我是这门课的助教，我于大二上学期修读了这门课（任课老师是盛茂），并于大三上学期/大四上学期，两次担任这门课的助教（任课老师是宋百林）。总的来讲，这是几何与拓扑方向的最为重要的基础课，是很多后续更为现代的几何/拓扑课的前置。作为上世纪的黄金学科，代数拓扑涉及的内容非常丰富（其实这门课开两个学期更合适），学完科大这门课，如果对这个方向感兴趣，可以继续学下去。

所需点集拓扑与同调代数的前置知识：

1）知道什么是紧。

2）知道什么是Hausdorff和弱Hausdorff。

3）知道什么是连通，道路连通。

4）知道两个拓扑空间之间的连续函数空间。

5）知道什么是紧致生成空间，这一个非常重要，代拓这门课所涉及的所有空间都是紧致生成空间。

6）熟悉一些范畴的基本语言，至少要知道什么是函子，什么是函子的自然变换，函子的左/右伴随保逆/正向极限。

综述：

代数拓扑，顾名思义就是用代数去研究拓扑，用比较专业的语言就是讲：建立从“拓扑空间范畴”到某个“代数范畴”的函子，研究函子是同调代数的内容，所以也有人讲：代数拓扑是把同调代数当成工具，用它研究点集拓扑。为什么要作这样一件事情？因为拓扑空间通常非常抽象，无法计算，很难想象......而代数范畴下我们是可以具体计算的，通过计算拓扑空间在这些函子下的像，利用代数的计算结果反推空间的几何性质，是这门课的核心思想。

这门课主要涉及以下内容：

（1）基本群与覆叠空间

这部分的内容是点集拓扑的补充，但是不同于“拓扑学”，我们会用更加抽象的概念去理解。把基本群推广到groupoids。Van-Kampen定理，覆叠空间，都会用groupoids的观点去讲。这里一个非常漂亮的理论是复叠空间的Galois表示：空间X的基本群为G，那么G作用可迁集合的范畴，X的复叠空间，X的广群的复叠，这三个范畴是等价范畴。这个定理相当漂亮，教材Hatcher 中没有用这么先进的语言写出来，具体细节可以参考PeterMay代数拓扑第三章。

（2）同伦伦

这部分首先会遇到很多概念：映射柱，道路空间，cofibration，fibration，CW复形，同伦群。。。理解这些概念需要多加思考其几何直观，而且要知道用范畴的语言如何描述，二者缺一不可。在同伦论的学习中，一定要搞明白一些核心的问题：

为什么CW复形非常重要？（胞腔逼近定理，Whitehead定理）一般来说：同伦一定弱同伦，但反之不对。但对CW复形来说，两个CW复形弱同伦一定同伦！这个就是大名鼎鼎的Whitehead定理！所以从这个意义上，把同伦弱化成弱同伦之后，实质上没有损失任何信息。

有哪些核心工具与技术？（Cofibre sequence与Fibre sequence长正合列引理，HELP引理）HELP引理是代数拓扑中最重要的定理之一，想要真正掌握，证明一定要多过几遍，它的证明有好多思想在里面。Hatcher很多定理和习题事实上就是HELP引理取特殊的(X,A)得到的。它的证明会在具体问题如何构造合适的(X,A)提供一些灵感。

为什么同伦群极难计算？（同伦切除定理，suspension定理）区别于同调的切除定理和suspension定理，同伦群的长正合列只在维数较小的时候成立，这就是我们为什么不能像算同调一样去算同伦。

（3）同调论

同调是我们为了研究同伦所发展出来的研究工具，本质就是满足一些公理的函子。这门课会学几种具体的构造方式：单纯同调，奇异同调，CW同调，De Rham上同调，Cech上同调，等等。但是，同调最漂亮的一个结论就是，这些用不同方式定义出来的同调是本质相同的（Hurewicz唯一性定理）。我们在同调代数中学过：Mayer-Vietoris序列，Kunneth公式，万有系数定理，等计算同调的一些方法。在代数拓扑中，我们需要会算一些具体的同调群，上同调环。同调在代数拓扑和同调代数这两门课中的地位是不同的：在代数拓扑中同调是研究工具，用来研究其他拓扑对象；而在同调代数中，同调本身就是研究对象，这个观点非常厉害，我们会用一些其他工具（谱序列，导出范畴，导出函子，等等）来研究同调。

这门课同调讲到最后，就是Poincare对偶定理，这是一个非常漂亮的定理，也是这门课的高潮，基本大家学到这个地方都会有眼前一亮的感觉。（学过微分流形的同学，利用流形的指标，可以把Poincare定理推广到带边流形）。

事实上，同调是一种特殊的同伦，利用Eilenberg-MacLane空间，可以证明上同调函子是可表函子，直觉上是一种对同调更加“内蕴”的刻画。在Eckmann-Hilton对偶的观点下：Eilenberg-MacLane空间可以看成CW复形的某种对偶（cocell），一个空间可以有胞腔分解，对偶地，“简单”空间可以写出Postnikov塔。

