物理学中的群论(朱界杰) 2020秋 2019秋 2018秋 2017秋 2016秋 2015秋 2013秋 2012秋 2011秋 2010秋 2009秋 2008秋 2007秋 2006秋 2005秋  课程号:PHYS6002P01
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9.8(10人评价)
  • 课程难度:困难
  • 作业多少:很少
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
选课类别:基础 教学类型:理论课
课程类别:研究生课程 开课单位:近代物理系
课程层次:硕士 学分:4
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
点评 写点评
Louis114514 2018秋

我是18秋上的这门课。

首先说,朱老师这门课是很适合,至少对量子力学有一定了解的同学去学习的。对于一个物理系的学生而言,真正遇到群论,大概也是在量子力学和量子场论中。物理上所谓的群论其实在数学上大约属于群表示论的范畴(有时还包括李代数及其表示论)。什么叫表示论呢?群的元素本身是抽象定义的,但物理上经常面对的是量子力学的希尔伯特空间。物理学家比起抽象的群元素,更喜欢和希尔伯特空间上的算符(矩阵 in some sense)打交道,因为它们是更加具体的数学对象,更有可操作性。所以在量子力学之前,不需要认真考虑对群论的学习,因为不太用得上;反之,在量子力学中大家就应该好好考虑补充一些群论的知识了。朱老师这门课大致面向的就是这样的,对量子力学有基本的了解的同学。

朱老师这门课的内容大概包含群的基本概念,到有限群的表示,中间简要讲了空间群和点群,最后简单科普了一下李群和李代数。这对多数同学,其实基本足够了,很多时候物理上应用数学概念就像漫画里的角色在使用技能之前喊出技能名字,都属于只用个定义而已,所以后续内容请根据自己的研究内容决定。

至于给分,应该是科大给分最好的课,大概没有之一了。所以不必操心这方面,考试是开卷的,题目并不难。(朱老师会给样卷,你对着看看就行了)

群论的基本概念没什么好说的,但我建议大家每个概念都记住几个例子,并思考一下这个概念/定理有什么作用?(你觉得没用当然可以直接忘掉)。有限群的表示的部分其实用处不是太大(我不清楚它在计算物理上面会不会更有用),但conceptually simple。对于表示论,请大家好好理解不可约的概念,然后你发现舒尔引理其实就是把它用了一种更为方便的形式表达而已。这部分最重要的结果无非就是不可约表示的正交性及其一系列推论,比如特征标的正交性定理,可以快速帮你求出tensor product representation的直和分解。借助regular representation,我们构造出了有限群的所有不等价不可约表示。不过由于其维数过高,不方便计算。为了简化计算,又有了利用杨图构造表示的方法。

之后的内容我其实已经不太记得了,只记得老师匆忙间科普了拓扑和微分流形,李代数的部分则是简单记了几个结论,比如半单性的cartan判据,dynkin diagram。(不过我觉得这些东西仅从这个课是学不会的,多数同学也没必要去学。)

事实上,真要仔细地学习一遍李群和李代数的理论,尤其是其表示论,是很麻烦的事情,因为它在数学上同时牵扯到分析,几何,代数。例如你要先学习微分流形的理论,具体的构造,例如Haar测度,Peter Weyl定理又得依赖于分析学,对代数的依赖自不必说了。不过有兴趣多去了解一些基本的事实我觉得也是很好的。

如果你想看点角动量之外的例子,不妨试试Weinberg量子场论I的第二章。利用Poincare代数的不可约表示构造单粒子态令人酣畅淋漓,大呼过瘾。我想这应该是一个成熟的理论物理学家对已有理论必要的总结。(正如朗道之于力学,场论)

