本来不打算评课了，但是想到自己三位数总评的课也没几门，还是来好好评价一下这门课，否则这个分数感觉自己拿了还是十分羞愧orz

先上结论，总的来说就可以一句话概括

学概统的都来选这门课啊！

别的不说，胡老师的讲课水平真的非常高超，即使上课也能让人感觉到在放松一样，更别提还能收获到很多知识以及给分应该也比较好，还能有什么额外的要求呢？

首先评价一下上课内容吧，仅仅谈论这门课本身的上课内容其实是不太准确的，因为管院研究生可能是必修高钙和极限理论，所以胡老师会在教学内容的安排上有比较大的自由性，就比如我们这一年三级数定理、大数律等都是在高钙里上到的，所以极限理论也就没有涉及这部分内容；相反的因为高钙讲了上面那些内容，所以最后没有来得及上条件期望，这部分内容就留到了极限理论里面上。

所以在这里，我就大致把高钙和极限理论这一整年的上课内容列出来，这才是完整的胡老师的上课内容：

概率空间的基本性质

集合类的基本性质

随机变量的分布函数

概率不等式

随机变量的收敛的基本性质

强、弱大数律以及三级数定理

重对数律

中心极限定理

Berry-Essen不等式、Edgeworth展开等经典正态收敛内容

稳定分布、无穷可分分布（以上两个均简单介绍）

条件期望

鞅的基本性质

度量空间上的收敛以及Donsker定理

强逼近定理

stein方法

（可能记得不全，欢迎补充）

所以为了课程衔接的完整性，还是建议大家先修读胡老师的高钙再选这门课。如果选数院的高钙就可能很多地方听漏了，又有些地方会重复听。

除此之外，个人感觉胡老师的高钙老师就会穿插很多基本的且有用的想法在上课之中，比如对称化、截尾技巧等等，这些对于培养基本概率素养和能力还是很有益处的。胡老师本人水平也很高，每次上课进度都是慢慢悠悠地，经常写段板书就“战术喝水”，三节连堂经常前两节不下课也不让人感觉到时间长（除非胡老师水喝完了，然后就会立刻下课2333可能水杯才是本体）

说回这门课本身，胡老师上课虽然有几本基本的参考书，但他每次都能给出自己的见解和想法，让你一下子就能抓住这个东西的核心想法和思路，而自己可能因为定理过长就读不下去或者会花费很多时间在一些小细节上而把握不住主体思路，我觉得这是十分难能可贵的，也更能凸显出老师技术高超。

当然，虽然老师说这学期极限理论内容很多，基本比之前几学期讲的都要多，但我个人感觉像中心极限定理基本跟本科概率论差不太多，额外介绍的比如edgeworth展开以及无穷可分分布基本也就稍微提了一下（那几节课感觉就是不断地在抄定理而不证明hhh），再加上鞅的大部分内容随机过程都会提到，所以上课并不会有太大的压力（当然胡老师上的还是会有区分于随机过程的相关部分，毕竟感觉随机过程上课有点赶基本全程都在抄书，所以胡老师自己补充的一些见解还是很值得一听的）。

至于度量空间上的收敛这一块，基本就是以证明Donsker定理为目标和高潮的。我个人感觉倒是可以再深入讲一点经验过程的东西，毕竟这种经典的Donsker定理和以函数为index的随机过程的Donsker定理也差不多，而且有了经验过程这个工具再去证明很多统计结论的极限性质比如M估计、Z估计等会方便很多（就是讲这些东西可能时间不太够，但是科大的高等数理统计现在也不怎么提这部分，感兴趣的同学还是得自己看书吧）

关于stein方法老师可能也只是给出一个介绍性的描述吧，很多地方老师都是给出了一个泛泛的构造就戛然而止了，也不说明具体能做什么，就感觉还是少了点什么。好在老师都会标出参考文献，感兴趣的也可以自己去查阅。老师一直说的stein方法比特征函数的优势就在于特征函数很难处理不独立的情形，而stein方法可以处理，结果老师举得例子基本全是独立了的情形2333大概真的要用stein方法还是挺麻烦的，时间原因就没有讲，但就没有让人感受到它具体的强大之处（同时因为这部分证明都比较长，所以考试基本考不了，大家复习可以放心跳过一些东西）

