今年的研随应随笔记整合版：

http://home.ustc.edu.cn/~fa1247/Stochastic%20Process.pdf

期末卷子有点难，考试时间延长了20分钟，但因为我有点事情着急走还是在6:10交了，反正不会写的再想也确实不会写，Feller半群验证左连续那个一点思路都没有，第一道大题没算明白胡写一通，大概率都没什么分数。

相比于本科必修的那个应随，这门课体验相当好，至少东西都讲明白了，非常推荐概统方向的同学在大二大三学一下高钙和这门课。扣一分扣在后半学期杨老师讲课确实有点催眠+混乱，但也不算特别大的问题。总之非常推荐。

利益相关：计科大冤种，通过自由选修主修的方式“辅修”了这门课。

该点的前置没有点，没学过实分析高概泛函，平常通过gpt帮我恶补前置。我每节课都有努力听+记笔记，但大概可能因为缺太多前置考得非常不行…大概要喜提2.0了

建议是如果以后还有非数非统的同学脑子和我一样热到可以煮开水的话，还是先把实分析给补一下，最起码把durrett的前两章看了。

（ps：其实我不太后悔选这门课，有趣是挺有趣，只是我没底子所以没考好，上课期间看了很多证明还是感觉良好的

期末成绩出来了，100+（助教只告知截尾后的成绩是100）。这张期末卷子客观地说确实难度不小，在这门课的基础上需要不少的分析或者概率功底，不过个人认为yss老师这张期末卷子出的还是挺有水平，尤其是第六题证明具有fellar转移半群的马氏过程as是左连续的，考场上做到这道题的时候确实是眼前一亮。

平心而论，后半学期杨赛赛老师的授课确实没有前半学期张土生老师的授课成熟，尤其是将GTM274，113混合起来讲，有时很让人摸不着头脑。

省流：课程有难度，能学到不少东西，但没有前置会花很多时间，选课前要谨慎考虑。

本人于大二下修读了这门课程，在此之前仅修过刘党政老师的概率论，没有修读过高概、应随、泛函等相关前置课程，可以说基础十分薄弱了（笑）。但由于在概率论课上刘党政老师有建议过可以紧接着在大二下修读这门课，再加上看到前几年这门课的评课社区里一致地说很水，于是就心一横选了课。现在看来评课社区是有幸存者偏差在的，可能只有觉得水的大佬们才会去评课。。。至少在我看来这门课无论是内容还是考试都没有之前的评课社里说的这么简单。

关于课程/老师

上半学期由张土生老师来上，在课程最开始花了一两节课回顾了下一些期望和（关于σ-field的）条件期望的知识，之后重点讲了离散鞅和离散时间马氏链的内容，最后在半期考前用一节课的时间把泊松过程过了一遍。

对我来说学期最开始是比较痛苦的，因为没有修过高概，对条件期望这套语言及其性质都不是很熟悉，经常要花比较多时间弄明白书上的记号以及一些很trivial的结论。在熟悉之后会变得轻松一些，但鞅的各种收敛定理依然需要花心思去好好理解，有一些技巧（比如取停时）还需要一定练习。等到了离散时间马氏链就简单不少了，很多结论还是很符合直觉的，需要做的几乎就是把直觉表达出来然后运用Markov Property。泊松过程没讲太多，自然也不会很难。

张土生老师讲课慢条斯理，每个定理、例子都能讲的很清楚，有时还会留时间来给我们思考一些问题，非常适合我这种小白，听得十分舒服。（中间有一节代课老师来上，发现自己已经不能适应这么快节奏的课了，那节课到最后几乎没听懂。。。）

下半学期换成杨赛赛老师来上，讲授布朗运动、连续时间鞅和一般马氏过程。

初见变成连续时间后感觉难度一下子上来了不少，很多时候课上都听得懵懵的。布朗运动的时候还好，但是已经开始感觉有些吃力了；到了连续时间鞅，一下子多了很多关于停时的概念和性质，这下更晕了。但到学期末回头复习的时候就感觉还好，最主要的技巧就是先考虑离散的情况，然后利用连续性和各种收敛定理来推广到连续的情形（比如说取停时\(T_n=\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{k+1}{2^n}I_{\{{\frac{k}{2^n}\le T<\frac{k+1}{2^n}}\}}\)趋近于\(T\)，抑或取待研究集合的可数稠密子集）。了解了这点剩下的东西几乎就和离散时没什么太大不同了。

