数院计算人，对概率比较感兴趣，因此在大四上打算学习高等概率论，本来是打算在管院的班和数院的班挑一个

但是后来看到管院的班评分9.7，数院的班评分1.3，因此非常好奇，打算做一个对比实验，整体感受如下：

关于课程内容：

数院的主要参考教材是薄立军，管院的主要参考教材是胡太忠

关于特征函数，条件期望，测度论等比较基本的内容，两本书都讲了，也讲的差不多，总体来说胡太忠的书偏向于展示各种造轮子的无聊体力活过程，是那种看完后一天就忘的过程，且去掉这些过程后，书上剩余的定理什么的内容会略显贫瘠（我自己码latex复习的时候，甚至总共只用了10页不到就把全部PPT我觉得有价值的东西记录了），例子也并不充足，也有很多我觉得是gap的地方并没有进一步解释，是我大学以来读着最不顺的教材。

而薄立军的书重点突出，详略得当，脉络清晰，我觉得就读体验会好非常多

在两个班的老师讲课都不咋样的前提下，一本舒服的教材还是比较加分的，唯一的区别就是胡太忠极限理论讲的比较多，杨赛赛讲各种测度之间的度量比较多，不过杨赛赛以后说会调整讲课结构，所以估计以后是内容差不多，但是数院教材更本质更清晰更有脉络，这点数院胜，我建议选管院课的也抱一本数院教材来读一读

关于作业和考试：

两个班的作业都比较水，数目也不算多，应该说写作业的平时压力并不会很大，今年杨赛赛的卷子大概是5-10分难题+20-30分左右中档题+其余不那么平凡的作业题，如果平时有把作业题弄懂的话，考的应该都会不错，上90分的压力并不大

胡太忠的卷子则和作业画风差距较大，个人感觉考的蛮多是实分析和刘率论的一些技巧，这两门课比较扎实的话，应该差不多能做到考题至多一道不会做，不过助教改卷子会比较严格，所以大家分似乎不是很高

关于给分：

杨赛赛的给分是235一分不调，因此要拿4.3还是并不容易的，因为期中和期末的卷子都并非100分完全白给，但是把作业题熟练掌握+把薄书的定理理解清楚，拿4.0应该是非常稳定的课，总体来说杨赛赛适合想要稳定拿4+，但不是非4.3不可的同学来选，注意不平凡的作业也要搞明白，很可能会考

至于胡太忠的课，如果刘率论和实分析感觉学的不是很好的话，不太建议来选，因为考试其实没什么作业题，如果手法不够只会写一两题也是很有可能的，具体给分还没出来，等出来了我再更新吧，我个人感觉卷子中位数可能在40分上下，因此你考个70+80+甚至60+就是一个比较高的分数了，容错率非常可以，但具体给分未知，等出了分再来评

杨赛赛十分主要是出于评课社区对他评价太低了，我想拉高一下

至少评课社区反映的教材问题和卷子问题和作业布置问题今年都解决的比较好，没解决的问题可能是给分还是一分不调，但这也不是大事，老师在一年一年变好

修读这门课程之前最好具备的知识：初等概率论基础；实分析：可测函数、Lebesgue积分的定义，单调收敛定理，控制收敛定理，绝对连续函数的定义及其性质（a.e.可导，Newton- Leibniz公式）；复分析：长大不等式，级数收敛，复变函数泰勒展开。课程中间建议去了解的知识：Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue- Stieltjes积分（可知乎），乘积空间上的\sigma 代数（Folland实分析P21 1.2节），复值可测函数积分的绝对值不等式（Folland实分析P53 命题2.22）。以上是本人认为熟练掌握后对学习本门课程帮助比较大的知识。

这学期杨老师选用的教材是薄立军老师的《高等概率论》（以下简称[薄]）和中科大出版的《概率论教程》（缪柏其，胡太忠）（以下简称[胡]）。授课内容包括以下： [薄]第2章 概率空间与随机变量 [薄]第3章 分布与积分 [薄]第4章 条件数学期望 [薄]第5章 随机变量列的收敛 [薄]第6章 特征函数及其应用 [胡]第5章 分布函数和特征函数 [胡]第6章 极限定理

