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现在是本人在NUS做博后的最后一个学期，在这边教了两次本科PDE的课程。近期听说科大的微分方程1（微分方程引论）未来会拆回“常微分方程”和“偏微分方程”两门课（具体时间未知），那么这样的话我就删去之前我对“微分方程1”这门课的一些看法，单独聊一聊我在NUS教PDE1这门课的想法。

1、课程内容

目前科大微分方程1的PDE部分使用的是周蜀林的《偏微分方程》，我觉得这本书当成一个讲义凑合着用其实还可以，但是写得很一般。因为椭圆方程那节是抄Evans的2.2节，而热方程、波方程是照搬姜礼尚的《数学物理方程》，后者则在动机阐述上做得更好，同时还讲了物理背景和如何严格定解边值问题。

对于一学期的“古典偏微分方程”课程，我个人对这门课的设计思路不同于上面两本书，我目前倾向于按求解方法的不同将课程划分为：特征线法、傅立叶方法/能量法、边值问题分离变量法、极大值原理，如果有时间的话可以讲讲Schauder估计和广义函数（严格推导“基本解”，不需要引进“弱解”和Sobolev空间）。整体的设计思路是结合了UC Berkeley数学系的Sung-Jin Oh教授的MATH 222A讲义、我在NUS教课的讲义、以及北京大学偏微分方程的课程内容。具体可以参见我的新主页。

第一部分：预备知识

（1）最小作用量原理（这部分其实就是讲讲）

（2）一阶方程的特征线法、Burgers方程

（3）一阶方程边值问题的定解

第二部分：R^d中的波动方程与热方程

（1）R^d中的波方程求解和有限传播速度（Evans 2.4节）

（2）傅立叶变换求解热方程、波方程、薛定谔方程，衰减估计等（参考姜礼尚第3章或者Stein傅立叶分析第6章）

第三部分*：震荡积分简介（Stein泛函分析第8章2、3、6节，以及Evans 4.5.2节）

（1）震荡积分的衰减估计

（2）曲面测度的傅立叶变换

这部分主要是将波方程和薛定谔方程结合起来讲，二者都可以用傅立叶变换求解，都是色散方程，解都可以写成震荡积分。（2）的结论恰好解释了为什么二者衰减速率不一样。此外，震荡积分Asymptotics的一个物理解释是波动光学到几何光学的逼近过程（见Evans 4.5.2节），整个证明过程就是（1）的证明。

第四部分：一维边值问题的分离变量法（参考姜礼尚的书）

这部分算一些简单实例就好，比如波方程的共振现象、热方程的指数衰减、求解特殊区域内的调和函数（至少要讲圆盘的情况和欧氏空间径向解的情况）

第五部分：极大值原理（Evans 2.2、6.4、6.5节等）

（1）调和函数的基本性质（平均值原理、极值原理等）

（2）线性椭圆算子的极大值原理和Harnack不等式（对数梯度估计）

（3）(-Δ)的主特征值变分原理（分离变量法的理论基础）

（4）热方程的极大值原理

第六部分：位势方程的求解和Schauder估计

（1）R^d情况的求解、格林函数法

（2）位势方程解的C^{2,α}估计

（3）*Dirichlet边值问题的Schauder估计和存在性定理

  第七部分*：广义函数与基本解（参考Sung-Jin Oh的讲义或者Stein泛函分析第三章）

（1）分布的定义、基本运算与光滑逼近

（2）特殊类型：缓增分布、支于单点的分布、齐次分布

（3）位势方程、热方程、波方程的基本解推导

关于进度：我在NUS教课期间大约能用11周（每周4课时）讲完前五部分（除去1.1）和第六部分第一节，而且是讲了一些傅立叶级数和傅立叶变换的预备知识，其中震荡积分固相法的证明中简化处理了Moser lemma的证明（参考Muscalu-Schlag调和分析第四章的简化证明），Harnack不等式的对数梯度估计只讲了调和函数的情况，而且不考。整体来看，上面的内容可以看成是半学期傅立叶/能量法+半学期逐点估计。

所以如果是3学分的课程，那么可以安排上述内容第1、2、4、5、6部分；如果是4学分的课，则再以第3、7部分作为进阶内容讲授。选取第3、7部分为“进阶内容”则是出于与后续分析/PDE课程衔接的考量，例如引进广义函数之后可以较为自然地衔接后续课程出现的“弱解理论”，而震荡积分则是调和分析的核心内容。

