2022秋 2018秋 2017秋 课程号：MATH5011P01
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：超好
- 收获大小：很多
| 选课类别：基础 | 教学类型：理论课 |
| 课程类别：研究生课程 | 开课单位：数学科学学院 |
| 课程层次：本研贯通 | 学分：4.0 |
课程内容
申屠钧超老师的《交换代数》课程内容覆盖课题广泛，主要使用经典教材《Atiyah & Macdonald》。课程包括环和模的基本概念、局部化、诺特环、戴德金整环、赋值理论及理想的分解等，前半段内容主要涉及模论、分式化及希尔伯特零点定理，后半段涉及费马范畴、整性及戴德金整环。这门课不仅讲授理论，还通过数论中的应用实例（如费马大定理的证明）扩展知识范围。
教学水平
多位学生赞扬申屠老师教学水平出神入化，特别是在阐明抽象概念的动机及几何背景方面表现突出。学生指出，他不是简单地念书本，而是通过深入的例子和动机阐述，使复杂定理和概念变得易于理解。此外，老师还设计了合理的课程顺序，通过局部化、张量积等工具将问题简化为线性代数问题并解决。
作业与考试
申屠老师布置的作业量不大，但课堂习题和期中论文对于加深学生理解至关重要。期中会布置一篇鼓励多读书的小论文，题材包括同调论、不变式理论、环的维数理论等。期末考试题目相对简单，有些超纲题难度较大，但整体给予学生很大自主解决问题的空间。
给分情况
学生普遍认为申屠老师给分很慷慨，有学生在课程中拿到了满分。这激励了很多学生在休假前后对科目作进一步的探究，提高了他们对数学的兴趣和热情。
总结
申屠钧超老师的《交换代数》课程内容丰富且深刻，尤其适合作为近世代数之后的第一门进阶课程。课程通过例子和动机讲解，清晰深入地展示了交换代数的核心思想，帮助学生在面对抽象数学时能豁然开朗。同时，课程作业和考试设置合理，考察学生理解和应用能力，给分公允，深受学生喜爱。
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：超好
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：很少
- 给分：超好
- 收获：很多
stjc 老师的录播课救我大命！！！
Background：深夜在北京的麦当劳，补着暑期学校需要的交换代数基础，看着 stjc 老师的课，格外有感触。
在初次尝试学习交换代数的时候，我尝试直接阅读 Atiyah & Macdonald 那一本看上去「非常薄」的书，盲目地认为自己能够看完的，可是，Atiyah & Macdonald 完全抽象的很多陈述都忽略了背后的动机和例子，使得我在学了一些之后慢慢地变得「不知所云」。再加上暑期学校的三门课均需要相当量的交换代数知识，这让我整个暑期学校的前几天感觉不是很好，直到今天下午想起来：「我能不能看看 st 老师的课程呢？」
这个想法是我这一周以来最好的想法。st 的课让我有一种豁然开朗的感觉，似乎之前并不了解的很多交换代数知识一下就被限定在了特别的代数几何或者代数数论的领域内，同时有在例子和 story 中把 Atiyah 的书不动声色讲完了，可谓「运筹帷幄」，令人啧啧赞叹。😭
更新一张图，st 老师太可爱了！
- 课程难度：中等
- 作业多少：中等
- 给分好坏：超好
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：中等
- 给分：超好
- 收获：很多
个人感觉，交换代数比“代数学”更适合作为近世代数之后的第一门代数学进阶课程。这门课主要包括以下内容：
环的基本概念（理想的算术、素理想与极大理想、孙子定理）
模的基本概念（模的定义、模的运算、中山引理、正合列、万有性质）
局部化（环的局部化、模的局部化、局部环的几何意义、常用的局部性质）
诺特环（诺特环、诺特模、希尔伯特三大定理、代数-几何对应）
费马方程（分圆整数环，素理想分解，单位与类数，库默尔理论）
戴德金整环（代数整数环，整数扩张，正规性，维数的基本概念）
赋值理论（域的赋值，离散赋值环，赋值环的拓扑和完备化）
理想的分解（诺特环/模的准素分解，戴德金整环的素因子分解）
