我说两句吧。

这个课即使是作为研究生课，涵盖内容也是相当之多了，其知识量可能比交换代数+群与代数表示论还要多。具体的课程内容楼上已经说过了。我主要点评一下：

1.老师水平高超，用的是参考田一超notes和一些教材写的讲义，可以看出其功力深厚。

2.课程前期讲的代数整数和有限性定理(类数有限，单位群结构)我基本都会故没怎么听，不做点评。

3.二次域的算术。这部分可以算是这门课的精华了。通过二次型，上半平面在sl_2(Z)下作用的轨道来给出虚二次域的类数，通过连分数给出实二次域的类数和基本单位的计算分式，可以说是很惊艳了。这部分我给好评。

4.类域论。我感觉类域论的精华是hilbert类域和artin symbol给出的对应，可惜这些定理都没有细讲。老师主要是陈述了一些例子和结果，最精彩的是对regular prime证明fermat大定理。作为“代数”数论，希望这部分内容能在以后的课里多讲一点。

5.L函数部分。这部分讲了很多复分析，有一说一，我感觉分析的证明可以适当省略。重点在于L函数给出了类数公式。大概学会调和分析以后我还要再过一遍这部分内容。

6.局部域。几乎没讲。

7.整体域。这部分老师主要是介绍性质的。讲了Tate's thesis(用adelic language推广了L函数)。实话说我没听太懂。至于global class field theory只是陈述了下结论。

建议：希望以后能多讲点代数内容，比如类域论，可以稍微减少一点分析的含量。不知道的人以为自己选的是解析数论。

7.30更新

目前人在北京大学“代数与数论”研讨班暑期学校。目前的授课内容是Galois表示及其形变(北京大学 肖梁教授授课)。这部分课程让我再次认识到类域论的重要性，以及科大对这块内容的缺失。对比清北的同学，我们的代数数论课程在类域论上的讲解几乎为0。这导致我听课极其困难。

如果可能，我希望在2024秋季学期组织一个类域论讨论班，学习local，global CFT，以及group cohomology等。有兴趣的请联系我(QQ:3296454083)。

从整体上来说，可以说比历年的代数数论课多了一部分具体的例子和应用，但大纲上基本保持不变。

从安排顺序上来说有点折磨，第一部分讲一些代数整数的基本性质，这块是标准的内容，老师讲的也比较清晰；值得一提的是关于二次域多讲了一点，除了田一超讲义上的二次型，关于实二次域还讨论了如何用连分数快速算出类数。

但是第二部分，在赋值都没有讲的情况下直接进入了类域论，希尔伯特类域等內容，然后以费马大定理和x^2+ny^2=p作为例子帮助掌握。说实话，虽然说在最初简单的介绍了一下赋值和类域论的基本结果，但其中的运用初看还是相当使人困惑，我个人觉得学习上有一定困难。这种困难在我自己明白这些最初寥寥带过的东西，再次看老师的讲义后迎刃而解，所以我认为可以适当的调换一下顺序，如果能让大家稍微熟悉一下这些理论，而不是单纯一节课不到就带过，可能学习起来会更加容易。

第三部分简直是灾难性的，关于zeta函数和L函数的初步内容，一些调和分析和复分析的细节本来处理起来就很麻烦，最令我感到难受的是老师上课中的笔误。上课的许多公式经常出现漏个符号，少个i之类的问题，我上下来只知道这些地方应该是用Possion求和公式和傅里叶变换就能变过去的，但对具体的细节几乎一无所知，也感到验证起来力不从心（写在黑板上的式子有的时候因为笔误甚至差一些e^in^2x这种因子，完全傅里叶变不出来啊）；讲义中把细节较为详细的写了出来，但还是有一些笔误问题，这部分可能只能自己课后去慢慢花时间啃。不过这部分有个很精彩的地方，老师用比较具体的方法直接证明了二次数域的类数公式，和后续tate thesis的处理方法完全不一样，这种低维的特殊处理在我看来相当具有启发性。

第四部分就是idele和adele，tate thesis这些东西，讲的很快，使用的也不是tate的原始证明，利用了一些调和分析中关于分布的结论，这部分我听的不是很明白，老师的讲义感觉也不是特别清楚，读起来有点迷惑。tate的原始证明反而读起来轻快一点，使用的分析工具更少一点，我更建议阅读这个，cassel的书就是极好的材料。

最后第五部分是类域论，第二部分带过的內容直到第五部分才在最后稍微讲了一下，然后一节课大量的时间讲的居然是lubin-tate形式群。说实话我以为他会讲artin映射或者Frobenius那些东西，可能是他认为自己第二部分已经讲明白了？这个形式群律很难说他讲清楚了背后的动机，上完了我还是觉得里面的很多想法是不自然的，为什么是幂级数？要求幂级数基本上形如X^p+aX的意义是什么？这些东西我没有在它最后速通的类域论中明白。而且这套东西作为授课內容真的挺无聊的，里面关于幂级数的细节全部略去的话几个主要结果都是很容易的，让人感觉是不是有什么东西藏在前面的细节里面，但这些反解幂级数的细节确实是很平凡的，老师也跳过了这些内容，最后给人的感觉就是不知道怎么回事，听老师说好像处理了一堆很平凡的幂级数操作，然后就出了极非凡的结果。

