孩子们，被pksq做局了，点评太长提交失败了（）

后面的章节我就先不往pksq放了，写完了打个pdf。

又好了孩子们（）

复变复变，复中有变。
拉式拉式，拉不出式。
柯西柯西，可惜是稀。
留数留数，分是虚数。

等出总评了应该会更新很长很长。

课程概况

课时：10周，由于国庆放假实际只有9周。每周2次课，一节早八一节早⑩。

讲授内容：《数学物理方法》严镇军 复变函数部分1，2，3，4，5，7章。

讲授方法：嘴巴。

课堂：纯板书，含有大量定理的推导和书上的例题。如果你想听课一定要坐前面，因为老师说话的声音比较小。

平时分：无点名无小测，每周的作业分记为平时成绩，占总评的30%

考试：期末统考，占总评的70%

调分：尚未可知。

学习策略：

知识学习：建议模仿数学分析的学习策略。如果听课的话就要顺着老师讲的思路把各种定理和结论的用法搞明白，听网课需要注意不要遗漏拉普拉斯变换的部分。考前建议做题拟合。数学分析功底对于本门课程比较重要，尤其是级数，复变函数中充斥着大量需要展开的题型，如果级数和展开的基本功不扎实可能会大面积犯错。另外，如果想冲击高分或压轴题，需要了解部分复分析中的定理（如刘维尔定理等）。

到课策略：看个人情况，本课程无点名和小测。

作业量：中等，基本是每周统一布置一次，从布置到提交有一周时间。由于拉普拉斯变换部分讲完就结课，这部分并不会留作业。

教师评价：

周春辉老师是一位非常儒雅随和的老师，书生气质，儒者风范。周老师坚持古法上课，纯手搓公式定理，这在ppt满天飞的课程环境里难能可贵。当然，也有可能是课程组规定的。虽然有很多同学会觉得周老师的讲课声音太小，但这并不妨碍周老师用自己的人格魅力折服同学们。

本故事纯属虚构。

由于剧情需要，故事中可能含有大量并不存在的数学知识，请读者自行甄别。

第一章：虚数和复平面

1.开天辟地

每个人在人生中往往会遇到很多的问题，王露露也不例外。她求不出最优的有限状态机，求不出独立同分布变量方差的期望，求不出均匀带电球面产生的电场。当她回首往事，有时会感受到巨大的悲哀和恐惧，因而生出了这样一个疑问：有没有这样一个万能公式，竟能求出所有的解？

这种万能公式当然是存在的。二次函数的求根公式就被王露露的初中老师称为“万能”。然而这个公式真的万能吗？未必。当二次函数的判别式小于0时，方程便会陷入无解的困境。

为了解决这样一种负数开根号的困境，增强数学体系的鲁棒性，人类凭空想象出了一个看不见摸不着的数字：i，用于表示根号-1。如此imaginary的东西看起来就很抽象，虽然这玩意连看都看不见。这种巨大的未知也令人感到莫名其妙的恐慌——当初人类开发无理数的时候也是这样的，毕达哥拉斯说万物皆可公度，他的学生希帕索斯不信邪，画了一个等腰直角三角形，就被亲爱的老师一脚踹进了爱琴海。

回到数域，这个i已经不是一般的实数了。它在经典的一维数轴上找不到自己的位置，如同天地未开，宇宙一片混沌。i见周围一片实数，青筋暴起，抡起身边的虚轴，一下便把实轴劈开了。一些很正的东西向虚轴的正方向飘去，很负的东西向虚轴的负方向飘去。i害怕刚刚开辟的二维空间再合上，于是用虚轴把y方向撑起来了，并让虚轴像实轴一样无限延长。最后，i心想我这么牛逼，一定要给自己找一个好位置，于是坐在0上面距离1的位置，成为了凌驾于加法单位元和乘法单位元之上的存在。史称虚数开复数域。

混沌初开，新生的复平面上多了许多的新面孔，原来的实数域R拓展成了复数域C，许多事情也由此变得复杂了起来。i很快发现自己的下面有一个跟自己长得很像的-i，两个数看起来只差一个负号。i心想我来会会你，但是在复数域上的位置又是确定的，只能隔着两个单位距离喊话。

i：你™谁啊？

-i：我是虚数单位啊。

i：牛魔，我才是虚数单位。

-i：你看看虚数单位的定义是啥。

i：-1的平方根啊。

-i：你再看看我平方是几？

i：挖你居然平方是-1这也太神奇了罢难道你是世界上的另一个我俺不中类——

i和-i两位大仙辩经三天三夜，连大道都快磨灭了，最后他们准备找个人类来评评理。

王露露见了这两个玩意也犯难：按照虚数单位的定义，平方是-1的数就是虚数单位，但是i和-i怎么平方都是-1。她想到实数里面开方，一个正数也是有两个平方根的，一正一负。但是，比如说，1和-1，这俩玩意明显不一样啊，GPA++跟GPA--能一样吗？但是i和-i又是一种别开生面的情景，GPA+i和GPA-i感觉也没什么不一样。一则反正i也是虚的，不管加多少也不会影响王露露的实际GPA，二则如果GPA真加个i上去那就有乐子看了。所以王露露偷懒就告诉±i说你们其实是人格分裂了，这样吧你们俩打一架，谁赢了谁就是正儿八经的虚数单位。