这门课是我目前听过的所有代数课程中最精彩的一门，今年申屠老师的教学水平可以用出神入化来形容：
（1）能把各种代数概念的研究动机、来龙去脉讲清楚（比如万有性质的含义和研究动机、中山引理的用法，局部环的几何意义，以及希尔伯特零点定理在几何中的作用）；
（2）顺序安排非常合理，能让听者以最舒适的角度理解一些定理的证明（比如推广凯莱- 哈密顿定理证明中山引理，又比如用伴随性质把张量积的右正合性转化为Hom的左正合性）；
（3）讲完抽象的理论会给出一些有趣的应用（比如介绍素理想和解方程的对应关系，用换环证明IBN性质，用希尔伯特零点定理证明艾克斯-格罗滕迪克定理）。
阿蒂亚这本书写得很简练，精华全在习题里。老师留的习题不算很多，但如果有条件的话，应该多做课后习题。另外，老师会在期中左右布置一篇小论文（写了有奖励，写不完没有惩罚），主要是鼓励大家多读书，形式题材字数不限。下面是老师推荐的题材：
利用万有性质建立同调论
有限/线性群的不变式理论
环与素谱的代数-几何对应
环（诺特环）的维数理论
交换代数在数论中的应用
交换代数的其它有趣应用（开放）
今年的期末考试只有五道大题，主要考查前半学期的内容，像准素分解、零点定理、整扩张和戴德金整环这些内容都没考。第一题是线性映射的常见反例，可以从加法群中找例子；第二题考查乘积环的理想的形状，前两道题解法都比较初等（学过代基就能做）；第三题是局部化的标准例题，第四题考查张量积的各种操作，要求在某些条件下证明线性同构 \(\text{Hom}_A\left( M,N \right) \otimes _AB\cong \text{Hom}_B\left( M\otimes _AB,N\otimes _AB \right) \) ，可惜条件给得不是很好；最后一题是科恩判别法的证明和应用，破题点在于考虑无限生成的理想中最大的那个，此题似乎依赖于选择公理，解法大概不会很多。
- 课程难度：中等
- 作业多少：很少
- 给分好坏：超好
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：很少
- 给分：超好
- 收获：很多
申屠钧超老师是我见过的讲课最好的老师。
申屠老师极其善于解释清楚抽象概念背后的动机。相较于很多老师上课只是给学生灌输一大堆命题和证明，他更愿意用大把的时间去阐明概念的动机及蕴含的几何意义。听老师讲解后如同拨云见日，许多抽象命题一下子变得明朗清澈起来。
申屠老师上课绝对不会念书读课本。他讲解局部环时，并没有只按书上的定义一笔带过，而通过讲解流形上全纯函数芽是全纯函数环的局部环来揭示其几何背景；讲解泛性质和蛇引理时，用了整节课向我们说明了“arrow magic”背后的“排队”思想；引入Krull维数时，指出了非奇异点附近流形的维数与代数上定义的等价性……
一学期的课上还展示了很多经典的思想：比如通过局部化再进一步张量积上其剩余域将交换代数问题化为线性代数问题，再通过Nakayama定理加以解决；利用几何代数对应，解决了一系列问题：比如Ax-Grothendieck定理（佐以化到有限域的思想），计算孤立的伴随素理想以及希尔伯特零点定理等等。
老师在学期初即勾勒了一幅代数与几何对应的蓝图：环上的模类比于流形上的向量丛，环的赋值理论类比于函数零点阶数等等，可谓震撼心灵（对于我这样一个还没学多少的人而言是这样的…）整个课程前半段准备好模论、分式化与诺特环的相关知识后直抵希尔伯特零点定理；后半程通过Kummer对regular prime情形费马大定理的证明将整性、准素分解、戴德金整环和离散赋值有机地组合起来（还客串过一些数论介绍）。虽然囿于课堂篇幅未能讲完，但已经足够使我在Atiyah密密麻麻堆叠的定理和证明之外，欣赏到一个璀璨夺目的数学世界。
不过美中不足的是今年考试稍有离谱。老师寒假前说主要考试内容是希尔伯特的两个定理，加之参考了18年老师的模拟卷后，我以为老师会出很多具体的计算（例如具体求出整闭包、算出准素分解等等）没想到今年的考题与希尔伯特和具体计算完全绝缘，一共五道题第四题还是个错题……感觉这个考试质量和老师上课质量有些不匹配啊……
但是老师给总评实在太令人感动了，使我在科大拿了第一个满分总评，申屠老师我的神！！！！！