到了马氏过程我就真搞不懂了。这一章大部分时间都在研究各种算子的性质，但是我没有学过泛函分析，只能简单地把这些算子理解成函数到函数的一种变换。看着一个个用算子写成的漂亮的结论，我唯一能做的就是把定义带入算积分，然后发现“哇，真的是这样欸”。现在我看这些算子，感觉就像是把一个长方形的周长和面积乘在一起——会算，但完全看不出意义何在（好在题目基本也只需要会算就好了）。很可惜直到课程最后我也没能搞懂这些算子到底是在干嘛，希望在我学完泛函之后能有一些新的理解吧。剩下的主要内容就是连续时间的Markov Property，和离散时间时并无二致，还是很直观的。

说实话在听说下学期换成杨赛赛老师的时候我还有点害怕，但听了几节课下来发现其实没有他的另一门课程的评价那么不堪，讲的还是蛮不错的。似乎杨赛赛老师看了那门课程的评课，现在讲课时非常注意motivation，能够感觉到他几乎是刻意（非贬义）地在每个定理前后或是证明过程中补充上这么做的动机。当然客观来说讲的确实没有张土生老师那么合我口味，有一点：杨赛赛老师在写定理时不喜欢说话，有时候讲到一些大定理的时候会沉默快五分钟，我这时候就很容易走神（当然这是我的问题）。希望杨赛赛老师继续加油吧。

关于作业/习题课

一个学期一共有十次作业，布置的就是教材（durrett和le gall）的课后习题。个人认为作业颇有难度，自己想的话需要花不少时间，实在不会了网上也能找到答案，还算可以。但感觉似乎助教和老师没有商量好进度，经常会出现这节课的作业要用到下几节课定理的情况，对我这种不喜欢自己提前看书的人来说体验不是很好。

习题课中规中矩，就是普通的讲解作业题，有时也会出现用的技巧比较跳跃，而助教的讲解又没能让我听懂的情况。感觉可以直接看答案完事。

关于考试

期中考试比较简单，考了三道离散鞅三道离散马氏链，满分100。马氏链的题目非常简单，只要知道Markov Property就会做；鞅的题目则稍有难度。我在期中考试费了九牛二虎之力也还是有一道题没能做出来，再加上杂七杂八扣的过程分最后结果并不很理想。也就是这个时候我意识到这门课的考试根本不是“一眼看过去全部显然，最后提前一小时交卷拿到满分”这么简单的。。。

期末考就比较难了，考了四道布朗运动&鞅以及三道马氏过程，满分110，超过100的似乎都按100算。值得注意的是有三四十分的作业原题/改编（个人感觉属于作业里比较难的），做好作业还是很重要的。除此之外，还有一些题目需要一些分析和概率论功底，个人认为确实不简单，只能把每道题尽可能多写点东西。但最后的结果居然不太差，有些出乎我意料。

关于给分

应该是作业20%+期中40%+期末40%，我是一分没调没被捞，给分还是放一般吧。

总结

这个学期个人花的时间最多的课程终于彻底结束了。回过头来，学期初脑子一热选的课，带来的收获还是不小的，虽然有时很累，有时想彻底摆烂，还有几次动了退课的心思，好在最后都坚持了下来，学到了不少东西，最后的结果也比较满意。总的来说还算是一次不错的体验。如果大家看完觉得能接受这些困难，还是很推荐大家报这门课的。

不是哥们，这期末卷子有点太抽象了吧 按开学说的244给分合计着哥们要期中ak然后喜提3.7是吧

出分更新：预计总评93.3，捞一下就给五星好评好吧🥺

好好好调分了，五星好评一次付清

感觉有些同学对yss意见很大啊。他的高钙我也没上过，不知道为啥是这个风评。感觉他后半学期上随机过程就挺正常的一位老师，上课中规中矩，有时候下课还留在教室里和同学讨论。就是期末试卷出的比较出人意料，往年的题基本上都是作业原题，看一眼就基本上能知道答案了，今年的题就和作业题重合比较少。不过改卷大概也相应地比较松，满分是110，高于100分以100分计算，我大概有两题没完整做出来，还是给了100分，我自己来批肯定给不到这个分。

