这学期我在新加坡国立大学做博后期间在教本科生的PDE课，于是9年前被Evans薄纱的回忆又开始攻击我。现在还差3周就结课了（NUS一个学期的教学周是13周，本学期1月9日开学，4月14日结课），在此更新一下自己对这门课的看法。

我的理解是科大的微分方程1这门课应当被看成一门至少6学分的课来学。可是由于这门课本身只有4学分，如果习题课、作业不能很好衔接，老师不能很好把握进度的话就会非常混乱。现在微分方程2也取消必修了，有一种可能性把微分方程1拆成2门3学分的课（ODE+PDE1），ODE放在大二上，PDE1放在大二下，然后把近世代数或者复分析中的一门挪到大二上（我倾向于挪近世代数），以减轻二下的压力。但是院里的老师对这门课的看法似乎差异很大，另一方面，开一个新的本科生课号要经过学校层层审批，吃力不讨好。

关于这门课本身，ODE部分用丁同仁的书其实没什么好说的，我觉得两个月的时间足够讲完第1-6和第8章了。ODE部分最重要的还是皮卡迭代法，以及后面求解高阶方程和一阶方程组的部分。当然第8章平面动力系统的内容本身很有意思，如果时间允许的话我认为应该多讲一些。感兴趣的同学可以去看Thomas Sideris的书，或者国内早年一些写微分方程定性理论的书，或者Hirsh & Smale的后半本。

偏微分方程部分，我觉得很难找到一本适合这门课的教材。我14年修这门课的时候院里用的是Evans的书，这对大部分初学者来说实在是太残暴了（但是并不能否认Evans是一本相当好的本科PDE教材）。赵老师这学期用的是周蜀林的偏微分方程，我觉得这本书作为一个讲义很不错，就是顺序应该调换一下。实际上这本书的蓝本是姜礼尚的数学物理方程讲义，然后椭圆方程的部分换成了Evans第2章（确实应该换）。在NUS这边，往年都是用Strauss的PDE，但是说实话我认为这本书写得很糟糕，它在假装自己是一本严格的数学书，但是实际上证明非常不严格，经常出现对间断函数求导然后迫真使用广义函数的证明。

至于给分，我只能说现在的抱怨还是太naive，现在的给分已经比多年前水多了。优秀率30%提到40%，H课取消优秀率限制，取消解析几何等等，哪个不是我们以前在教学座谈会上不断抗争才得到的成果？我就说一下我们这年的给分吧：全班182人，总评90分以上个位数。这是大家的第一门核心专业课，我的理解是老师好像也没有义务给满40%优秀率。自己可以回过头问问自己，网课期间自己真的学会了吗？PDE这种hard core analysis可不是你知道方法动动嘴皮子就能做出来的。看见22秋赵班的考卷，我甚至怀疑这不是我认识的那个赵老板，我修过他教的好几门课，从来没见过他出这么简单的题目。

话说回来，我认为PDE这门课这样规划比较好

1. 一阶线性方程（特征线法）

2. 波方程（R^n情况，有限传播速度，能量估计，边值问题的分离变量法）

3. 热方程（R^n情况的傅立叶方法，顺便再用傅立叶解波方程；极大值原理，边值问题的分离变量法）

在这个时间点，应当讲一下特征值问题，并且证明-Δ（带零边值）的主特征值变分原理。实际上这个变分原理的第一部分（最小特征值是Rayleigh quotient的极小化子）并不需要像Evans 6.5节那样证明，实际上可以采用Strauss书11.1节的变分法证明。（我今年教课就是这么讲的）

4. 变分法 据此可以引进变分法，从而引入了一个从数学上导出（非线性）方程的方法。然后我切换到Evans 的8.1节，介绍了基本的欧拉-拉格朗日方程（变分法的一般形式），并且讲了8.4节变分不等式的例子（椭圆自由边界问题的雏形）。作为特例，Dirichlet原理导出了Poisson方程

5. 拉普拉斯方程。Dirichlet原理本身只能从能量的角度来研究拉普拉斯方程，而积分的行为并不蕴含逐点行为。所以这部分应当着重强调逐点行为：解方程+极大值原理。可以从一些特殊情况入手（比如圆盘），然后讲Poisson方程的一般解法（与基本解卷积、格林函数与电像法），然后讲平均值原理和极大值原理相关。

备课的时候，我的感受是。凡是涉及到具体求解方程的，不应当追求一般维数（格林函数法除外，实际上这个方法并不一定能给出解析式，毕竟格林函数本身很难算），例如分离变量法波方程和热方程讲1D就好了，拉普拉斯方程讲个矩形和圆盘就够了；全空间的情况波方程讲清楚1、3、2维就已经够了。而凡是涉及到理论证明的（极大值原理、变分法、能量法），则应当追求定理的一般化，与微分方程2做好衔接。