杨老师对比前年，在选用教材上面确实有很大的进步，但是授课水平依旧一言难尽。第一堂课说我们先讲讲测度论，上来就是\pi 类\lambda 类一顿讲然后\pi -\lambda 定理给我整懵逼了，于是开始一学期的自学模式。所以接下来我不会讨论他上课讲得怎么样，因为基本没听过，只从我自学的角度评价对比一下教材内容。

个人感觉[薄]编写得比[胡]更加简洁一些，省略了很多内容，不过有好有坏。补充一点就是[胡]的花体字母太多太像了看得我眼睛难受，[薄]就没这个问题。在讲概率测度的时候，[胡]详细证明了概率测度延拓定理，而[薄]只给了一个Carathéodory延拓定理却并未给出证明。这里我觉得[胡]1.3节-1.5节还是值得看的，甚至感觉比[薄]的概率测度写得好一些。到了[薄]2.6随机变量这一节，教材很多地方对初学者就很不友好了，这里有很多内容经常会用到后面还没讲的东西，第一次看到会十分懵。我第一次看到这里的时候，完全没看明白，直到后面学完乘积空间再回来看时才清晰明了。所以这里我建议初学者可以先跳过所有取值为R^n的随机变量，等后期学完乘积空间再回来看。[薄]定理2.11证明写得比较奇怪且有bug，建议看[胡]引理2.1.1的证明来代替。

[薄]第3章前面内容还行，但是到了3.4积分（数学期望）这一节，我认为有个地方编写得不够好，就是积分的线性性这一性质的证明其实很不显然，不能理所当然地认为它是正确的。综合两本书关于期望的内容，我认为证明该性质的步骤应该如下：由[薄]3.4的步骤3和步骤4定义非负r.v.和一般r.v.的期望→[胡]引理2.4.1→[胡]定义2.4.2和定理2.4.1（证明了非负r.v.期望两种定义的等价性）→[胡]定理2.4.2（控制收敛定理）→[胡]定理2.4.3（证明期望线性性）。而不是像[薄]先给线性性再给MCT。[薄]3.5节变量变换公式这一节还需要用[胡]定理2.5.1作一点补充，限制积分区域。[薄]3.7独立性与乘积测度这一章则将对新手的不友好拉到顶峰。我建议这一章学完引理3.3，先跳到后面定义3.10把乘积空间给学了，这里最好参考一下Folland书上乘积\sigma 代数的内容，知道乘积符号是有结合律的比较好。学完这一节后面的Fubini定理后，就可以回到随机变量那一节把取值R^n和R^∞的r.v.的\sigma 代数给看了，再回到3.7节学Kolmogorov0-1律。个人感觉[薄]3.7这里使用了Carathéodory延拓定理将概率测度延拓到乘积空间上，要比[胡]第3章写得简洁很多，因此Fubini定理这一部分内容建议还是看[薄]。

[薄]第4章条件数学期望这部分写得挺好的，比[胡]简洁直观，但是也更加抽象一些，因为没有太多实际例子，只是干燥地给出定义和罗列定理。定理4.3的证明需要用到一个结论：可数正集的并是正集，书中跳过了这一步，也算是个gap了，这个结论我自己证出来了，读者也可以去证一下。学习这一部分我觉得[胡]4.1-4.2节还是应该看一下，因为有一些条件概率和条件期望具体的例子，贴合实际，可以帮助理解，也补充了一些[薄]没有的内容。

[薄]第5章讲了随机变量的收敛和概率测度的弱收敛，讲得很详细。不过定理5.8的Vitali收敛定理第一部分的证明写得不是很好，可以参考[胡]P99的定理证明。最后两节的内容感觉跟概率论关系不是特别大，又特别难，主要是在讲一些空间上的度量，老师上课讲了好几节课，并且表示以后上课会删减这部分内容。不过Helly选择定理的证明还是可以看看的。