关于预备知识：我觉得最需要的是Evans附录C的分部积分公式，史济怀数分第17章Stein的傅立叶分析第2、3章（傅立叶级数）或者、以及Stein的傅立叶分析第6章（傅立叶变换）。实分析和泛函分析倒是不需要多少。

2、学习建议

学微分方程是不可能摆脱巨量计算的，因为微分方程本身就是将各种物理现象、几何对象用各种分析工具做到很精确地量化刻画而不是定性说明。各位以后如果学到调和分析、PDE2就会对此体会深刻。

但是除了能算、算对以外，更重要的是你要知道正确的计算方法，以及为什么你学的计算流程是这样的而不是那样的。前者需要大家有足够的耐心，花至少2周的时间去搞清楚一般维数的分部积分公式、散度定理是怎么用的（比如自己还原出Evans 2.2、2.4节的所有计算细节）。后者，则是需要老师上课讲出来各步计算的动机。自己则需要通过仔细验证细节+反复斟酌计算过程来摸清楚里面的来龙去脉，体会PDE的计算方式。

学习偏微分方程，课后回去重复一遍计算是基本要求，不要叫苦连天。

关于自学：我觉得Sung-Jin Oh的讲义其实是很好的资料，里面写了不少他自己的理解。个人认为在学习微分方程的过程中，必要时候应当牺牲一些严谨性，先求得对PDE自身结构和性质的理解，“预测”出解的性质或者联想一些比较简单的例子，再想办法严格证明各种论断。

3、关于后继学习与方向选择

同样，可以参见我的新主页。

科大数院近年毕业生里面分析和方程做得好的人数不比所谓的TOP2少，这和科大数院开设几何、分析方向课程较为完全有很大的关系。方程本身需要的知识储备并不多，想从事微分方程理论研究的同学，请在修读课程的同时，适当时间点上找一个靠谱的老师做大研，早日上手读专著读文献比死读课本强十万甚至九万倍。学基础知识的时候也不需要太过纠结于背诵定理的的证明，更多的是要形成自己的理解，对不同类型的方程找自己的“感觉”，以及勇于攻坚克难的决心和毅力。

在学的时候可以问自己一些问题：

自己是更擅长逐点估计，还是积分估计？

自己是更擅长数学分析A1/B1里面的“技巧”，还是更擅长数学分析A3+实分析的“框架”？

自己是更擅长极大值原理的构造，还是傅立叶方法和能量法的运用？

自己更喜欢解决简单模型里面的古老难题，还是不怕艰苦去挑战复杂模型的基本问题？

选研究方向之前，最好想清楚上述几个问题。剩下的就看自己进入什么方向，自己能挖掘什么样的问题，这需要真正的造化和运气。

———分割线以下是2015年的PB13001112———

关于老宣的课堂：

这年的教材是《常微分方程教程》丁同仁（1~6、8章节选），Evans的PDE第2章和第四章前两节。ODE内容大概是各种计算，还有ODE解的存在唯一性定理（皮卡迭代、欧拉折线等）和少量平面动力系统的科普。PDE部分重点讲四类方程（热方程采用傅立叶方法）+分离变量法。

老宣风趣幽默，上课经常迫真冷笑话，，，起初上课很慢，讲课非常详细，好像在教小学生，常微分方程甚至讲了三个月。而且他在三个月内讲完ODE得益于中途让赵老师代课两周，这两周我们直接从丁同仁那本书第三章飙到了第六章。然而他发现PDE没太多时间讲了，所以上得比较快，最后Evans那本书上了第二章+第四章前两节，按计划应该是要上完第四章的。老宣其实在PDE部分讲得非常好（有一部分同学吐槽他讲课太快了，大概是因为之前太慢了），当然你要体会到这种“好”，得课后花时间去自己check书上的细节。

作业不多，每周大概5~10个题。有人说PDE作业计算量太大了，可PDE重要的就是计算量吧。最后的考试并不困难，期中考试都是常规题，期末考试除了一道计算题其它都是默写定理证明题（当然题量非常巨大）。总评按20作业+30期中+50期末给分，小论文+0~5分，没有调分。

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要记住，这可能是你在数院遇到的第一门具有挑战性的课程，不要指望再有数分和线代这种仁慈的课程了！你特么已经大二了！

希望这门好课不要被浪费掉，，，