如果你觉得朱老师讲义的内容满足不了你,比如你想做比较formal的高能理论,经常需要计算比如so(24)李代数的不可约表示,那么我最推荐的方案是去看吴从军老师的note,他的个人主页是https://wucj.physics.ucsd.edu/,他在ucsd讲授群论课多年了,基本上把朱老师的内容全都cover的同时还仔细讲了很多李代数的表示论。(我选课那年因为时间仓促,朱老师讲李代数是用3h开飞车快速讲完的,基本上啥都没学会。)

此外,一些更加细节的东西,你基本上都可以在大黄书(conformal field theory)下册第13章找到,例如branching rule什么的,按需服用。第14章甚至包含了你可能用到的几乎所有关于Kac-Moody代数的内容。

对于做凝聚态的同学,我推荐Dresselhaus的书,有大量实际能带论的例子。(不过我没仔细看过,凝聚态人失格X()

当然还有其他很好的材料,例如gtm222,或者Georgi的,Zee的书,我不太想写书单,所以不列了。

我以前出于对数学的狂热,过分的高估了群论的重要性,现在看来,走了不少弯路。但无论如何,对physicist而言,学习群论最行之有效的方式就是去算。去把它们的表示给explicitly地写出来,去把李代数的data给全都推一遍。你总不能把计算细节留给作者:)

 

群论为什么物理上如此重要?我先给一个从凝聚态的观点的解释。上世纪60年代,人们惊奇地发现,在临界点附近,物质的微观细节不再决定物质的行为,起决定作用的是,空间维数,以及其对称性。这个现象称为universality,普适性。其实早在普适性被广泛认识到之前,朗道就已经使用了对称破缺的概念来刻画相变了。在这种观点下,抛开空间维数,我们可以放心地说,对称性决定一切。物质的相按它们的对称群进行分类,这就是朗道理论最核心的地方。(当然,这个故事还没讲完,感兴趣的同学可以自行了解)。

祝大家学得开心:)

2020-08-01 23:12 16 0
理论物理 2017秋

(冒着牺牲自己绩点的危险为后人收集信息。。。发现自己很伟大)

首先我讲一下这门课的课程内容难度。第一章,群论基础(就是讲一些群的基本概念,基本上跟数学专业的那个近世代数里面讲的群的概念一样)第二章,群的线性表示理论(就是讲用矩阵表示群,这一章的难度比第一章提升了一个档次,这一章的概念很重要,不可约表示等等)第三章,转动群(这一章跟量子力学的关系挺大的,当然我听到这一章已经完全听不懂了。。。这一章的东西很复杂,不变积分,紧致群,李群李代数,无穷小生成元我完全懵逼了)前三章是一个学期的重点,大概讲到11月份下旬的样子,开始后面的“大跃进”讲课。。。第四章,点群简介(真的是“简介”,我还没来得及理解就讲完了,而且就讲了一节课)第五章,置换群(这个讲的也是很简略,但是挺重要的),第六章,李群(上来就是拓扑学简介。。。)第七章,李代数(这个跟第三章有关系,而且这章都是最后赶进度赶掉的所以非常快。。。)

总之,知识真的是强行被灌到脑子里的。。。而且课后要花时间琢磨和复习,不然下次听课一脸茫然。。。

但是,这门课学了对以后的课程学习很有帮助!(我也说不出具体有什么学术上的帮助)。作为本科生,我学起来很吃力,我也看到我的同学接二连三的退课。。。(开始的时候我认识有将近10几个选这个课的我认识的本科生,最后我认识的还剩下不到5个,这个退课率可想而知。。)但是你坚持下来了你的感觉会跟别人不一样!还有,朱界杰老师真的人特别nice,特别负责任,平时下课可以缠着他问问题,课后发邮件也可以。考试之前他会亲自过来答疑,考试完了他还会发邮件给每个同学他们的卷面分,小题分,总评什么的(总评肯定比卷面高了很多。。。)

总之,选了这门课,你只要坚持下来了,考试之前认真复习了,最终你知识上和抗压能力上都会得到提高,而且最后的给分也不会辜负你的付出!

