“我只教基本的玩意儿”

“有的书上说‘空间为体，矩阵为用’，这是李尚志老师说的。李尚志老师是我的导师，我不同意这个理念。”

“网上有人说矩阵是奇技淫巧，这是统治阶级对劳动人民的污蔑！”

以此为嚆矢，我开始了上xxds的第四个学期。

期中考前，wxm 发表了一些餐前（大嘘）演讲：

我出题从来不卡人，卡人的题都是欧阳出的

我出题只卡那些不来听课的

期中不来就不来呗，那就期末赌一把，反正期末是欧阳出题

期中81，期末77，计算崩得有点严重，不知道能不能上4。重修只拿3.7太亏了。

出分90，这个 wxm 开课前承诺的“样条函数”力度还行。

线代(A2)的期中是各自考，而期末，大概是是偶数年王新茂出，奇数年隔壁出。这个规律最近几年都适用，所以最好提前做准备，不然考到不少 A1 的东西，要是忘了，哭都没处哭。

之后有时间再写点东西

两年wxm，一生打洞情

所以，究竟什么是线性代数？

首先，线性代数绝对不是打洞，至少不只是打洞。wxm 和 mj 都认为，线性空间比矩阵抽象得多，学起来更难。果真如此吗？大抵是

矩阵只需要打打洞、算算标准型就够了，理解线性空间要考虑的可就多了。

两年的线性代数学习下来，我深切体会到把矩阵论和线性空间“串联”而非“并联”是多么离谱的做法。当然，到了后期术业有专攻，数值计算打洞用的多、纯数线性空间用的多。但直接给人分到两学期，尤其是 wxm 的教材，那就是大一下强度拉满，大二上课时用不完。

另外，矩阵未必真比线性空间“具象”。说矩阵不抽象，大概的 idea 是不需要空间想象，只需要在一个数表上做计算就行了。但问题是，不了解背后的几何直观，而是嗯打洞，算到最后只知道算出了个比较好看的形式。至于为什么要这么打洞？“因为这样能打出来。”对于初学者，这种没有什么动机的运算实在是无聊。很多大一下同学，既对线性代数这一学科没有宏观概念，又不知道它有什么应用，只是机械地打洞，很容易削减学下去的动力。

我也是在大一下快期末的时候看了 3B1B 的《线性代数的本质》，才知道我为什么要学线性代数。但那时已经接近期末，再去从头再来已经来不及。于是 A1 寄了。至于 A2，我当时并不知道“奇变偶不变”的规律，选了叶先生班，但 wxm 出题，遂再寄，用 3.0 刷新了最低绩…

所以，初学者选 wxm 当然可以，但一定要对各种矩阵理论背后的空间背景有所了解，不然很容易打洞打懵了，压根不想学下去。

什么是矩阵？

矩阵就是线性变换。那什么又是线性变换呢？保持线性性的就是。

怎么样，听懂了吗？没听懂说明你直接听 wxm 的课也是会卡住的。

以 2 维空间（也就是平面直角坐标系）为例，我们允许对向量进行拉长、缩短（缩成 0 都行）、旋转，但不能掰弯！就像那种推拉门，推拉的过程中支撑杆夹角有变化，但彼此平行、相邻间距相等。

由于给定两个基向量，2 维空间的点可以被它们唯一线性表示。而线性变换就是能保持这个“存在唯一性”的变换。我们要求变换后也能“线性表示”，这直观意义就是对 2 维空间中的网格进行伸缩、旋转，但保持相邻直线平行、且间距相等。

要做到这一点，我们要做的就是对且只对基向量进行变换，把它们从一对基向量变成另一对向量。举个例子，在 i=(1,0), j=(0,1) 基向量下，某点的坐标是 v=(2,3)，也就是 v=2i+3j。如果 i, j 线性变换成了 i', j'，那么 v 就变换成了 v'=3i'+2j'。假设 i'=(0,1), j'=(0,-1)，那么 v 在新坐标系下的坐标就变成了 v'=(-2,3)。