于是i和-i开始打架，起初i由于在上面所以把-i压在下面打，但是-i发现自己手里有根棍，于是专捅i的下三路，最后居然让-i打赢了。

-i兴奋地去找王露露，要求把自己立为正统的虚数单位，遭到了王露露的断然拒绝。王露露给出的理由如下：

1.王露露就是个苦逼大学生，何德何能规定虚数单位

2.虚数对于人类的直观感觉来说就是个棍木，从某种意义上来说正负都一样。

3.写i比写-i少写个负号，成也负号败也负号。

王露露实在不耐烦了，从复平面上跳走了。三维生物还是比二维厉害啊。

至此，复数域本身开辟的也差不多了，实数和纯虚数可以以任意比例组合，填满了整个平面。

但是，代价是什么呢？

2.比大小

i在被-i捅到命根子以后躺在床上整整一个月生活不能自理，下床以后第一件事就是要跟-i再打一架。i希望用更数学的方法打败-i，于是它自然而然地想到了比大小。你看i看起来就是正的，-i是负的，i>-i这不就稳赢了吗？

然而这里存在一个巨大的问题：其他复数不乐意——凭什么只有你i能比大小，我114514+1919810i就不能比？但这样的话就会乱套，比如1+2i和2+i，比实部后者更大，比虚部前者更大，怎么办？更不用提接下来比大小的内在顺序还要和加法乘法相容……总之这绝对是一场灾难。

i想到了一个“歪门邪道”的方法——只有在同一条过0点的直线上才能比较大小，以极角范围\([0，\pi)\)为正方向。i刚刚把这条规律宣读了一遍，就有个不长眼的-1-i说i比自己大。理由：i>0>-1-i 。

至此i终于放弃了直接比较复数的大小，复数域献祭了全序，获得了更强的力量。

不过复数里面还是有很多东西能比大小的，比如模长。每当在复数域中提到比大小时大家总能想起模长。一堆数模来模去，像是一种叫蝌蝻的生物。

还有，i和-i到最后也没比成大小，因为i坚持要用虚部来比，-i则坚持用模。

3.欧拉公式

在复平面建立以后，各种关于平面几何的东西一股脑地涌了进来，包括但不限于极坐标，参数方程和模长不等式。

先说极坐标。平面上的任意一点可以用其到极点的距离和与极点，极轴正方向形成的夹角来表示。由于夹角是以\(2\pi\)为周期的，可以取一个属于\([-\pi，\pi)\)的主值，叫做argz。这样相当于（基本上）原封不动地把平面几何的一套理论搬运了过来。

用模长和辐角看待复数还有一个好处就是乘法会变得异常的简单，只需要把模长相乘辐角相加。这要得益于\(i^2=-1\)以及三角函数的神奇性质。就连王露露在第一次看到这个性质时都忍不住发出“澡称冯的福老子以前费恁大劲算复数相乘都白费劲了”的感叹。

再说参数方程。由于每个复数z都可以用两个实数Rez和Imz（有时为了方便也直接叫x和y）来表示，所以复平面上的曲线同样可以用x(t)和y(t)的参数方程组来表示。由于共轭复数的引入，我们有\(x=\frac{z+\bar{z}}{2},y=x=\frac{z-\bar{z}}{2i}\).如此一来我们便可以直接用复数z（和世界上的另一个z）来表述复平面上的曲线了。

最后说模长不等式，跟平面几何一样，没啥好说的。

于是坐标系不得不品的一环出现了。有一个叫做单位圆的东西来到了复平面，圆心往0点一坐，要求王露露用复平面本地语言描述一下它。

显而易见，一个最简单的方法就是抄袭创造性地借鉴平面直角坐标系。王露露将单位圆描述为\((cos\theta,sin\theta)\)，并将其翻译为一个复数\(cos\theta+isin\theta\).然而这样的表现形式显然是无法让单位圆大人满足的。它在平面直角坐标系可不止这一种表示方法。于是王露露端出了第二种方法：利用复数的模长，将单位圆描述为\(|z|=1\).但是单位圆大人似乎有点得寸进尺，仍然在不断地叫阵，让王露露掏出更多的表示。“复平面不是很牛逼吗怎么跟实二维平面一样啊杂够~杂够~”