我们希望对拓扑空间上的向量丛分类，这个问题事实上也是一种“同伦”，引入“分类空间”的概念，我们可以把它写成一个可表函子[-,BO(n)]。结合上同调函子的可表性，我们可以考虑这两个函子之间的自然变换，这就是示性类。我们在微分流形中学过的Stiefel-Whitney 类，Chern类，Pontryagin类，Euler类，等等。都是不同的示性类。

科大代数拓扑所涉及的内容大概就是这些，但代数拓扑的内容远远不只于此。比如：Morse理论，Floer同调，拓扑K理论，指标理论，抽象同伦论（同伦代数），配边论，等等。有兴趣的同学可以进一步阅读相关文献。

关于给分：

这门课没有期中考试，从我担任宋老师两年助教的经验，老师没有特定的计算总评公式，而是按照A=max{期末卷面，期末*0.7+平时*0.3}算出一个排名，再根据排名给总评，优秀率在35%～40%之间。

总的来说，这门课是后续课程的基础课，对几何与拓扑方向的同学，强烈推荐认真学习。

宋百林老师的拓扑和代数拓扑是我迄今为止上过的最良心的课，收获很大，给分极好。总之强烈推荐，下面先说一下作业和给分然后再具体介绍一下这门课。作业很魔性，第一次是把书上的计算Torus knot的knot group的过程写一遍交上去，他会在写了想去讲的同学中挑几位上去讲（相应的写了想去讲的同学得分高一些）。第二次是他在三章布置了30-40道题，从中选了第二章的6个题交上去，也是类似操作。期末考试大概66分的题都是从布置的题目出，且其中一半都讲过，第一题24分写基本的拓扑空间的基本群，同调群和上同调群，这个也几乎是送给同学的。只有最后10分是新题目（这个第一问也比较简单，第二问比较难我还不知道有人做了出来。。。）最后总评我也不太清楚怎么给的，但是我见到的同学都拿了很高的分数，而且从考试方式来看我觉得认真做了布置的题目的同学拿高分是很轻而易举的事情。

教材是Hatcher的《Algebraic Topology》，是代数拓扑方面的经典教材，这个书的优点在于例子丰富，直观讲得好，缺点在于英语表述很怪，语言障碍略大，以及很多东西的说法不太清楚，需要自己多理解。内容是主要是前三章。

第一章讲的时间比较长，和拓扑学有点重合，不过基本群和复叠空间其实本来就比较难，难在比较需要良好的拓扑直观，宋老师非常善于形象解释拓扑直观，所以我是非常推荐来听宋老师的课的，很多拓扑直观他能解释的很到位，而且他很善于提炼思路，第一章里Van—Kampen定理和泛复叠空间存在性这两个定理证明非常的技术化，从中掌握其中的证明思路我觉得还是有必要的。当然我觉得讲的时间还是有点长了，挤掉了后面最为重要的上同调的时间。

第二章同调群内容要有趣的多，这部分大概花了一个多月时间，同调群主要内容是单纯同调和奇异同调的建立过程，Long Exact Sequence（需要对这个很熟练），Excision lemma（也是非常技术化的证明，需要用到重心重分，这个他上课也是只讲了思路），degree，胞腔同调（这个非常重要）以及MV序列。这部分内容需要一些代数不过感觉宋老师不太喜欢讲（我也不喜欢。。。代数还是自己课下推比较好）同调这部分Hatcher上题目还是比较友善的，而且很推荐做一下，而且对同调需要比较熟练，否则上同调学起来会有点吃力。

最后一部分是上同调，也是整门课最困难和最精彩的部分，当然时间已经完全不够了。所以只是强行开完了车，很多细节都跳过了。上同调主要是三部分内容 万有系数定理（同调也有对应版本），cup product、上同调环与Kunneth formula，流形的定向与庞加莱对偶。上同调的万有系数定理非常重要，其实就是给出了同调如何决定了上同调。而cup product这个东西给出了上同调的特殊结构（分次环结构），因此某种意义上上同调是更加自然的结构。这也是为什么上同调拥有更加丰富的几何信息在里面，后续的示性类理论将会进一步看到上同调的重要性。流形上的poincare对偶是一个非常漂亮的定理，事实上如果是de rham上同调这个结论有着非常清楚的微分几何上的意义，当然这里宋老师已经只是粗略介绍了，这不得不说是这门课最大的遗憾。

总体来说代数拓扑是一门非常困难的课，有抽象的代数概念，复杂的拓扑直观，高度技术化的手段。宋老师的课好在在内容丰富的Hatcher中提炼出了关键内容，并且对很多难以理解的几何想象部分做了清晰的解释。而且只要认真学了得分真的会好到超乎想象。