因此，我们用矩阵 A 去乘一个向量 v，那么相当于用这个矩阵对应的线性变换去“变基向量”，然后在新坐标系下 v 也有了新的坐标，这就是 Av 的意义。

既然矩阵是线性变换，那么矩阵乘矩阵自然就是线性变换的复合了。

还有一个重要的问题是矩阵能不能乘，与行数和列数有关。这是因为，m×n 矩阵左乘列向量，是将 n 维向量变成 m 维向量。m×n 矩阵是 n 维空间上的线性变换，只能作用在 n 维空间。

什么是矩阵的逆？

既然矩阵是线性变换，那么自然可以想到，矩阵的逆是逆变换，即“反函数”。当然，单位阵就是恒同变换（一动不动）。

那么什么样的矩阵可逆呢？别忘了，我们线性变换本质是基在变。如果我们把一组基还能打成一组基，那么这个线性变换才可逆。这也直接说明了可逆阵一定是方阵。如果不是方阵，例如 m×n，m>n 时是“升维”，凭空加了 m-n 个坐标轴，只要我们再把它去掉，那就无事发生，这就是说明它有左逆，也就是有个线性变换能让它“恢复原状”。但如果反过来，m<n，那么就是“降维打击”，你都给人家压扁了，怎么可能再恢复？因此它没有左逆。（右逆类似讨论）

而什么样的方阵才有逆呢？我们下面再讨论。

什么是行列式？

行列式的一种写法是 det A=|A|，那么我们会第一反应想到某种“模长”。

是也不是。

它不是范数，所以不是模长。但它确实带有某种“大小”的意味。这回以 3 维空间为例，考虑正方体 [0,1]^3。它由三个两两垂直单位向量张成，体积为 1。在线性变换下，它的平行的棱还是平行，所以我们会得到一个平行六面体。这个平行六面体的中的点，就是 A 作用在 [0,1]^3 中的点对应的向量得到的。 

而 |A| 就是这个新的平行六面体的体积。比如 |A|=114514，那么新平行六面体的体积一定为 114514。更一般地，对于三维空间中的任意几何体，设它的体积为 V，那么在 A 的作用下，它的体积就是 V'=|A|V。对于二维，则将体积改为面积。如果学过叉乘、混合积，就会对行列式的“放缩”性质产生更深刻的理解。

好了，那么行列式为零是啥意思？显而易见，对于三维，那就是把任何一个一个空间几何体的体积都能打成 0。想要以“线性”的方式把体积变为 0，那就是通俗易懂的降维打击。比如把一个球压成圆，甚至压成线段、压成点，都能达到这样的效果。这种情况下，这个线性变换对应的矩阵的行列式就是 0。自然而然地，如果只是“揉揉搓搓”，那还是能变回来的，但降维打击了，铲都铲不起来。这就是为什么方阵可逆等价于行列式为 0。

另一方面，行列数不相等的矩阵，直接给升维或降维了，当然也没法定义“体积”的放缩倍数，也就没有行列式了。

什么是秩与相抵？

前面说到，一个线性变换可以把一个高维的东西打成低维的，那么究竟打成几维？秩是几维那就是几维。

这通过相抵能更容易看出来。对于一般的基，一个线性变换作用上去，可能把这组基打得乱七八糟的。我们希望找到一组好一点的基，当矩阵作用上去后，可以“不怎么动”。那么，我们要提前做准备，也就是把提前把基换一下，从一组基到另一组基的变换，需要乘一个过渡矩阵。基换了以后，我们可以接受线性变换的洗礼。但这还不够，还需要“物归原主”，也就是把基变回去。当然有时候降维了，基就没这么多了，那能变回去几个算几个，所以还要再乘一个过渡矩阵，它的大小可能就和最开始那个不大一样了。这实际上就达到了 A=Q^{-1} Σ P 的效果。由于基变完了还得是一组基，所以我们要求 P Q 可逆。

相抵的理论告诉我们，最中间那个 Σ 可以长得很好看，即 Σ=diag(I_r, O)。这时候，后 n-r 个向量就被线性变换 Σ 打没了，因此一个 n 维的东西被打成了 r 维的。P,Q 可逆，所以不影响维数。至此，我们就能看出秩 r 的几何意义。