王露露心想关我鸟事我又不住复平面上。

不过仔细想想复数的乘法，模长是相乘的，辐角却相加了，这说明可能有什么东西相乘等效于辐角相加。那么什么函数满足\(f(x+y)=f(x)f(y)\)呢好难猜啊，一定是指数函数吧。

王露露（并非）自然（？）地猜想：在单位圆上所有数的模长都为1，所以相乘的结果一定也在单位圆上。那么单位圆上的数一定（大概吧）能用指数的方式表示出来，可以统一写作\(z=e^{k\theta}\)，其中k是待定系数，θ是实数。

进一步分析k的性质。首先很明显k不是个实数，不然z就是实数了；其次，王露露喜欢对着函数求导。于是她对着\(e^{k\theta}\)导了一下，发现变成了\(ke^{k\theta}\)。这就是一件很有趣的事，导数的意义是变化方向，方向应当沿图形的切线方向，而单位圆的位矢和轨迹切线是垂直的。也就是说\(e^{k\theta}\)和\(ke^{k\theta}\)应当是垂直的。由几何关系得k的辐角应为\(\pi/2\)。

那么王露露已经成功把k的范围缩减到了\(ki，k\in\mathcal{R}\). 她感觉导一下真爽，要不再导一下吧。于是得到了二阶导\(k^2e^{k\theta}\)。利用力学课学到的神秘向心加速度和圆周运动速度的关系得到了在单位圆上\(|k|=1\)。这样一来我们有\(k=i\)

下面有请欧拉公式：\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\).

三个初等函数在这里神奇地放进了一个等式，是\(i\)让\(e^x\)，\(sinx\)和\(cosx\)发生了这种被实数视为禁忌的多人关系。

果然i能超越一切。

还有，泰勒需要展开才能看出来的东西，居然被王露露导了两下就出来了，我说王露露也是个神人了。

4.黎曼球

面对着无穷无尽向各个方向延展的复平面，王露露坐在0点向四周张望。这种场景总是让人情不自禁地问出诸如“海的那边是什么”这样充满哲学意味的问题。王露露虽然还不知道海的那边是什么，但是海的味道她已经知道了——她有时候会把复平面映射到自己的头上，企图让自己的思想变得more complex。

仿照这种方法在0点放一个半径为1的球，我们便能得出一个看上去很美妙的映射——过球的顶点向复平面作一条射线，便能在复平面和球面上各产生一个交点，这两个交点便是一种对应关系。

那么无穷远处呢？

一提到无穷远处，极限理论便要开始运作。在数学分析中我们已经学过多变量函数在无穷处的极限。在多变量微积分的范畴中，如果某个函数沿不同方向（曲线）趋向无穷得到的极限不同，那么便说其在无穷远处的极限不存在，并可以定义其在不同方向上的极限。

相应地，复平面也需要定义这么一个无穷远处，否则这个基于分析的世界就完了。

这个时候（其实是两三百年前），黎曼来了。在黎曼之前，复平面就像一片广阔但有缺陷的天地。近处充满光明，远处却是无边的混沌。

黎曼不忍心看到复平面如此残破不堪，费尽心思，找到了一块叫做黎曼球的补天石，将它放在复平面的0点上，从球面的北极发出光线，穿过球面照射到复平面上。球面上每一点（除北极外）都与复平面上唯一一点相连。

然而北极点本身还没有填补上，它从第三个维度抛下天火，砸得复平面千疮百孔。

千钧一发之际，黎曼做出了最关键的神启——他用那个神秘的无穷远点补上了黎曼球的北极，从此，所有在复平面上奔向无尽远处的轨迹，最终都汇聚于球面的顶点，复平面完整了。

在黎曼的努力下，复平面映射为一个完整、封闭、没有边界的球面，史称黎曼补天。

曼！我看i谁！面对如此慷慨激昂的故事，王露露在黎曼球边上诗兴大发，写下了《黎在曼球边上放号》。

《黎在曼球边上放号》

无数的纯虚数正在虚轴上怒涌，

啊啊! 好幅壮丽的复数域的情景哟!

无限的复平面提起他\(R\rightarrow +∞\)的Undefine来要把黎曼球推倒。

啊啊! 我眼前来了的滚滚的无穷哟!

啊啊! 不断的映射，不断的延伸，不断的逼近哟!

啊啊! 复哟! 复哟!

复的四则，复的辐角，复的极限，复的求导，复的积分哟!