火车上无聊写写。代数拓扑应该是我这学期收获最大的一门课，助教讲的大概是代数拓扑这门学科所涉及的内容以及后续想深入学习所要学习的内容，但是一学期的课明显讲不了这么多内容，我就说说老师讲了哪些内容。给未来选这门课的学弟们一点建议。 课本和以前一样是Hatcher的《Algebraic Topology》。学习宋老师的讲的代数拓扑的前置内容：学过拓扑学就够了，但事实上，甚至只需要知道拓扑空间的基本定义和性质（紧致和连通和T2），商映射就够了。还有最好知道一些近世代数的环和交换群的性质。

Chapter 0: 同伦，retract，deformation retract. CW复形，以及拓扑空间的各种operation，这里老师讲了书上大量的十分有意思的例子。最后是同伦扩张性质（HEP），HEP的话了解就够了，其它的需要十分熟悉，尤其是CW complex.

Chapter 1: 这一章老师没讲，老师假定我们都学过拓扑学。但是最后几节课在讲完第三章后，老师大概介绍了一下基本群和复叠空间。 但是事实上，后面的内容也几乎很少用到基本群和复叠空间。所以不知道的话问题也不大。

Chapter 2:同调群: delta 复形，单纯同调，奇异同调（相对同调，约化同调）胞腔同调。单纯同调的话很好理解也很好计算，但是局限性很大，所以有奇异同调。奇异同调群的性质（事实上这些是所有同调群的性质 ，当然上同调也满足，Elinberg的关于同调群的公理化）：同伦不变性，剪切定理，（X，A）的长正和列，MV序列，splitting sequence.关于胞腔同调，CW复形的胞腔同调与奇异同调同构！这个十分有用，可以十分简单的直接计算出许多常见空间的同调群，以及给定同调群，构造对应的拓扑空间。最后讲了degree 的定义和一些应用，以及local degree.最后一节范畴和公理化的语言老师没讲。由于我觉得定理的证明不重要（太难了），建议可以直接看同调群的公理，然后熟记。看一看书上的例子，看得懂就OK了。

Chapter 3:上同调：就是链复形对偶的同调群。知道定义后直接看 UCT（万有系数定理）该定理涉及两个Functor，Ext（H，G）和Hom（H，G），不熟悉代数的话可以直接记住H是Z/mZ和Z时的情形，因为后续只会涉及这两种情形。同时该定理表明上同调可由同调直接决定。那为什么还要研究上同调呢？因为上同调有环结构。有乘积：cup product.这就是第二节，知道cup product的基本性质，记住 Kunneth公式和实，复射影平面的多项式环即可。第三节 主要讲流形的同调和上同调，以及之间的对偶。 需要记住流形的同调群的一些性质。Poincare对偶（可定向流形） ，Lefschtz对偶（带边界的对偶），Alexander对偶。记住以及会用就OK。这一节对我来说有几个不太理解的，一个是定向问题，一个就是带紧支的上同调（这个可能学过代数能很好理解）。

Chapter 4: 老师最后两节课粗略的讲了一节多一点（只讲定理及应用无证明）考试不考。

以上大概是这门课所涉及的内容，当然还有一些同调代数的定理，比如五引理和zigzag引理等等，还有一些基本的范畴的概念natuaral 和functor，这些都不难理解。还有Kunneth公式那一节的模和张量积，这些老师都要求不高。关于重要定理的证明，跟着老师过一遍就行了，知不知道问题不大。

总的来说，学了很多东西，导致在学微分流形讲DeRham上同调时，知道了deRham定理后不想听了。。。因为我感觉都是代数拓扑已经讲过的东西。上这门课的时候感觉挺难的，尤其是课后的作业题好难。一度觉得Hatcher这本书对我这种初学者不友好，看了一会儿助教推荐的别的书。期末复习的时候，为了应对考试，认真地把书看了一遍，懂了很多上课时不太理解的东西。强烈建议认真看一遍这本书！

期末考试老师都是在书上找的题目，但是没有一题是布置过的作业题。。。

2017的宋百林副教授半学期还停留在基本群和映射度的讨论。这些是拓扑学就应该讲完的内容。进度上落后了。

多年过去以后，他既没讲明白Poincare's duality（Hatcher书上的讲法算讲明白了，其实这也是庞加莱自己对这个定理的认知程度，但还可以更好），又没讲明白de Rham theorem. 居然还能忍受没拿到学位的19数-田JH助教这种误人子弟的弱智。换个人来教吧。这两个没水平的东西，把纯数学的“代数拓扑”变成了“套公式拓扑”。

如果你既不会证明Hatcher theorem 3.30，又不会证明de Rham theorem, 那么别人问你“你会代数拓扑吗？你学过代数拓扑吗？”你必须大声回答：“没学过，不会！”

吐槽助教这学期因为一些原因几乎处处没有干活

该助教完全靠某位同学的作业苟活😭

习题课也没有准备，瞎讲的，讲哪是哪

群里的问题也不想回