最后说一下胡老师的个人习惯，老师从高钙开始就会把如下这些话挂在嘴上

“你们不要指望我出题会很水，你们不花很多时间在这门课上肯定会很难及格的”

“你们不及格反正不要找我要分”

“本科生建议来旁听，不一定非要选课，不然挂了我也捞不了你”

“反正你们挂了过不好年我也不会过不好年”

等等诸如此类的话，大概会从学期开始第一节课就开始劝退到最后一节课“现在退课还来得及”

大家反正不要慌就是了，老师也就是习惯性吓唬吓唬，目的还是为了大家能重视这门课，比如高钙就出了75分的作业原题，老师上课还专门把习题都讲过一遍（诶这些话是不是该放在高钙的评课里orz)这学期极限理论老师最后一题还担心大家做不出来特意把题目改了，虽然改完之后题目条件自相矛盾了（滑稽），但是我跟老师指出之后老师说他会仔细考虑怎么给分，不会让大家的分数有所损失的。最后从给分上看好像也确实没有什么损失，说不定是看到写了一点的都给了分吧hhh

收尾呼应一下吧，再把结论上一遍：

学概统的都来选这门课啊！

再扔一个个人认为非常有用的链接：概率论和机器学习中的不等式 - 知乎 (zhihu.com)

听闻治水今年第一周课就讲到二阶矩方法（Paley-Zygmund inequality）和Hoeffding inequality，必须给个赞👍

n个月后再来回评一波：

回想起来hzs老师上课是真上得好，不仅体现出很强的概率直观，而且对证明的技术细节也掌握得非常娴熟，以及他会把技术里面的idea讲得非常清晰，还会比较各类方法的好坏、适用范围及局限性。从数学壬的品味看，听说治水老师是管院教课最好的老师，没有之一，看来实属不假。
durrett ch2-4去掉带*部分后的大部分内容是老师授课和考试的重点，对于从事概率或统计方向研究的同学这部分内容一定要非常熟练，尤其是大数律和中心极限定理这部分，甚至能够抛开各种技术细节直观地去解释这些结论，熟练到近乎条件反射的程度。（不要像本人一样还要重修第二遍）另外durrett这本书习题也可以刷刷，深入了解极限理论这部分除了看林正炎、苏中根等老师的教材外还可以参考 prob ineq.pdf， Limit theorems of probability theory sequences of Independent Random Variables.pdf，不过个人之见大部分内容当作字典工具用即可，没有必要去全面细读其中的证明。

另外再讲讲里面一些有意思的东西：

1.大数定律和中心极限定理：首先我们必须声明，弱大数律并不是真正弱爆了，实际上条件比一阶矩存在弱，同时我们还可以推广到独立不同分布的情形。一阶矩的弱大数律实际上我们不需要用Borel-Cantelli引理或者特征函数这种过强的工具，只用最基本的截尾术即可得到。
强大数律的证明方法众多（可参考概率论中“强大数定律的四种证法” 【转】 (qq.com)），这门课讲的证明有两个，一个是由Etemadi于1981年才给出的，借助各种矩不等式还有强大的Borel-Cantelli引理等工具，结合截尾术和子序列方法等技巧来得到结果。用到的知识仅仅是简单的数学分析和basic的概率论，而且证明过程非常短，但是涉及到的内容非常深刻，结合了各种工具和技巧才加以完成。另一个是利用三级数定理结合Kronecker引理简单的数学分析知识得到（使用动机见后）。

关于中心极限定理，其刻画了在二阶矩存在的条件下随机变量和减去大数律项再做合适scaling后会依分布收敛到标准正态分布（波动程度fluctuation项），时间：波动程度的exponent比值是2：1，包括独立同分布和独立不同分布的情形。对独立不同分布的Linderberg条件，durrett3.4节中给出了特征函数逐点收敛结合其紧性的方法以及矩方法两种办法给出，另外胡老师还给出了linderberg替换证明方法（暴力美学）。从证明过程看也是符合概率直观。
同时值得一提的是，一些（强调是一些！）概率问题求解关键往往归结于二阶矩的情形。比如中心极限定理我们做到二阶矩就够了。再比如我们引入了停时这一工具和鞅的idea，得到Kolmogorov不等式，从而得到一级数定理，再借助简单的数学分析工具即可得到Marcinkiewicz强大数律。这也说明了二阶矩存在下对任意δ>0，S_n/n^{1/2+δ}都是几乎处处收敛到0（假设期望为0）。再比如Ito公式的推导也是保留到二阶矩项（二阶导对应二阶矩），以及BKG inequality等等。

2. Berry-essen不等式刻画了中心极限定理的收敛速度。假设均值为0的随机变量3阶矩存在，记标准正态分布函数为F(x), 则

sup_{x∈R}|P(S_n/n^{1/2} ≤ x) - F(x)|≤C/n^{1/2}.

