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下学期（2025年春） 张老师的博士后 Sungho Kim (韩国人 中文名：金省澔）要教辛拓扑初步这门课 课号：MATH6437P 4学分 80学时。

这门课张老师在2023年和2024年春季都教过，介绍了辛几何的基础知识。Kim上课的话也会基本按照往年的教学内容（应该是2023年，即我的评课写的内容）来教授。

另外，张老师在2025年秋季要开设一门辛场理论的课程（较高级别），需要一定的辛几何基础作为前置知识。

鼓励和建议感兴趣的同学选择下学期Kim要教的这门辛拓扑初步的课程。这是一个本研同堂的课程，本科生和研究生都可以选。感谢！

这门课的课程简介里写了很多，老师第一节课也画了大饼，claim每1.5周一个topic，15周可以讲十个topic，实际上没那么多。
Lec1讲的是最基础的setting，辛流形的定义、例子，辛微分同胚，拉格朗日子流形，哈密顿同胚，都比较简单，MS和AC上都有比较详细的介绍。
Lec2介绍了哈密顿动力系统，最开始的来源就是哈密顿力学，可以参考1612.03100，课上讲的都是最简单的版本R^2，之后考虑连续对称性相应的群作用，可以得到moment map，以及相应的凸性定理（AGS）,用moment map可以很容易地写下诺特定理，最后介绍了阿诺尔德刘维尔定理。
Lec3介绍了切触几何，可以认为是奇数维版本的辛几何，将辛几何中的元素可以一一地翻译过去，最后介绍了orderability，这与切触版本的不可压缩现象有关。
Lec4则是Moser技巧，可以参考Usher里的第四章。
Lec5是Floer theory，可以认为是无穷维版本的Morse理论。先讲了Morse理论，再把它用到了Ham Floer theory上，其中模掉了所有的分析细节，需要分析的地方都打包到几个当作事实给出的定理中了。Audin的书上有更多更丰富的细节，但似乎不具有什么启发性。其中提到了presistent module，这是一种很有意思的定量刻画拓扑信息的手段，整个理论只有两个定理，一个是像利用Morse同调计算出sublevel这种带filtration的presistent module在一定的有限性的条件下可以唯一分解成一系列区间，另一个是代数定义的presistent module间的距离和一系列区间组合定义的距离是一样的，称为稳定性定理，它表明了利用拓扑计算出来的数据有一定的鲁棒性，不会因为噪声而产生很大的偏差，这在拓扑数据分析里很重要。在几何上的应用在引入了Hofer度量后可以看到，几何定义的度量可以被代数定义的控制，而代数的不可计算的度量又被分解定理转化到了可计算的组合的度量，从而我们可以用可计算的量来控制不可计算的几何量。两个定理的细节可以看1904.04044第一部分。
Lec6是Quantitative Characterizations，介绍了Hofer度量和辛同调，可以参考1904.04044最后一章。这个课程的高潮在最后用辛同调证明了Gromov non-sequeezing定理，非常干净漂亮地就给出了传统J-hol curve需要一个学期的铺垫才能证明的结果。周正一在国科讲过使用J-hol curve的证明，可以看这里。
最后两周的Lec7不知道会讲什么，如果有心情了再来更新吧，。，

(假装有分割线)

最后没有讲本来预定的Lec7，也就是量子上同调相关的内容，而是讲了一些补充，Floer continuation map，toric domain和拉格朗日子流形的刘维尔类，考试不考。 平时作业是每个Lec一次，一次十道(除了Lec4太简短只有五道)，每次作业都会写的满头大汗，而且因为交作业的人少，老师会亲自看，压力很大。但每次作业收获都挺大的，作业是课堂内容的拓展或者算例，可以通过算例温习课堂知识，帮助理解，我现在也会偶尔去翻之前的作业，确实非常有用。 考试的话，期中开卷，写的满头大汗，期末闭卷(默写)。 下学期应该还有辛拓扑课，大概会讲量子上同调，最后同构到Floer同调tensor一个系数，与上次课统一起来。

老师也给了下学期的课程大纲，基本按照这个内容来讲(Chapter7-Chapter10)，但是从辛几何的基本概念讲起，不需要上次课程的前置，仅10%左右的内容和上学期的重复，多数的内容都是新的内容。

2024春_辛拓扑初步_参考大纲.pdf

更新：Ritter最近在更一门Morse理论到Floer理论的课程，之前读过他写的Morse理论讲义，还是比较有收获，推荐一下。 

大三人，学破防了来吐槽。上课跟听报告差不多，全都是抽象的理论，几乎没有定理的证明，但作业计算，证明为主，上完课基本都不会做。期中考试跟学的东西关系很小。

老师按自己的讲义讲的，但讲义不发，讲的东西巨多，但简化了不少，回头去看salamon的教材也得重头看，直接跳到对应的章节不太能看懂。

不建议选，太抽象了，听完一学期也就学到了名词党的水平，什么证明都不会。看相关的内容还得自己去补各种命题的证明，所以也不建议想学辛几何的同学选课，不如直接去看一些更详细的lecture。

但当听报告一样旁听还是有趣的。

最后列一些参考资料（我自己写作业的时候找的，作业里面不少结论都能在里面找到，但这些参考资料远远不能cover课上提到过的东西）

1. Symplectic geometry: 参考salamon的教材

2. Contact geometry: Geiges “contact geometry”, chapter 2， 一本handbook；张老师的论文 “Cjekanov’s dichotomy in contact topology”, section 1-6

3. . Floer theory: F.Laudenbach “Symplectic geometry and Floer homology” 证明推导简洁详细

4. Metric on contactomorphism/Symplectomorphism: Shelila Sandon “Bi invariant metrics on contactomorphism groups”

5. Arnold’s conjecture: Marek Kurczynski “Langrangian submanifolds and Arnold’s conjecture”.

不过老师给分还是挺好的。

       大四狗，旁听了大部分课程内容吧，来写一写本科阶段最后一个评课。个人觉得收获挺大，很符合我对这门课定位的理解。辛几何、切触几何本身是一个内容极其丰富的领域，而另一方面相比经典的微分几何、代数拓扑之类的学科，大部分同学应该对其感到更陌生一些。在这样的情况下，通过讲概论而不是讲细节的方式可以让学生更容易走进这个领域，让真正感兴趣的学生可以很快了解不同小分支在做什么，为深入学习提供方向和动机。

       另一个觉得课程好的原因是个人觉得老师讲的还是不错的，历史、动机和基本的证明逻辑讲的很清晰，很容易就听明白。大体上没有按照某个参考书念，而是自编的讲义，我觉得可能也算我本科期间听到的质量不错的授课了。

       因为懒得记笔记，没办法很细地列举课程内容。或许其他同学可以补充一下。