这里放上今年上课的内容，我是每节课都到课了。随机过程

计算数学大三人，感觉学随机过程路子更广一点所以选了，站在纯拿学分知识无所谓的角度评个课。

关于上课，神秘链接中这门课第一周之后就没有录课了，应该是老师关闭了录制许可？这对于上不了一点课的人真的是毁灭性打击。虽然zts老师讲的相当好，但是由于lll已经是一年前的事情，很多概率的知识都不记得了，最开始跟的比较困难，一走神就落下了，非常难受，一难受就不想去听课，一不听课没得录课补落的更多再听就更难受，更不用说作业很难（复习完了感觉就还行了，第一遍死难），10次作业只有第一次不是照抄，后面几次抄的更是答案都看不懂了。

这个时候，救我于水土之中的是伟大的sty学长收集的22年春录课（孙天阳的个人主页 (tysunseven.github.io)）以及pksq之前一位英雄学长的latex笔记，非常感谢他们，我会永远铭记在心。这门课期中之后换成yss我好像只去了前两次和最后一次课，反正也都没听，纯靠听录课和看笔记学的，期中之后的内容就集中看录课看了三四天，最后也97了，事实证明如果不为了学而只是完成任务的话这么整是够的，可以不用花太多时间。

关于考试，建议混子人和我一样考前把结论及其推导顺序记一下，基础定理的证明不考，例子着重看一下，算期望概率什么的那种（反正抽象的东西我没学高钙看不懂一点，能做实际问题就行），最后把作业题型一背就ok，这么整复习个两天怎么都够了。

（确实感觉yss出的期末卷子挺有质量，别有一番风味，但是多出点原题不更香吗）

纯个人看法，杨赛赛老师讲得更好一些，因为感觉他真的想引入一些东西，补充一些动机。相比之下，土老师课慢条斯理，稳扎稳打，很适合养生（无任何贬义）。闻土老师之课，得养生焉。

期中考试整体较平凡，而期末个人认为难度明显提了一档。此外我认为与之前学长评课提到的高等概率论几乎全是作业原题不同，这次考试我觉得只有第四题能算是作业原题，其他题更像是上课讲过的技巧的变形，起码都要写一会儿，没有直接就送分的题。

给分应该是基本不调，这种情况下就很取决于助教，比如今年助教改卷极其宽松，自然是重大利好；明年如果助教不同，今年情况也无法复刻。

课堂

本学期这门课由两位老师来上，前半学期由张土生老师上，主要内容是离散时间鞅，离散时间马氏链和泊松过程；后半学期由杨赛赛老师上，主要内容是布朗运动，连续时间鞅和连续时间马氏链。

张土生老师的讲课风格是比较细致，在讲新的概念的时候会结合一些具体的例子，张土生老师在把控进度与节奏方面是很稳健的，不过个人认为有点偏慢。杨赛赛老师的讲课风格是比较奇特，好的方面是其在讲比较重要的方法，定理，概念之前会介绍动机（虽然由于我的能力有限，不一定听得懂），以及其讲课几乎脱稿（虽然事后发现讲的内容基本与教材一致，但是在听课的时候能在磕磕绊绊的讲解中感受到老师对教材内容的加工，在尝试融入一些自己的东西）；坏的方面是其板书容易在细节处出错，比如对停时离散化的时候，不等号哪边取等哪边不取等是反的，其一直都是写反的（这点还是期末当天上午看教材的时候发现的），证明中如果涉及相对复杂的计算，其有时候会算错（不过这个容易发现及纠正）。

由于自己在听课的时候对课程内容没有任何预习，上课的时候经常水群，因此感觉杨赛赛老师的讲课很催眠，讲得比较差，听不懂在讲什么。但到期末复习的时候回看课堂笔记，才逐渐理清后半学期的知识脉络，至少杨赛赛老师所讲的内容是严丝合缝的，如果在听课的时候能跟上，或许会感觉到课堂的清爽。