第二章：复函数微分学

5.复变数函数

所谓函数，就是给定一个（或一组）自变量，就能映射出一个（或一组）因变量。不过王露露可不想管这些。如上所示这章的名字叫复函数微分学，她一心只想赶紧开始研究在复平面上怎么导。然而《海绵宝宝》里有句话说得好啊，要想学怎么开车，你必须先学会爬。

所以首先我们要介绍复函数与实函数最大的一个不同：存在大量的多值函数。这些多值函数虽然多值但一点也不肥美，因为按照函数的定义，这些东西压根不能定义成函数。比如\(\root{n}\of{z}, Argz和Ln(z)\)，分别由一个自变量对应了n个，可数个和可数个函数值。

我们当然可以通过取主值的方法来规避这一问题，但是紧接着就会迎来一个新问题：多值函数取主值后的单支在复平面上似乎不连续了。比如\(Argz\)，如果画一个z轴的话它可以可视化成螺旋升天的形状，但是如果我们取\(argz\)作为其主值的话，那么在实轴的负半轴上就会出现函数值的跳变。这样一个函数明显是不连续的，为了保证它在大部分时候都有一个比较好的性质，复平面献祭了一个完整的屁股——将实轴负向附近切掉了一部分，使得\(argz\)在剩下的地方具有比较好的性质。真是小刀剌屁股——开了眼了。

至于极限和连续性倒是和二元实函数比较相似，都要在任意点列（方向）上满足极限相同。如果记\(f(z)=u(x,y)+v(x,y)\)，那么f的极限和u，v的极限、连续性互为充要。

那么回到刚刚的\(argz\)，我们会发现这个东西在0处也不连续，沿不同的辐角方向逼近0会得到不同的极限值。因此\(argz\)的连续区间还要把0也给挖掉。

这下好了连皮炎都不剩了。

6.解析性和CR方程

复变函数的导数从形式上看和实函数完全相同，可以写作\(f'(z)=lim_{\Delta z\to0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}\)。与实函数最大的不同在于\(\Delta z\)是有方向的，也就是说如果这个数从不同方向趋近0的极限不一致的话，那就是说函数是没有导数的。看起来很美好的导数却不可导，未免令人有些沮丧，尤其是王露露。比如\(sinx\)这个函数，如果x代表的是z的实部，那么它作为复函数是不可导的（在大部分时候）。

那么王露露说了，我太想导了，怎么办？什么时候才能舒舒服服求导？那就不得不提到一个叫做CR方程的东西了。

一个复函数总能被我们写成u+iv的形式，写的再细一点就是\(f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)\)。那么如果函数在某些点可以定义导数，就有\(lim_{\Delta z\to0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}\)存在，写成u和v的形式：\(lim_{\Delta z\to0}{\frac{u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y)+i(v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x,y))}{\Delta x+i\Delta y}}\)。用分母实数化的方式化简这个分式，再根据数学分析实可微成立的条件，我们能得到\(u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y)=a\Delta x-b\Delta y+o(\rho)\)

\(v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x,y)=b\Delta x+a\Delta y+o(\rho)\)

于是有\(u'_x=v'_y,v'_x=-u'_y\)，也即CR方程。

天不生CR方程，万古如长夜。虽然都叫CR，但这个方程跟隔壁某款策划思慕的游戏完全不一样。没了这个方程我们便无法研究接下来解析函数的许多美妙性质。

我们在实函数中可以定义一点可导其余处处不可导的函数，复函数中也存在这种函数，但无需使用特殊的手段（如设计极限等）构造，只需要随便写一个由x和y组成的函数，它大概率就是不解析的。这时如果将函数带入CR方程中便会凑出一个二元方程，我们是可以求出解的。也就是说，这个函数只有在满足CR方程的点可导，解出CR方程就是解出了可导的点。

那么王露露要问了：什么函数处处满足CR方程呢？

我们令\(x=\frac{z+\bar{z}}{2},y=\frac{z-\bar{z}}{2}\)，并把\(f(z)\)视为\(z和\bar{z}\)两个变量的函数，那么根据CR方程和链式法则，可以等价地推出：\(f'(\bar{z})=0\)

也就是说只要函数的连续性定义良好，且能够显式地表示为只含z的表示，那么一般可以认为它是解析的。

这下可以对着初等函数导个爽了。

然而世界上总会有很多例外，比如\(argz\)，你看它也是z，怎么就处处不解析呢？

王露露蹲坑想了30分钟终于想通了——自己的腿这么麻原来是蹲坑蹲的。\(argz\)并不是一个初等的表示，其写成初等函数应为\(arctan(\frac{y}{x})\)，里面的部分是消不掉\(\bar{z}\)的。

解析性的定义强于一般的可导，它要求函数至少在该点的邻域内可导。也就是对于某个函数来说，解析性决定了其在至少一个区域内的性质。

不过好消息是只含z的初等函数都是全定义域解析的，这下可以放心开导了。

7.初等函数

没啥好讲的，该导导该积积。

我说初等函数是一群苦命鸳鸯有没有懂的？

首先是指数函数。我们知道当实数域扩充到复数域的时候函数的取值范围也会发生变化，比如最简单的\(f(z)=z\)，取值范围从R扩展到了整个C，指数函数拓展最大的一点在于它的值终于可以取负数了，虽然复平面上也没人再提负数正数。