如果我们利用Linderberg替换，直观上看是n^{-1/2}这个阶，但是这个替换精度太粗糙，因此我们必须寻找更加精细的工具加以解决。

一种办法是通过特征函数，利用Polya’s distribution的结论，把原来比较的两个分布函数对其做卷积（含参数L)，利用Polya’s distribution中超过L两侧特征函数为0这一性质来简化估计（紧支撑在[-L,L]中），同时卷积后的两分布函数差的最大值能被卷积前的两分布函数差的最大值控制，由此得到目标结论。具体证明可参考durrett3.4节内容。

另一种办法是通过stein方法，可以看成一种高级的Linderberg替换，但是要求的条件更高，然而正态分布正好match这个条件。具体过程可参考 Fundamentals of Stein’s method.pdf，不再赘述。

3.Donsker不变原理及Skorohod嵌入定理。Random walk 与Brownian motion是现代概率论中两个基本且重要的模型。一方面，我们可以通过Donsker不变原理从Random walk 过渡到 Brownian motion：二阶矩下随机变量和（项数与演化时间有关）做scaling后整个过程弱收敛到标准brownian morion（包括一些相应的变种，比如drifted b.m.等）。另一方面，我们还可以通过Skorohod嵌入定理甚至更强的KMT coupling利用Brownian motion去逼近Random walk，这可以看作一种“Coupling Brownian motion”：比如Lawler 那本random walk专著详细讲了Skorohod嵌入定理能做到|S_n-b_n| = O(n^{¼}) on high.prob，而KMT coupling借助LCLT等技术能更精细地改进到O(log n)。这两个定理的内容本身理解及其应用比证明更加重要，值得思考。

这学期授课的主要内容大致如下：

1. 强大数律及a.s 收敛：B-C引理+子序列\截尾方法证明a.s收敛、强大数律的证明、0-1律、概率不等式（Kolmogrov不等式+Levy不等式+Hoeffding不等式，etc.）、Kolmogrov三级数定理（结合Kronecker引理）及其相关推论；
2. 中心极限定理及特征函数与依分布收敛：Slutsky定理（特别留意下Δ方法）、Parseval等式及其相关应用（反转公式、通过取均匀分布得到一个分布函数的不等式然后再利用Helly定理得到Levy连续性定理）、特征函数和矩、Lindeberg中心极限定理、缓变化函数与正态吸引场、Poisson收敛与全变差距离、稳定分布与无穷可分分布、Berry-Esseen不等式的证明（在CLT基础上研究正态收敛速度）；
3. 度量空间上的弱收敛+强逼近定理​：基本性质及随机元序列的收敛性、连续映射定理、收敛确定类、胎紧性与Prohorov定理，Donsker定理及其应用、D[0,1]空间及Skorohod拓扑，强逼近定理；
4. 离散鞅：鞅和停时的基本性质、鞅收敛定理、倒向鞅、可交换序列及Hewitt-Savage 0-1律、（有界）停时定理、鞅的中心极限定理；
5. Brown运动的基本性质及其鞅的停时定理。

胡老师上课质量很高，虽然课程难度不小，但听起来却感觉非常享受。他上课讲了概率中不少技巧味的东西，运用起来如鱼得水。他会把各种方法和想法总结得很到位，板书给人一种短小精悍的感觉。详略上也做得很不错，上课会略去一些繁杂无味的证明，更重视这些性质结论的应用上。

这门课内容非常之多，以及如果要把每块内容都搞清楚需要在课外额外花大量时间才行。

考试内容主要就是强弱大数律和随机变量的各种收敛及其应用、中心极限定理、Donsker定理及其应用以及鞅的定义和基本性质。一些很复杂的结论在考试上不做要求，考试内容远少于上课内容。

