围棋又把我打趴了,我很烦不想下了,来评课(雾)

按照本学期的法班大纲,主要内容一块是Fourier分析,一块是多变量微分学,最后讲完上学期欠下来的一点点集拓扑.我们将按照时间的递进刻画这学期大概讲了什么,比大纲还是多亿点的.

Fourier分析的一个重要的Motivation是求解所谓线段上的热方程,从分离变数法开始了这学期的课,我们发现为了兼容初值而不得不需要用三角多项式来逼近一些任给的函数,就此开始Fourier级数的课程.Bessel不等式,一般的审敛性对应的Dirichlet核,Dini判别法,Cesàro求和意义对应的Fejér核(肺结核),Abel求和意义对应的Poisson核,线段上热方程的磨光性与到边的特性,以及Fourier级数最漂亮的l²理论及Parseval等式.主干内容结束后构造了一个周期连续函数但是Fourier级数发散的例子,然后介绍了别的类似的东西,比如Legendre多项式,并简介Sturm-Liouville问题;作为应用,证明了条件稍强的等周不等式与Weyl的平均分布定理(就是无理数的倍数的小数部分在[0,1]上稠密,更甚是均匀的).

Fourier分析的第二块是Fourier变换,为了简洁直接考虑的Schwartz函数类(速降函数类),列出一些标准的性质就直奔Plancherel公式,由于Lebesgue积分理论没有正式讲授过,所以L²理论暂且讲不得,此部分由习题课介绍,后面再说.在再次碰面热方程前简介了Laurent Schwartz的广义函数论,然后回到直线上的热方程,通过Fourier变换来求解,最后卷上热核就行,在解的唯一性讨论的时候介绍了一下1935年Tychonoff给的一个定理,并把一个初值为0但实际上不为0的反例留作作业题.后面进一步讲解Poisson求和公式,作为应用有直线上热核和圆周上热核的关系以及不确定性原理.

下一块是多变量微分学,主要是研究Banach空间之间的函数的性质.我们已经在大一学过单变量微积分,我们总是希望把单变量里有的东西搬到多变量里,或者起码类似的搬上来.我们定义微分并简单分析其性质,Leibnitz律和链式法则自然一个不少;然后是C¹函数的性质.下一部分是我们熟悉的有限增量定理(Lagrange中值定理),当然多变量稍微麻烦点设了一个凸性,还有我们常用的被挖掉的一个点想补起来的命题,然后是可微函数的极限,还有就是想把导数导到积分号里,这些我们在单变量用的不能再顺手的工具都可以被搬入多变量里.然后定义偏可微,有了偏分量(有限个)连续则本来C¹这样的性质.求逆映射按照我们的希望,也是C¹的.更进一步定义二阶微分,由于写成L(E,L(E,F))太复杂,于是开始讨论了一下变成双线性函数,一样是标准的性质,并补充了各种条件下的偏导可交换;最后还有我们喜闻乐见的好用的各种余项的Taylor公式.作为重要的例子,凸函数有好多好性质,我们同样介绍了实Banach空间上的凸函数,大概有了凸性对应唯一性的感觉,介绍了凸集分离定理的一个证明,通过Minkowski泛函完工.

比较Non-trivial的自反函数定理开始,展示了压缩映射原理如何作为重要工具使用的.长篇的证明结束之后给了一个小例子,用反函数定理得到非线性常微分方程的局部的解的存在唯一性.(让我们换入下一本笔记本)然后是隐函数定理,以及两者互推.应用是证明了实空间里嵌入子流形的四个定义等价性,然后简单介绍嵌入子流形的切空间与余切空间.然后是反函数定理喜闻乐见的推广,即所谓常秩定理.下一部分也是单变量里碰到的,就是求极值问题,这里称为优化问题,这里就把之前说的凸性用的比较多,顺便有一个正则值原象定理;然后是带约束的版本.中间有一个打趣的小问题,就是全平面上只有一个局部极小值,并且其它点的微分都不是0,问这个局部极小是不是全局极小,最后用Morse函数造的反例,个人认为比较的有趣,Morse函数进一步的性质留于习题课.然后还有对极大极小的判断,注意Banach空间可以无穷维所以不是单变量那样严格正就行,稍加了一点条件,在有限维时由于闭单位球紧又回来了.作为优化的应用,我们介绍了所谓变分法,给出了弱形式和强形式的Euler-Lagrange方程,多变量微分学边到此结束了.

下面实际上先介绍了多变量的积分学,首先给出带边流形的定义,这里不用代数拓扑的工具而利用反函数定理的推论说明了半空间和全空间不同胚.然后简单复习线性代数中学习的张量代数和外代数相关知识,先看在Rⁿ里的诸如切映射,p-形式和切映射拉回,再定义d,并介绍d的一些性质,喜闻乐见的两个是d²=0和与拉回交换.下面进一步定义流形上的p-形式.此后我们定义定向与诱导定向,特别关心了诱导定向的一个符号.然后开始定义积分,首先是支在单个坐标卡上的p-形式的积分,然后定义单位分解来定义紧定向流形上的积分,通过限制定义在流形边缘的积分,最后完全证明Stokes公式,并且陈述了一下可以用圆导角去逼近边界分段光滑.最后还定义了体积形式,并补充了一点欧氏空间里关于零面积集的定义.

