更一波去年的exercise：

2023exercise.pdf

补充一些遍历论和概率相关的内容，希望能对钙氯壬也有所帮助。

前面讲的保测系统和遍历定理可以结合durrett的ch6一起食用，整章内容是建立在概率语言（Markov chain）框架下的遍历理论，通过Birkhoff遍历定理可以直接得到强大数律以及诸多概率论及随机过程的结论和性质。durrett 6.4节还讲了次可加遍历定理，可以不完全搞懂其中的证明（实际上这个结论也很符合概率直观），但个人认为概率壬必须要清楚这个定理，它是现代概率论中非常重要且常用的结果。目前，现代概率论前沿里正在探索的很多模型，诸如随机置换与最长增长子序列（Increasing sequences in random permutations)、随机矩阵乘积 (Products of random matrices)、最后通过渗流模型（Last passage percolation）等等都和该定理有密切联系，实际上，这些模型大数律项/limit shape的存在性只是次可加遍历定理的简单推论。

更详细的内容可以参考Martin Hairer的讲义Ergodic Properties of Markov Processes Ergodic Properties of Markov Processes.pdf

课程具体内容其他评课都写得很详细了。

教材用的是老师的自编讲义1_ErgodicTheory.pdf，前半学期主要讲了遍历定理，也顺带讲了连分数的栗子。后半学期主要讲了拓扑动力系统。整个学期差不多讲完了教材的前一半。上课模式和讲义都比较standard，总体来说条理非常清晰，讲义上的个别小gap老师也会解释清楚，比较深刻的是SLLN还可以用Birkhoff遍历定理证明，感觉非常精悍！不过也没有特别亮眼的地方（感觉本壬可能对motivation和栗子多一些的课更合胃口，倒是中途黄文老师代了一次课，课上一半时间以上带着我们蒜栗子，还时不时提醒我们学东西要多恰栗子，上完感觉酣畅淋漓。

自己参考了GTM259（Manfred Einsiedler，Thomas Ward的Ergodic Theory with a view towards Number theorey)这本，里面栗子比较丰富。

考核和给分非常良心。平时不布置作业，没有期中，期末要么跟往年一样开卷考试，要么像今年因为时间冲突和放假安排导致提前在14周考试（还未结课），为了帮助我们复习老师提前一周给我们发了一份Exercise，最后考试闭卷但90分部分都来自这份Exercise。而且就算这样，虽然老师嘴上说平时期末二八开但最后肯定还是大力调分了，选的人（包括本+研）只有20个左右故也没有优秀率限制。我甚至怀疑总评是不是几乎要全员优秀了。

总体还是比较推荐钙氯壬来选这门课，不仅跟Markov chains有些联系，在research上遍历性在钙氯各种topic里也算一类较重要的问题。前段时间还看到Ivan Corwin，Xin Sun写的paper：Ergodicity of the Airy line ensemble，故生感慨。

写了很多都被吞了，重写罢！

       这门课程是动力系统专业的基础课程，动力系统也是基础数学的分支之一，但好像本科生无人问津。我观察到的做基数的同学大都去搞几何代数PDE去了，基数修课指南上也没有出现动力系统相关的方案，也许可以找本校博士生/老师写一个？我认为除了本专业的学生以外，概率/数论方向的同学都可以学一下这门课。

       预修课程：点集拓扑，泛函分析，高等概率论，群论（只是我认为如果以上知识掌握会对学习这门课有不少帮助）。另外这门课可以考虑和应用随机过程一起修，本课程为Markov转移部分提供了基于动力系统的理解。

       教材：自编讲义（感觉这个讲义还是挺良心的，如果不去抠细节对初学者还算友好，但是如果想要把这门课当成一门分析基础课来学，也即弄清楚教材上几乎所有gap,需要大量的时间和精力，非动力系统方向的同学不建议这样做。）

       课程内容：

一、遍历理论的基本概念和基本结论。包含保测映射和Poincare回归定理；遍历性；混合性；冯诺依曼遍历定理、Birkhoff遍历定理；不变测度的遍历分解定理等。

二、动力系统的一些基本例子：符号动力系统、圆周环面以及一般交换群上的旋转、区间系统、连分数等

三、保测系统的同构、Lebsgue空间简介。

四、遍历理论在拓扑动力系统中的应用，介绍拓扑动力系统中最基本的概念：拓扑共轭、传递性、非游荡点集、可扩同胚等，介绍不变测度存在性定理。

五、遍历论在一些具体系统（例如连分数，符号系统）中的应用

     （摘自bb系统）

       吐槽：1、本门课程没有作业，没有助教，但却是动力系统的基础课程，也就是说绝大多数学生在修读这门课程以前并没有接触过“动力系统”。我想应该有一定量的练习来帮助学生建立属于“动力系统”的直觉。

                  2、本门课程内容很多而且都不简单，但时间有限，很多漂亮的结论都没有给出证明。

                  3、Rohlin斜积定理那一块讲的很乱，证明有点云里雾里。

                  4、和本科课程衔接不够，有一些在本科课程中已经学过，可以认为是trivial的结论在课堂上依旧会重复推一边。

       吐槽归吐槽，2、3点提到的部分我想老师也有自己的无奈。这门课确实并不好教！邵松老师教学功底很好，即便没有作业，这门课70%的内容只要认真学想要弄懂证明并没有那么困难。有些定理的证明老师会给出自己的理解，从而避免了这门课成为“抄书会”。

这门课的教材是GTM79 "An Introduction to Ergodic Theory"。老师上课喜欢讲一些看起来很厉害，但其实和这门课没什么关系的东西。比如，第一节课的时候，给我们讲了测度论，高等概率论和调和分析中的一部分知识，但只是叙述了定理，并且给了一些直观的解释，没有证明，到后面还补充了关于测度空间同构的知识，但这些东西在这门课里并没有用到。由于经常讲这些内容，加上他讲课比较仔细，课程进度比较慢，只上了这本书的测度论部分，没有上到后面的拓扑动力系统部分。考试题比较难。我大概做对了卷面一半的分数，平常认真学习的几个研究生们也差不多。最后给了85，可见给分还是不错的。

选这门课之前最好学过实分析。大概期中的时候用了一点谱的东西，我没学过谱听课也没有太大的障碍。

最后向大家推荐一本书，Michael Brin的动力系统引论，这门课的大部分内容都能在这本书上找到，这本书上还有一些题可以做。