考试大部分都是证明各种a.s/P/d收敛和探究随机变量的极限性质，不少题目还是相当有难度的，需要对寄巧运用得非常熟练。整场试考下来被治水彻底治水了，我早已做好了放弃成寄的准备。

2023春更新：因为一些神秘原因这学期重修了这门课，感觉讲得内容去年还少，度量空间上的弱收敛没怎么多讲，不过补充了一些随机变量收敛性和弱大数律这部分吧。

今年期末考试形式唐突改成开卷，画风跟往年差不多，仍然有难度，必须对老师讲过的内容理解足够深刻+熟练才能拿高分。总评22春应该是三七开一点没调，今年或许略调了一些吧（不过本壬两次点名/签到都没去平时直接寄。。。

值得一提的是hzs出卷确实质量非常高（迫真吊打Yau赛题，，，今年有一道三十分的题目值得一提：X，X1,……,Xn对称独立同分布，P（|X|>x)=x^{-α}，α>0，x>1。第一问讨论E|x|^r(r>0)比较送分，后面三问讨论独立和Sn各种a.s/P/d收敛的收敛速度：取合适的an,bn,cn，使得Sn/an a.s收敛到0，Sn/bn d收敛到N(0,1)，α>2时Sn/cn a.s不收敛到0但P收敛到0。我感觉就算开卷也很难在考试这点时间完全把所有情形讨论清楚，不过这题确实出得很妙，感觉是狠狠地升华了这门课程及授课老师的名字。

简要列一下主要课程内容
一、特征函数与中心极限定理、泊松收敛、稳定分布、无穷可分分布
二、条件期望、条件独立、鞅与停时定理
三、度量空间上的弱收敛、Donsker定理
四、Stein方法

内容似乎看起来不多，但每个部分都补充了不少内容，其中有很多细致的内容和拓展的结论，正如章神所说“上课完全不拘泥于课本，而是有自己的一套讲法”。

上课要点名。
最值得一提的是期末考试，题目质量非常之高。这学期开天辟地加入了30分的判断题，同其余的大题一样，都很有深度。不过两个小时的考试时间确实不太够，有的题目没有花太多时间思考就交卷了，当天晚上考完下来和同学讨论后，基本上把所有的题目都搞出来了，让我再次感受到了胡老师深厚的功力，题目质量吊打丘赛有木有
为了报答治水老师对我这个水货的谆谆教(zhi)诲(li)，我已经下定决心，在出分的那一天，献上我宝贵的、第一次放弃成绩的机会。（给分其实不差，不少学长都拿了9开头甚至1开头的成绩。）

2022春的考试听说全部是解答题，考试范围应该没有2021春的广，但还是有一定难度。

胡治水老师的极限理论这门课是毫无争议的好课。 教材是durrett的概率论，但他上课完全不拘泥于课本，而是有自己的一套讲法。作为高等概率论的后续，这课从弱大数律开始讲极限定理的各种case以及各种研究的方法，讲的非常细致与清晰。我有些在大一大二犯下的错误认知，或是比较模糊的认知（哪怕是数学分析里面的）也得以纠正，这是坠吼的。

胡老师的名字真是起的好，这门课真是狠狠地治理了一下本水货。依稀记得三级数定理那节的补充习题，简直无情，各种极其细致但又有用的手法，让人印象深刻。我印象中那次作业我从早上写到晚上还有一个题没做出来。不过这种作业很锻炼人就是了。

胡老师非常负责，作业题都发到我们每个人的邮箱里面了。研究生课，他还亲自讲习题课，我印象中第一次习题课就从下午两点讲到五点(这门课上课时间是2(6,7,8), 4(3,4,5)), 哪怕习题之前都会做了，听听他的习题课也是有收获的。

总之，这门课对于想要进一步学习（以测度论为基础）概率论（或者说所谓的高等概率论），尤其是对极限定理想深入了解的同学，是一门非常有用的课。同时，上了这门课之后 ，各类方法能够记得比较牢，不是那种下了课就会忘的。

有一点遗憾，鉴于这是给17系研究生上的课，某些研究生的数学功底实在是捉急（别说实分析了，就算是数学分析里面容易的定义，也有人会混淆），因此现在不讲Polish空间上的概率论了。

给分很好，期末考试放水了。

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大三参加完丘赛之后，第一反应就是：我对不起胡治水老师的谆谆教诲。。。。。。哎