作业

前半学期的作业来自Durrett，题目还是很有代表性的，目前来看感觉最实用的是关于逃逸分布，逃逸时间的作业题？因为这个补足了应用随机过程里面相关内容的证明(。

后半学期的作业来自Le Gall，这本书里的习题难度都不小，但一题比一题精彩，当中有很多有意思的习题和结论，如：布朗运动的零点，布朗桥，重对数律，感觉非常神奇的指数鞅，具有fellar转移半群的马氏过程as是左连续等等，布置出来当成作业的习题只是冰山一角，强烈建议对随机过程感兴趣的同学看看没有布置成作业的习题。

考试

期中考得比较简单，但是本人不会做平方可积鞅那道题，感觉是基础不够扎实。另外还有一些奇怪的地方被扣了些许分数，本人没去查卷也不知道具体扣在哪里。

期末难度明显是比期中大的，一是增加了10分总分的调分空间，二是延长了20min，三是途中给出了RN导数的定义（虽然感觉是如提示）。期末题目不管是跟期中比，还是跟往年期末比都出彩许多：

第一题的RN导数其实换成密度函数之后就是一个密度换元，其中的化简计算是直接的，跟布朗桥联合密度函数的计算极其相似（这是教材未布置成作业的习题），不过本人知识面狭窄，不太了解这题涉及的背景。

第二题对布朗运动性质的考察用一列跟时间有关的随机变量收敛来呈现，具有比较浓的概率论中分析逐点收敛的味道；

第三题改编自作业题，考察指数鞅，不过这里的T不是几乎处处有限的，这点很有意思。第二问求T的期望其实是第三问求另一个东西的期望的一个中间推论，其中对某个参数取值范围的讨论（尤其是边界值）是比较微妙的。

第六题证明具有fellar转移半群的马氏过程a.s.是左连续，第二问证明几乎处处相等可以照搬课上某个定理的证明，反而是第一问不一定好想，可能需要先证明一个小小的结论，当然这个结论从马氏性角度解释是自然的。

本人期末疑似漏做一道大题的一个小问（由于题目没有明确标出，而是放在了题目中间，再加上自己读题不细心，导致以为那是条件，所以没证），然后第六题第二问在做函数逼近的时候好像用的是一致逼近而不是L1逼近（感觉是考试时做昏过去了）。期末100+的在告知分数时会截断，本人也没去查卷，因此也不知道除了这些还有哪里出错。

给分

开学初定下来的比例是平时:期中:期末=2:4:4，但据说期末会微调。而且有同学查卷的时候跟杨赛赛老师交流，说其自己计算的（卡绩）总评，老师听后表示会捞他一手。下周出分，那就期待一手吧！

只有附加题第二问不会做为什么连90都没有呢？

狠狠battle

或许该换方向了，shabi概统

和高中考试一样都会做考出来却是一坨屎的感觉太令人难受了。这是最恶心的感觉，否认我的实力，宁可什么也不会也不要给予我随机的分数

第一题验证分布

第二题作业题改编

第三题作业题改编

第四题作业题节选

第五题是那份答案上的一道没写的题

第六题不知道哪的

第七题书上一个定理默写，今年没讲去年讲了

我就问我都知道出处为什么还只有这么屁大点分数？？？

再学概统我就是狗

难绷，昨晚做梦查了一晚上的卷

对我来说这门课挺难的…虽然考的不算烂，但是后期作业基本就是盲抄答案，，

还是比较喜欢张老师讲课，至少有一种能听懂的感觉。出的卷子也稳稳的，让人很安心

个人主观观点，杨老师讲课不算很差，但也不太好。我一听杨老师的课大脑就不转了完全陷入一个抄笔记的状态，而且老师有时候会写错板书什么的，让我本就混乱的大脑雪上加霜，复习的时候感觉自己看笔记比听课清楚一点…

给分应该是微调，加的不多但是给我调上了一个档，我心满意足，非常感谢。但是据说会给人卡绩。

而且这个出分也太慢了吧……期末成绩出了半个多月之后才出的总评