我是本学期这门课的助教，许老师一共上了29节课，我随堂旁听了28节，并亲自记录了26节课的课堂笔记。在几位同学（黄神、大哥、淳佬）的帮助下，成功上传全部29堂课的笔记。因此我对老师上课内容和讲课与考核方式都有一定了解。下面主要分这两方面来点评。

    刚刚上完这门课的同学可以看看第一部分，回顾一下本学期的学习，也许对你们有些用处。没学过这门课的同学看看第一部分也有一些用处，希望你们能大概了解本课程的目的和大致内容。第二部分纯属发表个人看法。

• 上课内容

    本学期课程内容分6个章节   1.微分流形的基本概念   2.张量代数   3.外微分形式   4.流形上的积分   5.李群初步   6.向量丛和主丛。前五个部分是流形的标准内容，最后一个部分是刘老师根据自己的研究方向选择的。作为一门研究生基础课和本研衔接课，这门课的 最低目标 是“打通学习黎曼几何的障碍”。这在前五章已经基本做到。但其 理想目标 “应该是为现代数学的多个领域打开大门”。从这点上来说，本学期的课是有一点点遗憾的。

例如，在第一章可以介绍Whitney嵌入定理，从而自然地引入管状邻域、Sard定理、法丛等微分拓扑的手段。上过课并且有兴趣的的同学，建议阅读Millnor写的《微分的观点看拓扑》。这本小册子短小精悍，其作者是数学界为数不多的“数学又好语文又好”的数学家。

再例如第三章和第四章结束之后可以较深入地介绍de Rham上同调和de Rham定理，这方面这学期实在讲得太少，有兴趣的同学可以看Lee书17 18章补充相关知识，然后可以学习Bott 和Tu 写的《微分形式与代数拓扑》（GTM82）。这本书适合用一个学期左右的时间，几个同学组织一个讨论班一起学习。可以说，这两本书能够踹出临门一脚，让我们进入一个神奇的领域。

再有，一般性的李群理论也完全可以在流形课堂中涉及得更多，《微分流形与李群基础》（GTM94）是一本不错的参考书，可能对初学者来说不那么好读就是了。刚学玩这门课并且感兴趣的同学完全可以看看。

    上面所说的是这学期老师涉及较少的地方。但是许老师重点放在Frobenius定理、线性李群、纤维丛理论.

1. 关于Frobenius可积性定理，本学期课程中至少用了三种方式去描述和理解，分别丛流、微分形式、李群的角度去描述某个分布的积分子流形的存在性。这些许老师讲得非常细致，并且在期中和期末考试中涉及一些计算。

2. 李群理论主要集中在线性李群部分，而一般李群介绍得比较少。诚然线性李群是李群理论中最重要的实例之一，但是由于没时间讲太多一般李群的内容导致部分学生对其理解有些误区，这点在期末考试倒数第二题大家的答题情况中有所体现。

3. 纤维丛理论是这门课比较精彩的部分（即使许老师自己也不是很熟悉）。这部分的学习过程可以看做是是对前大半学期学习成果的检验和应用，还把大家引向学习Yang-MIlls理论，这无疑是理论物理和数学物理方向学生的福利。但是需要提醒，刚学完流形直接上手Yang-Mills有点难度，但是可以稍微了解一点。许老师选择的参考资料见另一个同学的点评，那个里面错误挺多，这里我贴一个短一点的参考资料链接【http://www.maths.ed.ac.uk/empg/Activities/GT】，比老师那个好读一点。但是内容较少，而且比较古老，大部分是八十年代之前的内容。

    总的来说，这学期的内容比较全面，也很有特点。我认为上课缺少的但又值得介绍地方我都尽可能在习题课给大家补充。本学期几乎每周一次习题课，由我和另一个助教李明阳（超强der！）轮流讲。非常感谢大多数出席的同学都听得非常认真，也给我很大的压力push我好好准备。但是由于我水平不够，还有很多没能给大家讲到。我期望这个点评能够弥补一点吧，当然这还要靠同学们自己的兴趣和努力丫！