PS:考试题目肯定会考一个证明是群的题,一个邓金图的题,一个置换群杨图杨表杨算符的题,还有一个一定是李代数的计算题(无穷小生成元,对易关系等等)。考试之前有样卷,一定要好好琢磨。一共考五道题

2018-02-09 17:53 6 0
罗弋涵 2016秋

这门课加到本科生的选课列表里了, 谈谈自己上过的感受. 

首先是内容, 课程内容从字面看上去很多, 群论基础, 离散群的表示, 转动群, 置换群, 点群以及后面的李群李代数初步, 但是实际上完一学期课再回头看其实也没多少东西. 这门课的大部分时间都花在了群论基础, 离散群的表示以及转动群上, 前两个主要就是介绍并证明一些主要的定理结论, 而转动群主要通过SO(3)和SU(2)的表示带你看一看处理李群的基本思路, 并且让你对李代数产生一个很naive的感觉. 至于真正有用的李群李代数, 只是起了一个头, 这无可厚非因为课时有限, 如果对这个有需求的童鞋可以去超星找梁灿彬老师的课或者自己看朱老师给的参考书. 这门课上老师会提很多和场论等等有关的群, 给大家扩展知识面. 

我大四上学期蹭过半学期这个课, 研一完整上过一遍. 第二遍听的时候整门课的理解我没有感觉到困难, 上课方式是纯板书, 朱界杰老师的讲课水平不需要我说大家应该都了解, 所有东西都有条不紊, 十分清晰. 期末考试十分和谐, 平时讲的难期末考试全是白送分的题而且开卷. 

个人感觉很适合物院大三来选(其实这个时间点学群论对于某些人来说可能还是有些迟了), 虽然这是一门研究生课. 转动群那一章会把角动量耦合, CG系数以及Wigner-Eckhardt定理(不确定拼没拼错)都讲了, 这些对于学量子力学时候轨道角动量的理解有极大的帮助(那个学期物院正好在开量子力学). 

因为这门课是研究生课, 没有助教, 所以没有作业, 老师只会布置一些题, 做不做都无所谓

2017-07-08 22:42 5 0

楼上都给了朱姐姐很高的评价 看来都是认真学了

我从一个划水者的角度冒昧评价一下这课

因为我去的晚 每回都抢不到前排 上课根本看不见老师板书 最后直接不去上课了

算是认真地看了一下老师的讲义 感觉和上课讲的差别挺大的 所以还是建议去上课抢前排听一下

老师最后会给参考题 说实话挺有用的

考前突击了可能有三四天吧?最后89调到95 当然突击的时候有隔壁的julao帮助(他卷面100)

因为是开卷 所以可以提前去图书馆借一些书 随便看看上边的题

 

2019秋成绩

 

人数

平均

中位数

优秀人数

优秀率

不及格数

基尼系数

卷面

171

69.5

72

25

0.15

40

2.540

0.0602

总评

186

78.1

83

89

0.48

13

2.161

0.0539

2020-09-17 17:06 1 0
时生 2018秋

这门课真的太棒了!属于收获很多给分又好的课程!

先说收获:这门课先讲群论基础(基本上是有限群的介绍),然后讲群的线性表示,再讲转动群(转动群在量子力学里面真的太重要的,感觉和量子力学里面的角动量理论能完美地结合在一起)然后是晶体点群,置换群的表示,李群李代数。朱老师上课清晰简练,是我在科大遇到的少有的超有条理的老师,真的有超级深厚的数学物理功底!但是由于中科大教务处向来naocan,课时太紧了,一周只上两次课,对于这门研究生课来说真的完全不过瘾,朱老师每次都讲得难以自拔拖堂很久(我也很喜欢听啊哈哈哈哈)建议这门课改成6个学分,或者直接拆成两个学期,前半段学期的内容讲得很好,但后半学期的内容因为课时太紧讲得很粗略,啊!真的非常想听朱老讲李群和李代数,甚至李超代数啊!而且朱老师还超级有耐心,答疑什么的都会整理成文件放到网上,超级nice的老师!虽然很多细节没有补充,但总的来说框架还是搭起来了,后面的造诣就看自己了。

再说给分:我觉得可以当得上GPA之父的给分了,考试开卷,难度不高,平时认真听课复习肯定没问题,作业最好有时间做一下。我这一届有160个人选这门课(加上研究生),根据本人的卷面分数以及本人的总评估计给了十来个4.3,优秀率给到50%(超级棒!)