然而指数函数还是取不到0。很简单，\(e^z=e^xe^{iy}\)，它的模长永远大于0。就连无穷远点都救不了它，因为它沿不同方向趋近无穷的极限不一样。看来\(e^z\)这辈子当不了0了。

然后是三角函数。王露露常说cos有了\(\frac{\pi}{2}\)就能cossin，这说明cos和sin本就是一卵双生的。我们回忆一下第一章讲到的欧拉公式：\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)，有\(e^{-i\theta}=cos\theta-isin\theta\)，那么cos和sin都可以用指数函数来定义。

也就是说欧拉公式到最后变成了自己等于自己，好好的燃冬突然变成了水仙，震惊王露露的痔疮一万年。

与之相对的，反三角函数也纷纷长成了Ln的形状。

还有一个有意思的点：指数和对数函数由于这么一种定义方式具有了周期。

还有一个一般幂函数，只能住在指数函数的下面了。这使得一般的幂次也可能具有多值性，譬如\(i^{i}=e^{iLni}=e^{-(2k+\frac{1}{2})\pi},k\in \mathcal{Z}\)

总之看起来就命很苦，不是好好的复平面为了取单支挖掉一块就是各种计算来回倒腾。

第三章：复函数积分学

8.长大不等式

复函数的积分是在复平面上进行的，那么也必然会有和实变函数丕样的定义。然而在形式上复变函数的积分和实函数是一样的，可以写作\(\int f(z)dz\)

不同的是在复平面上dz具有内在的方向，我们完全可以在复平面上画一条路径，然后歪比巴卜。既然有路径，那么函数的积分就会和路径有关。因此我们可以用多变量微积分的视角来分析复积分。

将其视为平面直角坐标系上的路径积分，则z可以表示成某个参数方程z(t)，积分也可以改写为\(\int f(z(t))z'(t)dt\)

当然，复积分可以完完全全地表示为两个实积分加一个i，记f(z)=u+iv,dz=dx+idy，那么我们有：

\(\int f(z)dz=\int (u+iv)(dx+idy)=\int(udx-vdy)+i\int(udy+vdx)\)

不过很不幸，由于复函数积分如此表示以后实部和虚部均有u和v两个函数存在且受路径的影响给，实函数的积分中值定理在这里并不适用。

那么王露露要问了：有没有什么比较普适的定理？有的兄弟，有的。

复数和实数的一个最大的区别在于复数不能比大小，但如果我们找到了某些复数隐含的能比大小的量，就有可能把实函数的结论引过来。我们恰好有一个叫模的玩意能比大小。在实函数中有：

\(\int |f(x)|dx \ge |\int f(x)dx|\)

这个结论是显然的，当f(x)变号时和的绝对值便会出现相互抵消的现象。那么复数的模长在求和时也会抵消，即$|z_1|+|z_2| \ge |z_1+z_2|$. 把这一结论应用于复数，我们有：

\(|\int f(z)dz| \le\int |f(z)||dz|\)

进一步地，如果|f(z)|在积分路径上有上界M，积分路径的长度为l，那么：

\(|\int f(z)dz| \le\int |f(z)||dz| \le Ml\)

这个不等式叫做长大不等式，由于证明它用到了复数取模的技巧，所以可以叫做模数技巧。

9.柯西也是神人

王露露觉得柯西也是个神人了，什么柯西不等式，柯西公式，这又来了俩柯西积分。

我们先不提柯西，先看看这两个结论：

柯西积分定理：当f(z)在积分路径C围成的闭包中解析，那么:

\(\int_C f(z)dz=0\)

这是一个看起来非常好的结论，它告诉我们解析函数是一个非常强的条件，强到积一圈就会变成0。它的证明也很简单，严大爷的书上直接利用格林定理证明了这个结论。虽然这个证明方法额外假设了u，v的导数连续，但没有这个假设的证明将会十分的复杂。具体而言，这个方法先用分型的方法证明了这个结论在三角形上成立，然后推广到多边形和曲线。然而柯西最初证明的时候似乎是假设了u，v导数连续，看来柯西的数学功底不在王露露之下，竟能想到如此美妙之假设。

柯西积分公式则比柯西积分定理“有用”得多，它可以用来计算某些积分：

当f(z)在积分路径C围成的闭包中解析，有：\(f(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}dz\)，a在C围成的闭路中。

学完复变函数之后我们能够看出，柯西积分公式其实可以看作留数定理的一个特例。f(z)在C内部解析，则可以将f(z)在a处泰勒展开，那么\(a_0=f(a)\)，f(a)就是\(\frac{f(z)}{z-a}\)在a处的留数。

柯西积分公式还有一个高阶形态，即：

\(f(a)^{(n)}= \frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz\)