由于科大这门课的课时太少，我认为在正常进度下一个学期只够上这么多内容，顶多在习题课补充一点更高级的内容，比如对数梯度估计证明Harnack不等式、诺特定理、Derrick-Pohozaev恒等式、部分半线性方程的有限时间爆破等等。但是这些补充内容显然不应该成为这门课的重点。另一方面，我也能理解不同意拆课的想法：古典PDE距离现代PDE的应用（甚至不能研究）实在太远了，大好时光不应该浪费在这些一两百年前的内容上。甚至我觉得微分方程2的内容也可以精简，以引入更多非线性方程的技巧。所以，以后的工作涉及到分析、PDE的同学们，请

一定要在大三下就学微分方程2

微分方程2自从被取消必修之后，选课人数直线下降，但是我认为这门课本身的定位就应该是高年级本科生课。不要说这课有多难，可以去看看香港中文大学的本科PDE课，比微分方程2更难、更精炼。

这门课还有一个遗憾，就是并没有展开讲一阶方程，实际上科大根本没有讲一阶方程的课。然而，PDE除了椭圆抛物以外还有更加广阔的天地。例如色散方程、动理学方程就并没有被归为椭圆抛物双曲里面任何一个，但是其本身（薛定谔方程、KdV方程、玻尔兹曼方程等）却有重要的物理意义；传统的色散方程适定性问题需要大量使用调和分析，而孤立子问题、超临界方程的爆破解等又有船新的技术。而双曲方程本身除了波方程以外，更精彩的地方在于（尤其是高维）守恒律方程（一阶双曲组），这些都是现实中的物理问题直接抽象出来的方程（可压缩气体动力学、磁流体力学、弹性力学、相对论流体）等等，能描述的现象比我们在课本上学的几个二阶方程广阔很多（例如激波的形成、太阳风的传播、地震波在海里的传播、中子星的运动、黑洞的形成，以及与现实更接近的：水波的运动、超音速飞机的设计、拉瓦尔喷管模型等等）。感兴趣的同学，可以看一下Evans第3、10、11章（H-J方程、黎曼问题），或者Alinhac的hyperbolic PDE(更偏波方程和几何的角度)，甚至可以看一下刘太平老师前年出的一本叫shock wave的书，里面详尽介绍了各种1D守恒律的研究。

方程本身需要的知识储备并不多，除了科大的分析基础课之外，椭圆方程学完G-T或者陈亚浙-吴兰成的线性部分足以。想从事微分方程理论研究的同学，请在三年级结束之前学好实分析、高等实分析、调和分析、微分方程2、泛函分析，并找一个靠谱的老师做大研，早日上手读专著读文献比死读课本强十万甚至九万倍。学基础知识的时候也不需要太过纠结于背诵定理的的证明，更多的是要形成自己的理解，以及对不同类型的方程找自己的“感觉”。

在学的时候可以问自己一些问题：

自己是更擅长逐点估计，还是积分估计？

自己是更擅长数学分析A1，还是更擅长数学分析A3+实分析？

自己是更擅长极大值原理的构造，还是傅立叶方法和能量法的运用？

自己更喜欢解决简单模型里面的古老难题，还是不怕艰苦去挑战复杂模型的基本问题？

选方向之前，想清楚上述几个问题。

剩下的就看自己进入什么方向，自己能挖掘什么样的问题，这需要真正的造化和运气。

———分割线—————
删了重写罢，以前写的什么费拉玩意，，，

这门课应该是我进数院之后第一次学起来有点“开窍”的课。很多人吐槽微分方程1这门课教学混乱不堪，你书得队，我觉得微分方程1应该是老师最难教的一门课，而且学生也不好学。然而这门课如果得到重视的话效果应该会不错。

————————

关于老宣的课堂：

这年的教材是《常微分方程教程》丁同仁（1~6、8章节选），Evans的PDE第2章和第四章前两节。ODE内容大概是各种计算，还有ODE解的存在唯一性定理（皮卡迭代、欧拉折线等）和少量平面动力系统的科普。PDE部分重点讲四类方程（热方程采用傅立叶方法）+分离变量法。

老宣风趣幽默，上课经常迫真冷笑话，，，起初上课很慢，讲课非常详细，好像在教小学生，常微分方程甚至讲了三个月。而且他在三个月内讲完ODE得益于中途让赵老师代课两周，这两周我们直接从丁同仁那本书第三章飙到了第六章。然而他发现PDE没太多时间讲了，所以上得比较快，最后Evans那本书上了第二章+第四章前两节，按计划应该是要上完第四章的。老宣其实在PDE部分讲得非常好（有一部分同学吐槽他讲课太快了，大概是因为之前太慢了），当然你要体会到这种“好”，得课后花时间去自己check书上的细节。

作业不多，每周大概5~10个题。有人说PDE作业计算量太大了，可PDE重要的就是计算量吧。最后的考试并不困难，期中考试都是常规题，期末考试除了一道计算题其它都是默写定理证明题（当然题量非常巨大）。总评按20作业+30期中+50期末给分，小论文+0~5分，没有调分。

