大四上的夏银华老师的有限元，研一为了学分再上一遍，明显感觉两位老师的讲法有许多不同。

有限元方法作为求解PDE的数值方法，无论是在固体力学、流体力学、还是电磁学中都有广泛的应用。

教材有两本，一本是Johnson的 numerical solution of partial differential equations by the finite element method，另一本是Brenner的the mathematical theory of finite element methods。从名字上也可以稍微看出来两本书的侧重点不同，前一本问题与例子更多，后者的数学理论更加的细致。我个人建议主要看Brenner那本，用johnson 的例子与习题作为补充。

徐老师会讲的非常细来降低我们的理解难度，所以相比于夏老师讲课进度要慢一些，第六章的多重网格作为现在解线性方程组的非常好用的解法并没有讲，但最后几节课补充了间断有限元（DG）的理论。编程的难度相比夏老师要低一点，但作为训练帮助理解完全足够。

预修课程：泛函分析，微分方程II（没学过微分II看Evans Chap5足够），数值代数，数值分析（后两门课必须会）

实际上PDE2徐老师是默认大家没学过,讲了sobolev空间，也布置了一些简单的泛函题目。

下面是 每一章的具体内容

（0）PDE的基本知识，变分问题和极小化问题，1维possion方程的一整套有限元做法，包括方程弱形式、有限元空间、基函数的计算、刚度矩阵计算、简单的误差分析。学玩这里实际上有限元的一整套流程就已经搞定了，后面的都是流程中每一步的普遍性理论。徐老师在这花费了大量时间去讲编程的细节，包括二维的局部刚度矩阵与全局刚度矩阵怎么编程计算。（ch0）

（1）sobolev空间理论，因为有限元使用的是方程的弱形式，所以需要介绍弱导数以及对应的函数空间。这部分的作用就是建立方程的弱形式以及后面的误差估计。(ch1)

（2）最开始讲的只是一维的情况，这里讲n维椭圆方程（possion）的模型问题，涉及三类边界条件的处理（ch5），以及使用泛函证明解的存在唯一性（ch2）。这里徐老师还补充了很多johnson书上有的方程的例子，包括双调和、对流扩散。

（3）有限元空间的构造。（ch3)一维就是简单的区间，但二维就有了各种三角单元、四边形单元，每种单元的基函数、对应的节点都不同，适用的 方程也不同。必须要明白每个有限元问题需要用什么空间最好，学会证明单元的连续性、唯一性，一般双三次多项式就够用了。

（4）误差估计。(ch4)思路是使用cea定理把有限元解的误差转化为多项式插值误差，徐老师并没有使用泰勒平均多项式和Brumble-Hilbert定理这种通用性的证明，而是用等价范数定理证明了常用的结果来更好的理解。

  (5) 弹性力学问题与stokes(简化的流体）问题。（ch11、12）主要就是处理散度div=0这个条件。徐老师只是简单介绍了问题，提出了非协调有限元的概念，并没有完全讲完书的两章。

（6）非协调有限元。（ch10）介绍非协调元的优点、构造以及误差估计方法。这里不细说了因为需要学完前面的才懂。

（7）带时间项的问题（抛物与双曲方程）。其实就是加了一个时间项的离散，和NPDE里面的格式一样。需要会欧拉向前、向后、CN格式的稳定性分析。

（8）间断有限元。最后几节课都没几个人听了，如果不是NPDE方向不听也没关系。

考试范围是0、1、2、3、4、6、7。实际上期末就是0-4，考的就是最基础问题的核心思路。前三题都是弱导数和一些范数不等式，第四题是基函数的连续性唯一性，第五题椭圆问题的存在唯一性（方程是不满足强制性的，不能用Lax-Milgram定理，不过时间紧我也没举反例，举反例有些线性常微分的知识应该也能举出来），最后一题是双调和方程的一整套，包括弱形式、有限元空间、基函数、误差估计，实际上是johnson那本书的一个习题，需要用到三次hermite插值，22年9月的博资考也考了这题。我最后拿了95分，毕竟学过一遍了，要是还考不好我都没脸读下去了。

总的来看这门课还是比较硬的课，但徐老师讲的非常细所以只要跟着问题不大。计算方向一定要学这门课。还有一些别的学院的比如地空、力学的也有选的，但没学过泛函和PDE2面对一大堆的函数空间和不等式感觉会很痛苦。

2024.1.4：

这次作为助教再来点评一下

昨天考完后干到晚上十一点多把卷子改完了，先说一下考试题目

第一题：问狄利克雷函数是否有弱导数（几乎处处为0导数自然是0）

第二题：三角二次单元的基函数、唯一可解性、连续性，题目不难，但因为卷子有错误写的是双二次把很多人搞晕了

第三题：函数被直线分成两部分，每一部分都H1，证整体H1，这是去年的参考练习第一题，群里有答案的

第四题：插值误差估计，第一问L2，第二问L无穷，基本就是holder不等式算

第五题：双调和但是多了一个二阶导，边界一半强制一半自然，弱形式、存在唯一性，有限元空间的基函数和维数、误差估计。和双调和本质上没区别，习题课提过，考前两小时还在群里说了一定要三次hermite

第六题：二维的线性椭圆方程加robin边界，要给出弱形式和反推原方程，以及能够保证适定性需要的参数条件，

慢慢分部积分就能搞定前面，参数基本没有写对的（助教都觉得太复杂）

前三题很简单，后三题有难度，改卷子几乎是往死里捞了，能给的分都给了，但架不住一部分人送分题拿不到分。

最后说一下助教的经历吧。

开始有110个人选，经过劝退最后剩了90个。刚开始因为程序强制要求使用北太天元加上我限制程序时间被部分学生骂，第一次程序大部分都达不到时间要求，本来是想上一次习题课讲一下程序，但徐老师说写程序靠学生自己没必要就没上，在我把我的代码发群里之后大部分人也都能达标了。因为北太天元写二维的程序有BUG，二维的都是用matlab了。书面作业抄袭极其严重，每次改作业都很明显这几份一样、那几份一样。答案都是写的很详细发群里了，我真不明白做了那么多题目加上习题课专门总结，还有那么多人连弱形式的空间都写不对。上课不认真听，作业也不自己写，小测和期末考炸了只能说自己活该。最后给一个忠告：这门课需要的时间可能比你其他所有课加起来还多，水学分的能不选就不选（计算方向的研究生课实在太少，很多人都没办法只能选这个，学院能不能多开两门课），强烈建议学完PDEII再来学有限元，虽然上课会讲sobolev空间，但只讲定理不讲证明，结果很多人还是不明白这些定理是怎么用来解方程的。