关于特征函数，还是以[胡]第5章为主。不过[胡]第5章gap和bug特别多，如果读者细心的话会很发现有些地方不显然，有些地方是错的。读者在学习这一章时最好也去了解一下R- S积分和L-S积分，知道它们在什么时候是相等的。因为期望的定义其实是L-S积分，而这一章有时会用R- S积分的定义去证明定理。本章经常对积分直接用DCT和Fubini ，所以需要读者对这些定理充分熟悉。5.1节给出了广义分布函数弱收敛和完全收敛的定义，并证明了一些性质。命题5.1.3就有巨大gap，F_n完全收敛于F推出F_n(±∞)→F(±∞)并不显然，这里没证，读者可以从上下极限定义用数学分析的方法证明。特征函数是连续函数需要用DCT证明，[胡]并未提到，而[薄]引理6.3指出了特征函数是一致连续的并证明了，补充了这一点。关于特征函数的微分性质，[胡]5.4有些地方真是一言难尽，推论5.4.1应该改成f在t=0的邻域有k阶导数而不是只在t=0处，这样可以用定理5.4.2的泰勒展开条件来证。推论5.4.2的证明则完全没有存在的必要，因为定理5.4.1已经证出来了。定理5.4.5也是错的，收敛半径应该改成R/e。

[胡]第6章极限定理根据课程内容还是主要以看弱大数定律、中心极限定理、强大数定律为主。上课最后上到了收敛速度，连强大数律都没讲，我觉得还不如讲后者。学习两个大数定律推荐看[胡]，而中心极限定理推荐看[薄]6.6，因为写得更加清晰明了，[胡]则又啰嗦又乱。

关于考试，期中期末都是一共6题，期中考了5个作业题（其中一题有两问，第二问是新加的），最后1题是[薄]习题4第4题（没布置过），要用Radon- Nikodym定理来做。期末则考了3个作业题（最后一题是[胡]6.7习题第6题，拆成两问，第一问是证那个提示），本来说好考4题的，不知道是不是老师出题时记错了。期中期末都考了绝对连续函数的定义和性质，所以一定要掌握！关于作业题，就要提到一言难尽的某位助教了，每次作业题的答案写的不知道什么鬼玩意，讲习题课时错漏百出，不过他说答案是杨给他的，这就更难绷了。考试考的某个作业题，我甚至没在习题课讲义上看到答案，还是考前从同学那里问来怎么做的。还有些我和助教都不会做的题，只能把助教乱写的答案默上去，混个满分（他也不好给他自己答案扣分吧）。当然这门课另一位助教还是很负责的，习题课答案写得又工整又正确。

这门课平时作业很少，一共就布置过7次，最后一次就2题不用交，前面6次平均下来一次就7题左右，不过阴间题偏多，有些是[薄]上面的练习（有答案），有些则没答案，比较考验大家的人际交往能力（bushi）。

关于给分，这门课期中考均分67，期末考均分75，老师应该是按30％平时（交齐作业应该就拿满）+30％期中+40％期末来给分，一分不调。不过因为考试内容相对简单（因为有大量作业，虽然都挺阴间），所以感觉不调分还算合理。

关于修读建议，我认为这门课程的难度在数院研究生课中算偏低的，纯靠自学比我上的其他研究生课要舒服很多，难度远远低于本科刘率论。如果有一定自学能力还有一定的前置知识基础（我本科实分析3.3概率论3.0），我感觉自学这门课压力并不是很大。其实杨老师人挺好的，也有在努力改进讲课质量，这学期使用的教材让人感到非常舒服，不过讲课水平还有待提高。我期中100期末83总评给了93，所以如果大家不想上太难的研究生课，这门课还是很推荐的，前提是你能自学，最好有好朋友一起学（逃）。

教材给1星，作业量给1星，考试难度给1星，助教扣1星，讲课扣1星，所以给3星。

杨哥现在讲课真没啥可喷的了，感觉老师人也蛮好，查卷的时候聊了一下大偏差理论能不能在运筹里面应用（

给分的话没得黑，感觉平时分比例相当高，捞的够猛，想吃分的话各个方向的树皮应该都能选一下

小提示：如果你要查卷，最好搞清楚你证明过程的每一步technique，因为老师可能让你复现每一步过程