什么时候科大才能多一些这样无比适合物理学院学生的数学课呢?但提醒一句,如果是想水学分的还是别选了,估计你到第二章就听不懂,又不肯用心好好花时间,到期末肯定啥都不会,虽然给分很好,也救不了那些不用心上课不用心复习的人。

2019-01-23 12:54 1 0
以上 2018秋

信息量超大的一门课。

几门可以拿出来单独开的课合在了一起,变相地说明了这门课有多么的浅显,实际考试有多么简单。期末脑子抽最后一道大题没写,考80分拿了92的总评,这生猛的调分,这友好的难度,这科普般的知识量,还不赶快选?????

ps:作业还是要做一下的,否则绝对会爆炸。

2019-03-24 13:02 0 0
sunzt 2018秋

这门课内容非常多,主要篇幅在有限群的线性表示和转动群的表示,而李群李代数部分就讲得比较仓促。最后考试挺基础的,给分是没话说的。如果愿意在这门课上稍微多下点功夫,会相对比较容易拿4.3。

2019-02-19 21:26 0 0

又是一门话都被楼上说完的课……我就路过给个10分_(:з」∠)_ 

顺便扔个成绩分布各位感受下调分之猛烈_(:з」∠)_ (以下内容来自朱界杰老师的成绩通知邮件)

2018秋成绩分布
  人数平均中位数优秀人数优秀率不及格数基尼系数
卷面15659.961130.083712.9430.0899
总评16082.083780.4932.0560.0358

 

 

 

 

注:有4位研究生的总评成绩,是科大本科期间的成绩记录。

2019-02-18 13:46 0 0
Feanore 2017秋

       这门课实际上仔细讲了群论基础(就是数学上的一些定义和定理),离散群的不等价不可约表示,量子力学里要用到的转动群;后面的点群一带而过,只讲了一些基础思路,置换群内容讲的简略但是考试是肯定会出题目的(并不要求证明,就是用课上讲的规则画画杨图,写写杨表,再填填特征标表),李群和李代数讲的真的十分简略,基本上只给了定义和定理的结论,没有给出证明(一来朱姐姐认为物理学院的同学们不太关心证明,二来教务处给的课时太少了啊啊啊)。

       比较困难的内容集中在第二章,第三章(我是大二学选的这门课,没有量子力学基础,刚开始学时对第三章的逻辑没有把握好),需要课下多下下功夫弄明白;第五章的作业题一定要能全部做对,这是考试时的送分题,朱姐姐不会上传这一部分题目的答案,第六章和第七章里邓金图和嘉当矩阵要掌握好,实际上韩其智的书上给出了所有的单李代数的邓金图和嘉当矩阵。考试时其它的部分就要求我们要掌握上课讲的内容了,考的不难,弄清楚上课讲的例子就足够了,复习时要覆盖全面,不要认为课上没重点讲就不会考。

       给分自然是超棒了,卷面82——>总评93。

       大二的同学不要担心没有量子力学基础会听不懂这门课,其实是不需要提前学过的,只需要在讲到C-G系数前了解到量子力学的角动量理论就可以了。

2019-01-23 15:30 0 0
anonymous 2017秋

个人感觉课程难度还挺大的, 东西太多, 如果能开成两学期的课就好了.

虽然内容比较难, 但是朱老师很仁慈, 考试很水, 不用太担心.

2018-03-06 21:05 0 0

朱界杰

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