这个结论的证明可以通过数学归纳法＋长大不等式来实现，由于王露露实在是太懒了，在此不作赘述。

柯西积分定理的高阶形态还表明一个重要的事实：只要复函数解析，那么它无限阶可导。不愧是复变函数，轻易就做到了实函数做不到的事情。

抛开数学不谈，王露露还提出了柯西定律：

柯西第一定律：不要把你的论文交给柯西。

柯西第二定律：如果一定要交，最好留个备份。

10.调和函数

当王露露知道了解析函数在解析处阶阶可导，就会忍不住想要各种导。正常的导数已经满足不了王露露的求知欲，于是她就开始对CR方程求偏导：

CR方程：\(u'_x=v'_y,v'_x=-u'_y\)

对x求导：\(u'{xx}=v'{xy},v'{xx}=-u'{xy}\)

对y求导：\(u'{xy}=v'{yy},v'{xy}=-u'{yy}\)

我们发现：\(\Delta u= \Delta v=0\)，即u和v都是调和函数。

由于不学PDE，调和函数的许多性质王露露并不知道，但是数学分析B2还是让王露露知道了\sout{自己是个二比}一些调和函数的美丽性质：
f(x,y)是调和函数，则：
圆周均值：\(f(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2}f(x,y)ds\)
极值原理：f(x,y)在调和区域的内部没有极值，非常数的f(x,y)只有在边界才能取到最大最小值

这两条性质使得调和函数的整体性质受到局部性质的影响。相应地，解析函数也有一些美妙的性质。

全纯均值：\(f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+Re^{i\theta})d\theta\)

最大模原理：解析函数f(z)模的最大值只能在边界处取到。

刘维尔定理：f(z)在全平面上解析，且|f(z)|在全平面有上界M，那么f(z)是一个常函数。

这三个定理都可以利用u，v调和函数的性质来证明。

与此同时，王露露对于课堂不教这些东西展开严厉的批判，因为往年的期末考题考过。

恭喜你，你不再是 2024 秋复变函数 B 的学生，你这多彩的三个月让你的算力渐减弱，不足以验证 CR 方程，故事也走向了没有柯西积分公式，没有留数定理美好结局。欢迎来到美丽的新世界。

无点名，无小测，纯板书，讲课思路和教材基本一致。以及感觉 Spring Light 老师是个铁血 i 人，声音略小，节奏略快，后来带了麦克风。感谢助教的辛勤付出，群里的及时答疑、期末前的复习指南等对个人的速通帮助很大。

复变函数 B 整体学下来感觉像是数学分析 B 的延续，教材 数学物理方法 的前半本是 复变函数 B 的内容，后半本是 数理方程 B 的内容（别急着扔教材），教材答案可以参考 参考答案1（只有前 3 章，部分答案有误）、参考答案2、参考答案3（后两份答案应该是复变函数 A 的教材 复变函数 的答案，题目重合度很高，题号不一定对应，需要自己寻找）。

期末可以面向 往年真题 复习（2024 秋的可以在合集中找到），题型较为固定，比如幅角主要就是考罗歇定理。知识点速通比较容易，同时要注意计算能力的训练，2024 秋计算量极大，拉普拉斯变换甚至收卷时被隔壁老师吐槽。最后老师阅卷比较严格，在助教阅卷基础上多扣了一些分，平时 : 卷面 = 3 : 7 的基础上微调了一下，比不上隔壁 gjw 老师。

2025秋助教，占了大半学期的坑了，现在来点评一下吧。

总体来说是一个比较正经的助教视角的总结和碎碎念，想看乐子的可以直接划走看看大象新闻。

先说一些个人的情况。我是上学期上完了数院的复分析，这学期想跟着火箭老师带几基（才不是想顺便跟着火箭老师混呢， 哼）。恰逢数院课程改制代基几基改为上下半期课程，看着上半学期空着也是空着顺手申请了一个上半学期的课，结果阴差阳错地还被选上了于是就来当助教了。

复变函数B这门课程总体确实就是相当于复分析的minus版本，不过还是有属于自己的内容的，比如为了和数理方程衔接的Lapalce变换一部分。当时准备最后一次习题课的时候忽视了那一部分，结果在期末考了整整一大题16分（虽然不是很难），也对班里的分数有一些影响吧。

周老师人非常好，带这门课也有几年了，对于他的课程内容的评价已经有很多其他的同学在上下说过了，在此也就不多赘述。

从出勤率、作业提交情况和习题课来看，大部分同学的学习态度也是很端正的。在课程本身并非对应专业专业课的情况下，总共一百人的班级，四次习题课都有二三十人左右来，我想应该是一个相对较高的标准了。因此，尽管因为卷子等种种原因最后有部分同学的成绩不是特别理想，也还请不要自怨自艾，经过这门课的学习，知识与技巧其实已经融入了大家的灵魂。能够在以后的各个领域再次遇到一个复变函数时能验证它是否解析全纯，遇到一个奇妙的实值积分时能够迂回地通过留数这个方向进行考虑，那么这门课程的目的就已经非常好地达到了。