————————

关于这门课要用的分析工具：

这门课经常用到的结论是：Gronwall不等式、n维的Stokes公式（及其推论，例如Gauss-Green公式、散度定理），一定不要局限于数分A2讲的三维的情况（在这门课根本没用！）你应该熟练地使用Evans pde(第二版)附录C.2~C.4的那些公式，至少需要熟记。怎么做到熟练呢？请直接推导Evans第二、第四章的细节，要求自己每一步细节都要抠出来，两个星期下来保证做到上面的效果。之后，所有的章节/笔记都需要自己重新计算一遍细节，这些过程对于学习微分方程1是必须的！！！

另外，Fourier分析的知识建议自学Stein的Fourier Analysis 第2、3、5、6章(尤其是第5、6章)。我认为大二上的确应该学一学这些东西。

————————

关于这门课的内容设置：

其实这门课半学期讲ODE半学期讲PDE挺好的，但是不知道为什么这门课经常换教材。而且对课程定位的模糊直接导致了教学的混乱。我觉得应该钦定好教材和大纲。

1. 常微分方程：大二的时候同学们基础知识太少，如果你看过一些讲微分动力系统的书（比如张芷芬的微分方程定性理论，或者张锦炎/钱敏的微分动力系统导引）就知道ODE定性理论很难讲深。这部分适合大二本科生在半学期多一点的时间内学习的课本非常之少。学校选用的教材《常微分方程教程》（丁同仁）大约已经是中文书中的最佳选择，算上英文书的话GTM182也许好一点（我没看过，但是听说风评不错）. Arnold/Pontryagin这种苏联流派的教材不适合教学，Hirsh和Smale的《微分方程、动力系统与混沌导论》尽管写得通俗易懂，但是例子太多过于累赘，更像是课后读物，不适合当作一部三个月内完成的教材。

当然，采用丁同仁这本书也不是说照着念就行。同学们如果心细的话就会发现这本书在讲存在唯一性/连续依赖性等证明的时候出现了很多不严格的叙述（比如一个函数居然不明确定义域是哪），但要注意它的证明思路你必须要学会，这些typo是一些不影响核心内容的技术性问题。这本书我认为应该上第1~6章、第9~10章，具体内容为：ODE的基本解法、存在唯一性定理（皮卡迭代、欧拉折线法）、初值连续依赖性、奇解与包络、高阶线性ODE与ODE方程组、Sturm-Liouville问题、首次积分。时间应该控制在三个月。

2. 偏微分方程：宣老师教我们这门课的时候说这部分主要是教我们“解”PDE+四类方程的基本性质。想来想去还是觉得Evans的书最符合实际，当然我并不是说照着念就能达到效果。我觉得可以讲Evans第二章，然后把第四章前三节的部分内容穿插进Evans的第二章讲。具体内容是：

1) 传输方程（即一阶线性PDE）

2)Laplace方程（调和函数的平均值原理、极大值原理、最简单的梯度估计与Harnack不等式、格林函数法、极坐标下的Laplacian、变分原理）

3)热传导方程（傅立叶变换解热方程、分离变量法解方程、Evans上利用Scaling寻找基本解的方法(想法来源于4.2节)、Du'Hamel原理、热方程极大值原理与平均值原理）

4) 波方程（1/3/2维的达朗贝尔/基尔霍夫/泊松求解公式，n维的跳过，然后讲分离变量法解弦振动问题，最后讲波方程的有限传播速度（重要），最后可以介绍一下evans 4.2节提到的行波解/孤立子(不考)）

这样的话，我觉得这门课作为一门“重点是解方程”的课才能达到它的目的。

3. 另外14级的微分方程1助教，也就是12级的沈大卫学长写过一个习题课讲义，也是非常好的学习资料。

————————

最后我觉得：

1. 管院统计系完全没必要上这门课，他们大三有偏微分方程就够了。但数学学院必须上这门课，而且不能降低难度，并且取消微分方程2“几乎”必修。

2. 这门课的难度和学分并不匹配：我觉得要达到理想的教学效果，这门课应该改成5学分，每周5课时。或者像清华数学系那样，大二上常微分方程，春季学期同时有PDE1（PDE古典解，可以认真讲完evans第2、3、4章。）、PDE2（微分方程2的内容）。然而这样改变教学计划似乎是不被倒闭处允许的！

3. 很多同学对待这门课的认真程度不够：就像我上面说的一样，课后回去重复一遍计算是基本要求，不要叫苦连天，尽管这很花时间。微分方程本来就是靠计算，它并没有多少深邃的思想，更多是分析技术的运用！

要记住，这可能是你在数院遇到的第一门具有挑战性的课程，不要指望再有数分和线代这种仁慈的课程了！你特么已经大二了！

希望这门好课不要被浪费掉，，，