然后是对上学期点集拓扑的补充,首先是商拓扑及其相关性质,然后是乘积拓扑及其相关性质,一个比较喜闻乐见的是所谓紧空间的乘积紧,需要借助Zorn引理,接下来是一些概念:预紧,相对紧,完备,局部紧,σ-紧,以及之间的各种性质和定理.用Cauchy列商掉等价关系介绍最小的完备化,和第一学期初构造实数如出一辙;介绍紧化,不过主要就介绍了单点紧化.然后再次是点集拓扑里一个比较重要的定理,即所谓Baire纲定理,作为应用证明了比如不可导函数在连续函数里稠密,连续函数的点态极限的连续点稠密(实际上不连续点是个第一纲的Fσ集),其直接推论是导函数的连续点稠密.

到这里,大纲要求的正课内容结束.后面基本上就是讲大习题和一些补充内容穿插来,大习题就不总结了,总结一下有什么补充内容.首先是重新解释电动力学课上物理人用的奇妙张量符号,比如并矢这些,然后是殷老师自己的趣味,推导了一遍Maxwell方程组.然后介绍闭线段上的gauge积分,先展示其强大之处,直接盖掉了Lebesgue可积并给了一个Lebesgue不可积但gauge可积的例子(闭线段上gauge可积不一定绝对可积),以及条件极其简洁的Newton-Leibnitz公式(对导函数没提要求);然后啃了一个比较硬的Henstock引理,随后是一个定理说明绝对可积等价于变上限积分有界变差,然后又是喜闻乐见的单调收敛定理,控制收敛定理和Fatou引理,当然都是gauge积分的版本,以及把导数导入积分号和含参积分连续的控制版本.然后介绍抽象的流形的定义,同样把嵌入子流形有的东西都搬上来;后面介绍Lie群和离散群的定义,目的是群在流形上的作用,以及诸如轨道,某点的迷向群,可迁,自由,恰当等概念,举了不少例子;后面便是流形商掉群作用,作为例子介绍了棱镜空间和最简单的Hopf fibration.最后的补充知识是上同调,带着我们算了算几个具体的几何结构的上同调,证明了Poincaré引理,顺便介绍了诸如道路同伦和道路提升的小性质.最后一部分首先补充是Darboux连续相关的东西,但是其性质之差直接被打倒不理;然后是半连续函数的一些性质,其实可以从半连续函数定义Lebesgue积分,不过限于课时也没这么深,介绍了想法就是下半连续往上打上半连续往下打这种,并且有Baire定理保证了比如下半连续函数可以被递增的连续函数点态逼近,所以积分可以定义.最后的最后是Cantor集相关,定义了Cantor-Lebesgue函数,所谓魔鬼的阶梯,还定义了个胖Cantor集,和Cantor集同胚;最后定义了Hausdorff维度,并证明了Cantor集的Hausdorff维度是ln2/ln3.

咋办,正课写完不太想写习题课了哎,习题课写粗点算了.

最开始的两三周,习题课的安排是平面或空间里的多变量积分的计算题,主要是看上学期期末考的送分题没送着.然后基本上按照正课安排讲对应的习题,主要形式就是同学上去写然后讲这样.正经的我就不总结了,我们来总结一下俞老师放飞自我的部分.

正课还在大纲内容时,习题课放的基本不高,比如简单介绍了L¹和L²的Fourier变换如何定义以及其作为酉算子的性质.然后是多变量微分学,正课直到2阶,这里就直接到任意的阶都给了定义.这里先做了好一阵Dieudonne的书,然后回去做课本课后题.在长期呼声讲流形之后,终于开始讲了点,最开始讲的时候各种绕开各种几何的定义去讲了一个猜想,然后正经定义向量丛,Riemann度量,截面和曲率,直观上感受了一下联络,还有什么平坦balabala一系列词,列出来可能会觉得我是名词党党魁,那我就不列了.我记得这里有一句话叫什么:"千古寸心事,欧高黎嘉陈."这次放飞好像是因为二教那边开了个什么写论文的讲座,没几个人来上课,于是就飞了.然后把课本课后题做完了,于是开始夹杂放飞和另一本让同学们翻译的题(最佳翻译奖奖品是忘带好几次的Hilbert传记).最后介绍了Morse函数的一些小性质,一个重要的刻画是所谓Morse引理,允许我们选择好的坐标卡使得临界点附近的Morse函数很好看;后面定义了单参数变换群,并用来说所谓的:穿过一个指标是k的临界点相当于粘贴上一个D^k.

好了我把课程内容简单和粗糙地概括了一下.两位老师上得是相当好的,在此再次表达对二位老师尽职尽责的教学的感谢.

学生助教依旧是吴天学长,上学期带分析II时口碑好,所以被殷老师特别请过来再当了一学期助教,主要工作就是改作业和整理作业答案并在课程群里答疑,且在本就繁忙的博士的科研和行政工作里抽出时间做助教属实十分不易.

给分一样我不会谈,反正都是置课,也没法换.(其实是这学期期末考都没考我咋知道咋给分)

写的有点多,那就就此打住了.(别的好像也没什么可写了)

!!!我一提交就是TMD400错误,一片白色里显露出:

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哎这体验也太差了,对中长评课巨大不友好,暂时不想评代数III了.