不过在平时也有一些很不好的现象。使用的教材的课后习题答案是有流传的，然鹅呢……其实抄没抄答案助教批作业的时候两三次就能推个大概，一学期准能猜个七成，（尤其是在一些题目和答案的题号都对不上的情况下）部分同学在这门课上下了多少功夫自己也应该有一个大致的数。

本学期我在一些朋友和舍友的帮助下，按照复分析的标准写了一个完整的讲义可以用于同学们自学。在最后一次习题课的时候发布了。当时认为这已经是完备的了，然而从考试来看，很多地方的叙述以及内容的排布还需要调整，因此也就暂时不公布了。

这个学期和我搭伙的另外一个助教也非常强悍，几次习题课基本上把往年题目中较为有趣的部分全都覆盖掉了，甚至习题课直击考试压轴题原题。（虽然从考试的结果来看依旧非常凄凉）。

以上便是本学期课程的总体情况。

下面是一些碎碎念。

这是我第一次带助教，没有什么经验，而且因为一些凄凉的原因，我的课程量不仅比较大（6门数学课），还因为某组织去年运行的问题一怒之下去任了个会长以期能改变现状，整个事情划下来就是非常多的任务，所以在各个方面一直都处于一个时间精力完全跟不上的状态。在任这门课助教的时候，有很多工作也确实没有做到位。比如随堂是几乎没有的，批作业不能做到当天交当天批，只有在周六下午作为答疑课的时候去批。讲义的进度也是一拖再拖，直到结课后才勉强写完120页，还没有校对和整理完毕。最终的版本打算后面再在这里贴一下并且借一个朋友的公众号发出来。这里给一个暂时的版本。（还请不要去掉水印和编码悄咪咪投放到xhs上当成自己的）

复变函数讲义(基本完成但未校对版).pdf

后面很多的表述因为当时时间有限，基本就是全抄suki怀的那本了，抽时间再给他重述一遍，显得我比较有脑子（点头）然后再在最后出一个名词索引之类的东西方便大家考前速通。