刚刚出分，拿到了一个十分鸡肋的分数，心中百感交集，只怪自己太菜了。胡老师这学期果然履行了上课的诺言：（大意是）“你们可以在评课社区骂我，但不能在上面说我这门课简单"。本学期没有期中考试，而期末试题出得十分有水（nan）平（du），估计应该没人卷面分上90，最后还是调分了的，不过猜测调分幅度不是很大。

尽管如此，还是吹爆胡老师。上课内容极其丰富，内容的梗概已经有人列举出来了，在此不赘。最赞的是胡老师上课会有自己很多独到而深刻的见解，完全不拘泥于课本。而且总是能把课本中最精华的部分提取出来，换言之，假如你自己看书，将会非常头疼（这是某位学长亲身体会）。

本人这学期这门课是和随机过程一起选的，两门课之间存在着许多神奇的交互作用。

首先是离散时间的鞅论，随机过程中贺老师先讲了，但主要是按照Durrett上讲。而胡老师讲的时候完全就是按照自己的思路，把Durrett上的内容做了一个整合，而且更侧重从极限的角度来讲鞅，而不是随机过程的角度，引入鞅这个工具后，很多收敛定理都会变得容易，印象最深的三个例子就是： 1.用倒向鞅证明强大数律。 2.用U统计量的极限得到很多其他形式极限分布 3.对于一个可积函数构造一个鞅（一列阶梯函数），从而得出实分析中“阶梯函数可以L1逼近可积函数”的结论。

其次是Donsker定理的一系列的结论。随机过程只讲了布朗运动的部分性质，而极限理论讲了"布朗运动是部分和过程的弱极限"即Donsker定理，还给了两种角度的证明方法，有了Donsker定理就可以通过简单对称游走的性质（即通过组合的方法）得到布朗运动的更多性质。这无疑让我对既神秘不堪又简单至极的布朗运动有了更深刻的理解。

最后，欢迎对概率有兴趣的同学来听这门课，绝对的好课，只是建议大二的同学建议慎选（除非你不是很看重GPA或者修过数院的高概）。

最后请允许再深情的喊一句：

huzs，yyds！

附上：听课笔记，（注：鞅论部分由于与随机过程重合，故记得十分简略；度量空间弱收敛部分由于本人较菜，故补充了一些与之相关的泛函和拓扑的基本知识，可忽略。）

扫描全能王 2021-07-17 22.50.pdf

如果说上学期高等概率论的收获是10的话，那我在这门课的收获或许是1000。

个人认为这门课价值最高的地方在于胡治水老师上课时没有写在黑板上，而是口述的话，包含了很多关于证明的思想和方法，认真听下来真的受益匪浅。可惜本人这学期事情繁多，没有在这门课上投入很多精力。之后修读这门课的同学，真心建议在这门课多投入时间。

当然这门课的缺点也是比较显著的，期中后有关度量空间的内容没有布置匹配的作业，就算布置了助教&老师也完全不给出解答，这一点确实让人有些不适。

分还没出，有空再追评一下

 谈谈一学期以来学该门课的感受。

 授课内容：强弱大数律，三级数律，概率不等式，矩方法，特征函数，CLT，Poisson收敛,Stein方法，度量空间上的弱收敛，Donsker定理，鞅论。

 这门课前半段理论内容是非常完备的（作为本科生”概率论“，以及”高等概率论“的延伸课程而言），也许也是我最后一次比较系统的学习这种比较偏向于”测度论“的概率论。

 胡老师总喜欢在讲述一个定理的时候先提及它的一些用法或是推论,这些避免了干巴巴的抄证明。学期中半段讲了两周的Stein方法，感觉这一段时间也是本学期最无聊的一段时间(个人看法)。后半段鞅论几乎照着Durrett讲，比起学期前半段就略显无聊了。