• 讲课与考核方式

    个人感觉，许老师讲课最大的特点是 板书很漂亮，逻辑清晰，重视计算。

逻辑清晰有两层意思。第一，每个小节开始之前有 前言，老师会用几句话把各个章节和小节内容之间关系和本节目标等解释清楚。认真听课的同学就会知道接下来我们要干什么了。个人觉得这些解释的话语正是老师讲课和自己看书的最大区别。如果没有解释的话，听课绝对不如自己一个人安安静静抱着书check每个细节。这就是学数学初期需要培养的大局观，在我见过的老师中这方面任广斌老师做得最好。但是不可避免的是，这样讲课就会比较费时间，一学期内能讲到的东西就会偏少。

第二，黑板上式子之间的 逻辑关系 清晰。这点看似简单，但是我听过不少同学之间讲的讨论班，大都认为只有算式是重要的，于是大家只把式子列在黑板上，其他都用嘴说，缺少式子之间的逻辑关系。这是很不好的习惯，因为听众的思路和speaker是有时间差的，这么讲的话，当听众回头再看黑板的时候几乎完全看不懂，黑板就失去了存在的意义。

    有些遗憾的是，老师有时把大家带入繁琐的计算中，却没有带大家走出来（只有他自己走出来了）。具体地说，在学习过程中，算一些例子或者干脆用计算去证明是很有必要的，但是初学者阅读时往往陷入其中，不知道为什么要这么算，算出来是个什么东西。但是从另一个方面来说，从式子中看出几何 是每个数学工作者必须具备的品质。如此讲课也正好锻炼同学们自己修炼这个技能。

    到本学期最后一章讲纤维丛时，老师几乎省略了“小节前言”环节，造成听课可能有一定困难。但是我在笔记里面尽可能多的补充了图像和解释的内容。

    总体来说本学期这门课除了前面说过的Frobenius定理外，缺少“大定理”的证明和应用。从这点上来说这门课学起来不够“爽”。但是一学期下来同学们学会了认真的计算也是件好事，毕竟这算是基础课。等到学习更高阶的课程时（如黎曼几何、复几何、黎曼曲面、李群与李代数等）有太多的大定理，大家爽的时候也 千万不要忽视计算。

    期中考试老师出题很有水平，比较有区分度，也考察了几个重要内容。但是期末出卷太过仁慈，而且复习阶段就告诉同学们第六章纤维丛完全不考。这让我觉得好比学完数学分析却不考含参变量积分和傅里叶变换一样不合常理。（也许老师这么做是为了方便调分）

    许老师有一个比较有争议的举措，留习题但是不用交且不讲解答。那我先说说我看到的利与弊。对助教的好处是减少工作量（开心），对学生的好处是让同学们不得不独立思考，或者自己查书亦或查找其他资料寻求解答。坏处是需要同学们自己花大量的时间。当然没受过相关训练的学生会觉得很痛苦，但是这是数学研究途中必不可少的能力。毫无疑问，如果你认真去尝试解答这些问题或查找资料，在这过程中学到的技能比这个题目本身能带给你的更加深远，也更有意义。但是我觉得更好的方式是传统作业和这种探索式题目相结合，前者的训练也同样必不可少，让助教批改并发现学生解答中出现的问题，再给大家讲解。如果能合理分配两种题目的数量，这样也许效果更好。

    最后，很高兴能我陪伴老师和同学们这一学期辛苦（并快乐）的学习！

许老师讲课完全脱稿，导致他讲到向量丛那一章的时候有的时候前后跳步很大，我听课完全蒙古，下课去问他他才会补一下gap，并对本垃圾加以无情嘲讽。

许老师前五章讲的内容真包含于王作勤的微分流形讲义，最后一章讲的是Andriy Haydys 的Introduction to Gauge Theory.pdf。最后一节课还讲了杨米尔斯泛函，本人完全蒙古。

表扬这门课的cjb助教，他每节课旁听并记录板书，还把笔记发在群里，他的笔记救了我。

无作业分，但许老师上课会布置一些习题，而且考试会考原题或改一改然后考（期末考试最后一题还被我押到并拿去问助教，然后助教把一种做法发群里了，，）。最后总评是期中期末野蛮平均（许老师说他期末放了八十多分的水）