有很多同学问我问题的时候我第一时间没看到或者没法及时回复，有一些问题回答的也并非尽善尽美，在这里也非常感谢大家的理解与支持。

现在这门课程也已经进入尾声（只差总评了），虽然卷面成绩比较凄凉，但是也已经尽量地捞大家了，所以不用太过担心。

以及还是希望大家能够把这门课里面的一些东西记住，一方面以备不时之需，另一方面，著名教育学家孔子也曾经说过：

找围道，细思可以

这句话的意思就是当你想不出来该做什么的时候，试着找一下围道积分，仔细想想总是可以做的（迫真）。

最后呢，鉴于今日评课社区流行各类诗作点缀，辅以小说创造长文，鄙人不才，但也在此赋上一篇，与君共勉。

做复变函数B助教有感

半期未乘火箭去，唯余十周空悠悠
复见变化含妙数，转闻周公觅钓钩
东西横亘遥相望，高新纵目难度量
荐书五行至云上，方得三人聚一堂

化虚为实引真我，辗转平移辩真心
全纯解析断有尽，柯西黎曼算常新
积分变换寻路径，奇点展开求幂零
围道圈尽天下事，留数算清万物灵

期末一卷尘埃定，开拓前程需砥行
惟愿往者遇共形，前途敞亮风景明

9.2

上过2（其实是1因为第二次课去了计网）节课来写两句

是个比较沉默不拘言笑但是一笑起来非常羞涩的老师（？

人在第一排 听到老师讲着讲着声音会变小

所以自己其实容易走神

加上老师讲得比较快 然后就可能漏过一些点orz

但是亲测 不走神的时候认真记下板书理解老师讲的每一句话 收获会很大

当然还是有一些点老师上课不会讲到 需要自己课下看教材看教辅来补充（我觉得确实不是我没听到吧（

班上钱班大佬很多 但是我跑不掉了呜呜呜

助教好可爱

补一点后续：

好几节课听不懂，，上课的时候真的感觉很死亡

感觉老师很认真但讲课经验确实还是不足

以及周三的早八好像还是有几次献给了计网

考试的那个周末 前一天ics 早上toefl 晚上复变

真的很折磨，，考到寄也是在情理之中

拉普拉斯变换那道大题一整个寄

难题磕了很久但没完全对

简单题也有小错误

但不过卷面成绩算上去刚好能优秀 也就没有难受很久了

12.5

出分力 看到成绩 还被提上去了两分

（虽然还是把我上学期打下的总评分数拉低了0.04x

（好想挂一个没去几节课被我催着考前两天速成然后nm比我高一大截的人艹

总之真的很感谢助教 不知道说了多少次cyq平时分-- 但还是没有扣下手

（感慨一点点这学期真的太难了 出现了一点短时间难以适应的变故 谢谢助教捞捞复变安慰只有我受伤的世界里的我

老师人也超级nice

早就该来评了，今天才想起来

老师上课纯板书，这一点个人感觉很不错，坐第一排认真听老师讲收获挺大。

作业布置的也不多，对课多的人非常友好

至于考试一如既往地是大量计算，只恨自己算的太慢。

给分相当好，很捞。去查过卷，能明显看到是重新捞了一遍。在bb上先出卷面，再出总评，总评直接捞了一档。结果在jwc出分之后居然又来了个惊喜，再度被捞了一档，可见奶力之强。

总之如果你想选一名能听课的奶王老师，那么我很推荐。

复变B我学的也是一知半解，对课程内容不好多说什么，但是周老师值得打10分。

我是为了22秋凑三休课表“不得不”选择周老师的课，当时因为是新老师的缘故心里也比较慌张，事实证明这个选择十分正确。周老师可能也是第一次登上讲台，讲课比较拘谨，但其实人非常活泼，也很乐意听取同学们的意见，比如拉麦的的位置之类的（虽然还是经常忘记xs），作业留的不多，上课也不点名。

考试的卷子与往年相比有很大的区别，考场上心态发生了一些微妙的变化，当时考完觉得全寄完了都要6月31号考复活考了，结果查卷子之后，没想到老师看卷子放大水，我一个积分上下限标错，导致结果算错，5分只扣了一分，感动子。这还没完，算完总评四舍五入刚好卡在89，感觉寄了的同时，周老师又在某神仙lqh助教的劝导下没卡我们的寄，直接喜提4.0，说实话感觉自己的努力配不上这个成绩，但是周老师不为难学生、给分之好可见一斑。

lqh助教真是绝绝子，考完了一直还当我的情感导师，笑嘻了

还吃了他请的火锅

算是选课的意外收获了，看到了别打我

近年复变函数似乎不调分了，讨论给分没有意义

老师应该是刚教这门课，甚至有些腼腆（雾

上课收获不是很大，开头讲的飞快，后面拉普拉斯变换和留数感觉备课不充分，经常卡壳，网课期间翘课一次自己看书半个小时发现看到了下节课的内容？（一节课到底讲了点啥呀）

老师板书真的很小，本人坐在第三排还是看不太清最后干脆摆烂不听，看书自学，最后卷面似乎最高（看来大家也都在摆烂，雾）

考试题量很大，提前十几分钟写完卷子检查了一遍改了几个计算错误（千万不要算错，否则一定会后悔选了这门课）

老师助教人很好，给加点分，不过收获上感觉真的有点失望

先给个10分，出总评再视情况调整😋

周老师讲的很好，深入浅出，虽然声音有点小（不过我坐前排也没什么影响）

作业不是很多，难度也不大，但考试题里有作业题里没涉及的题型，不看往年卷的话可能有点难（不过对各位大佬们来说应该不算什么）

期末考试出分了，没有成绩分布，但从别的班的成绩来看，我的成绩还算可以？老师说总评按三七开，不知道调不调分。

出分了，一分没调，与隔壁班上调了九分形成了鲜明对比

老师很有实力，上课经常现场推导各种公式，不过可能声音较小+语调比较平缓，导致本人经常会走神，后面基本就没怎么听课了，就是自己看书学了。平时上课不点名不小测，作业的话留的很少，一周4～5个题左右。

助教超好，习题课讲义很详细（虽然由于起不来的原因一节也没去听），一位助教讲了不少往年题，另一位助教直接出了一本复变函数讲义，内容非常多，甚至有一些复分析内容，感觉用于不那么速通的复习还是不错的。想速通的话可能有点难，毕竟100多页呢。

考试的话有点难评，计算量巨大，不过证明是往年原题，但是往年那个题有（1）作为提示，今年这个没有，幸好我做过往年题，考场上5分钟写完最后一题😋。但是我说这个考试的计算题就是耐力赛，真的累啊，算到后面几个题真的想趴桌子上晕过去……好在最后勉强答完，分数也挺满意的（）

本学期唯一一节早八就是周二的这节课，半学期结课后没早八是真的爽

总之这里是危险边缘的一只菜鸡，复变可能要面对重修的命运，在出分之后打算等老师捞捞了。

考试爆炸这种话最好不要轻易说出口，但是我看见自己的成绩之后深刻地觉得还不如挂了然后补考呢。

老师讲课声音有点小，但是不妨碍老师讲得很好这件事，助教酱也很好很负责，本人之所以考成菜鸡是因为本人太笨的缘故。等jwc出分后会更新评论。