没有期中考试，作业很少也不困难，期末考试基本没啥难度，给分应该是相当不错的。但整体授课难度偏大，证明即使在讲义中也很难称得上完全。我个人的建议是，如果你会类域论（读过证明，熟悉几个主要的结论），那选这个课会给你带来不少收获，主要集中在如何把理论下降到具体方程的求解上，可以配合参考加藤和也的数论一。如果你不会类域论，那想要理解这门课的结果需要相当的努力，不好说收获会不会更大，我觉得大部分时候可能更是一头雾水。

我蛮推荐Neukirch的代数数论的，基本上你把这本书读明白（习题没必要做，除非你愿意自我挑战），就基本有了明白这个课所有细节内容的基础。当然很多人说类域论一部分处理的不现代，应该用Br群和群上同调的语言，确实是这样，但认为类域论是一种公理的想法我觉得也是相当有趣的，而且少一点群上同调某种意义上也更好入门吧，对于一个本质上只涉及到了H^-1，0，1，2的问题真的非要群上同调吗？这可能还是看个人的品味了。

科大的考试不外乎以下几种

• 闭卷考试，指考生只带一支笔参加考试
• 半开卷考试，指考生可以带一张手写的纸质资料参加考试
• 全开卷考试，指考生任意携带纸质资料考试

然而本节课的老师开创了一种全新的方式，我愿称之为全全开卷考试，考生虽然不能带任何资料，但是不会做的题可以  提  问

《这道题做了的同学可以对一下结果对不对》

然后是关于课程内容部分，我是个连交换代数都没学过就来硬着头皮选的憨憨，现在来看尽管这学期花了接近一半的时间学这东西，也连点皮毛都没学到。

先是一堆关于代数整数环的基本性质的讨论，这部分和本科代数课的风格差不多，包括一些有限性定理，用格点理论证明 minkovski 上界，dirichlet 单位定理，这部分我还勉勉强强跟得上，但是讲义上有很多gap，我又自己翻了一些其他教材的证明（推荐一本适合我这样的菜鸡的印度人写的教材 a text book of algebraic number theory，Khanduja）

然后突然开始类域论，这部分我就全程蒙古，只能靠那本半科普性质的教材 fermat 的梦想续命，这一部分的内容包含 fermat 书上第二章，第五章，第八章的内容，可能我的收获局限于去那个光怪陆离的Qp世界里看了一眼吧

类域论结束后开始讲L函数，这个我就有能明白一点了，毕竟我至少还能作点微积分的苦功夫，这部分把之前见过的zeta函数做了很大的拓展，最奇妙的结果是虚二次域的类数公式，这几个东西之间的关系我只能说玄之又玄。

后面似乎是一些介绍性的内容，我就又彻底蒙古，然后意识到这部分内容对于我而言还是太升级了，于是后面的课就没怎么上过了。

复习的时候我也是主要关注在前面盘Ok的那一部分，后面考场上老师说类数公式才是代数数论最常用的定理，我才意识到我这门课学的完全是丢了西瓜捡芝麻，不过考试的内容主体都是Ok上的一些非常简单的性质验证，放了洪水，考试前老师也一再提醒不要有压力，考试嘛就该这样（bushi）

代数数论，优雅而美好！（占坑，有空后接着写）

何伟老师第一次带这门课程，于是就直接发射卫星了。

开头先介绍了一些数环的算术，当然也提到了order，中间也介绍了一些Class Field Theory，而且还提了一嘴局部理论，中间还有L函数，当然最后还有疯狂的Tate Thesis（何伟最爱的内容）。由于时间限制和我的建议选取了目前这些内容，何伟本来还想讲点复乘但肯定没时间（讲了我也不会）

上课的节奏整体上把握还不是很好，但是效果还是不错的，对于第一次上这门课的老师来说这已经是一个极为大胆的尝试了，也许让欧阳毅老师带能够课程逻辑和结构更加齐整但可能没有何伟老师这种混乱的美感。

课上几乎没人来（25人选的课只有个位数来，来的不少人也没听），甚至变成我和老师的聊天课。当然最后Tate Thesis讲到最后几节课我也挂机了。

期末改得真的很水。开考不到几十秒先在黑板上写一个Hint。忘记类数公式，现场提问，老师直接把公式写在黑板上（你确定这是闭卷？），最后一题还叙述了大致思路。给分上的话，可惜没选这门课，不然血赚。

不过在这门课上也认识了一个研究生学姐，还是不错的

最后给点参考书目和建议。有的书写得跟屎一样不便于学习（不是对前辈不敬，而是那些书更像给人查的，不适合教授）。数环的算术strongly recommend J.S.Milne的Algebraic Number Theory. CFT和order我本人也不是很懂也没有找到比较好的书。一些其他的比如Primes of form x^2+ny^2的好书我没有看过，但课程群里也会发出。

这门课一定要算一些例子，不然的话学完这门课如果你连Q[\sqrt{-14}]的类数都无法计算那真的是笑柄了。但有些东西可计算性没有那么强，比如说CFT里的Hilbert 类域，其实不好想象，这个时候就更需要一些计算的handwork帮你建立直觉，发挥作用了。

代数数论也许可以开成两学期的课，给这门课多一点时间是一件好事。作为一门研究生课程，没有其应有的厚度是不适当的。在此呼吁数院重视这门课的教学。

平时分40，考试可以问

神！