。
申屠老师极其善于解释清楚抽象概念背后的动机。相较于很多老师上课只是给学生灌输一大堆命题和证明,他更愿意用大把的时间去阐明概念的动机及蕴含的几何意义。听老师讲解后如同拨云见日,许多抽象命题一下子变得明朗清澈起来。
申屠老师上课绝对不会念书读课本。他讲解局部环时,并没有只按书上的定义一笔带过,而通过讲解流形上全纯函数芽是全纯函数环的局部环来揭示其几何背景;讲解泛性质和蛇引理时,用了整节课向我们说明了“arrow magic”背后的“排队”思想;引入Krull维数时,指出了非奇异点附近流形的维数与代数上定义的等价性……
一学期的课上还展示了很多经典的思想:比如通过局部化再进一步张量积上其剩余域将交换代数问题化为线性代数问题,再通过Nakayama定理加以解决;利用几何代数对应,解决了一系列问题:比如Ax-Grothendieck定理(佐以化到有限域的思想),计算孤立的伴随素理想以及希尔伯特零点定理等等。
老师在学期初即勾勒了一幅代数与几何对应的蓝图:环上的模类比于流形上的向量丛,环的赋值理论类比于函数零点阶数等等,可谓震撼心灵(对于我这样一个还没学多少的人而言是这样的…)整个课程前半段准备好模论、分式化与诺特环的相关知识后直抵希尔伯特零点定理;后半程通过Kummer对regular prime情形费马大定理的证明将整性、准素分解、戴德金整环和离散赋值有机地组合起来(还客串过一些数论介绍)。虽然囿于课堂篇幅未能讲完,但已经足够使我在Atiyah密密麻麻堆叠的定理和证明之外,欣赏到一个璀璨夺目的数学世界。
不过美中不足的是今年考试稍有离谱。老师寒假前说主要考试内容是希尔伯特的两个定理,加之参考了18年老师的模拟卷后,我以为老师会出很多具体的计算(例如具体求出整闭包、算出准素分解等等)没想到今年的考题与希尔伯特和具体计算完全绝缘,一共五道题第四题还是个错题……感觉这个考试质量和老师上课质量有些不匹配啊……
但是老师给总评实在太令人感动了,使我在科大拿了第一个满分总评,申屠老师我的神!!!!!
我学过的代数课里面教得最好的代数老师。由于这门课一半的内容在代数学里学过,所以一开始会觉得老师讲得略慢,但是很快发现老师会将很多定义的来龙去脉讲得非常清楚。听了之后会有一种醍醐灌顶的感觉。不过可能还是课程的性质吧,代数课听起来始终没有几何课听起来有趣,也许是一板一眼的证明(即不能直接说明什么事的引理和技术引理)太多,虽然我个人还是更喜欢代数课程。。。
课程内容主要是经典教材atiyah交换代的1-10章,其中第4章用模的准素分解直接讲,9和10章讲得比较快,部分引理没证,最后也没考,但是之后学代数相关的课程肯定会用到。考试会在期末前发一次习题,上面的许多内容会作为考试习题。(考得偏简单了一点,但是我建议是先简单学一遍交代,再巩固,这样有目的可循,我想老师也是这样想的)作业不是很多,可能是因为没有助教吧,交换代数这门课还是挺适合多做一些习题的。
另外经常看见老师在东区图书馆自习,让咸鱼的我心生愧疚,,,
从原来那个“老师甲”的课程下面搬运过来
申屠老师是我在科大见过最帅最秀气的老师。。。。
教材是atiyah讲到戴德金整环那一章,其中准素分解那一章用伴随素理想的方法来讲(我没听懂,只好按照书上经典的方法来学了)中间会补充一些代数数论的内容(证明费马大定理在某些特殊情况下成立,这部分我也没听懂。。。问老师说是在某本三个日本人写的数论书上有相关内容)
有一次是其他的老师来代课,恰好是上的最重要的整性那一章,直接促成我开始翘课。。。
中间基本是在证明希尔伯特零点定理,换了两三种方法。但是感觉无论哪种方法都感觉像一通完全无关的操作就把定理证完了。。。
中间会有两个challenge,一个是在范畴下证明snakelemma,还有一个基本上是gtm52第一章读书报告
期末之前会发8道题目,考试很多从这上面出题,保证你及格。我学艺不精,判断题问我整环的局部化是不是整环,我说是,还把它伪证出来了。。。惭愧。
最后一题有一部分貌似极端之难,大家都不会做
给分很良心