 总体来说这门课还是一门好课，研究生之间的氛围相比本科生就要轻松愉快一些，胡老师本人也很乐于和学生交流。

Update 8/28/2020

 好的新的培养方案里这门课变成四个学分了。

很不错的一门课程。内容说多不多，说少也不太少。

这门课前半学期主要是大数定律和中心极限定理及一些拓展。这部分在学高钙的时候基本上都接触过，但胡老师会补充一些内容，例如正态吸引场，稳定分布，Berry-Esseen不等式的证明等等的内容。无穷可分分布的内容比较麻烦，而且和Levy过程有关，所以只稍微提了一嘴。后半学期内容主要是弱收敛理论，离散鞅论，及布朗运动的Skrorokhod嵌入和强逼近定理（今年没有讲Stein方法）。弱收敛的基本理论都是很标准的内容，利用这套理论及Arzela-Ascoli定理，以及合适的极大值不等式（胡老师上课用的是Levy不等式),可以得到C[0,1]上的弱收敛判据,进而证明著名的Donsker定理。接下来是D[0,1]及Skorokhod拓扑，Skorokhod拓扑的直观意义是很清楚的，但定义起来确实很麻烦，要作很多无聊的点集拓扑验证，胡老师上课对这部分也就一带而过，感兴趣的可以去看Billingsley的书。鞅论部分就比较无聊，因为随机过程学过一遍了，但也并不是没有收获。胡老师讲了一些鞅差序列的极限定理（例如Lindeberg-Feller中心极限定理的推广）。并且鞅的停时定理这一块胡老师讲的真的好·，我学完随机过程对停时定理的证明还有点迷迷糊糊，听了胡老师的课基本上完全理解了。最后的布朗运动部分就没有细讲，简单介绍了结论，原因是关于布朗运动增量估计那一块确实有点太繁琐了。不过，强逼近定理确实非常令人惊叹，可以瞬间把布朗运动的结果全部搬到随机游走上面。而像重对数律这种非常精细的结果，直接去证明反而更加麻烦。

这门课参考书主要是Durrett以及林正炎的概率极限理论，以及胡老师上课提了114514次的Petrov的极限理论书。Durrett上题目比较多，适合做课后练习，后两本则适合补充一些进一步的结论。不过林正炎那本书上有一些错误，可能需要注意一下：3.1节中心极限定理的Stein方法证明证错了；7.4节Skorokhod嵌入证明里面Claim那个停时是自然滤流的停时，这是显然不对的，胡老师上课也说了这一点。需要换一个滤流，并且把B看成关于这个滤流的布朗运动，使用关于这个滤流的强马氏性（尽管后续我们并不在意这个量是不是停时，但证明的过程中是要用到强马氏性的，否则证明就过不去了）；7.2节Csorgo-Revesz定理的证明那一列T定义错了，那样的定义并不能推出独立性也就不能用第二BC引理，正确的证明可以去看程士宏的高等概率论，那上面的证明都是比较严格的。

最后说说考试。胡老师的考试里面，以上百分之七八十的内容是不会出现的，原因胡老师自己也说过，没法出题。所以最终期末考试的内容大多和Durrett上的课后题画风差不多，就是证明一些收敛。然而这并不意味着题就多简单，至少我在两个小时的有限时间里面是没办法把这些题都搞清楚的。但胡老师的给分真的牛爆了，我差不多有一道半的题目没写出来，最后还是拿到了4.3。据胡老师在群里说平时分和期末三七开给分，但这么算我怎么都拿不到4.3。所以...胡老师肯定还是调了分的，真的良心啊。

胡治水，永远滴神。

课程内容方面，讲了Durrett概率论上强弱大数率，中心极限定理，鞅和布朗运动的相关章节，最后还补充了度量空间上的弱收敛的相关内容。总的来说，内容非常的多，胡老师基本上每节课从头讲到尾，都没时间休息一下，心疼胡老师。（复习的时候，我翻Durrett，经常看到一个知识点，心想这个定理胡老师应该没讲过吧，结果一翻笔记，好家伙，还真讲过）

不过最后考试胡老师还是稳的一批，大概考了八十分的作业题+Durrett课后习题，我这种fw也能靠背题蒙混过关哈哈。

胡老师上课会把思想告诉你，这一点比较好。但不好的是来不及记下来，或者说因为临时记笔记不能统筹好逻辑关系并给出系统的注记导致课后回看还是会落下很多，结果就是看不懂当时自己记了些什么。

作业随缘布置，没有固定教材，课听起来松松散散的，有点技巧堆砌的感觉。后面度量空间上的弱收敛有作业但没解答，等于没有。

本人本学期特别忙，没认真学课，摆过了这门课，也不好说什么了。