什么是相似？

相抵中，P,Q 未必相同，所以可能走了一圈回不了家了。我们希望怎么过去就怎么回来，即 A=P^{-1} B P，这就是相似。

换句话说，我们研究相似的目的，就是看这个线性变换比较糟糕，希望在一个新坐标系下面会好一些。直观理解，就是送过去、做变换、原封不动拉回来。

但是，并非所有线性变换都能相似对角化，在任何一组基下，都做不到“只伸缩、不旋转”。不过，我们还是可以把它“分而围之”，将矩阵分成 Jordan 块，每一块内部长得难看一点，但总体还是个准对角阵。而准对焦阵每一块，就是一个子空间。子空间内部可能无法做到只伸缩，但可以构成一个循环，通过不断作用某一个向量，生成整个子空间的基，这就是循环子空间。也就是说，Jordan 标准型正是线性空间的循环子空间分解。这可能是我们能做到的最好的结果了。

什么是特征值？

wxm 会告诉你，特征值是特征多项式的根，但这和没说没啥区别。我们从 Av=λv 来看，这正是做到了只伸缩、不旋转。对于特征向量 v，A 作用上去就会把他变成同方向的 λ 倍（由于 λ 可负，所以可以反向）。

当然，不是所有矩阵都有这么好的性质。如果它可对角化，就意味着可以找出一组基，这些基向量全是特征向量。在这种意义下，我们在所有方向上都可以只伸缩、不旋转，这也是为什么可对角化的矩阵这么好。

不可对角化也没那么糟糕，我们可以将它相似三角化。以 4 维为例，线性变换后，x'轴方向我们可以只伸缩。但 y' 方向不行，非得带个旋转，那我们可以做到只带 x' 轴方向的旋转。而 z' 轴可能就要把前俩都带上了，但仍然可以不带 w' 轴…

另一个重要的结论是行列式等于特征值的乘积。很显然，每个维度变成原来的 λ_i 倍，那么整个的“n 维体积”就变成了它们的乘积倍。

什么是正交？

我们前面谈了这么久的只伸缩、不旋转，那能不能倒反天罡？

当然可以，如果一个方阵它能让基向量“只旋转、不伸缩”，而且这个旋转是刚体的，那么它就是正交阵。

因为是刚体旋转，所以正交阵保夹角，进而保垂直。所以它的等价判定是将标准正交基映到标准正交基。

另一方面，正交阵不伸缩，所以特征向量模场只能为 1（可能是复的）。

什么是正定？

矩阵可以左乘可以右乘，但小孩子才做选择，大学生我都要。

矩阵当然可以左拥右抱：左乘一个行向量，再右乘一个列向量。当它是方阵时，那么写出来就是一个 n 元二次多项式，所以我们只研究方阵。进一步，二次多项式的交叉项由矩阵里的 2 个元素决定，我们自然可以让它们一人一半，所以只要研究对称阵就行了。

陈计名言：所有代数不等式的本质是 x^2≥0。那么，推广到 n 元肯定也是我们想要的。因此我们想要一种对称阵，它左乘再右乘同一个向量后，永远是正的，除非它是零向量，那这就是我们要求的正定阵。

一个很直观的理解是，正定阵诱导的正定二次型，在每个方向都是“抛物线开口向上”，平着也不行，到了谷底就赶紧上去。而如果有个方向比较平，那么它也能保证非负性，但零点会不止一个，而是一条线、一片乃至更多，这就是半正定。负定和半负定也是这么来的。如果有正有负，也就是有的方向开口朝上、有的朝下，那么就是不定。

正定要求各主子式为正，或者特征值全正，也是出于这般考虑。但凡有个负的，那么就会出现“负体积”或“反向伸缩”，就不能保证恒正了。

至此，wxm 讲义上大多数重要概念都有了线性空间的直观性。

假如当初的我也能体会到这一点，也不至于在这上面驻足两年了罢…

看起来 wxm 还要统领线代 A 好多年，只能祝福后来人尽可能趋利避害，各取所需。至少，我不希望再看到两年王新茂的悲剧发生了。

 把之前的too simple的评课重写了一下，，，感觉看前面的评课大多也是大一大二同学写的，现在又学了一年半，我的评价是：如果想学数学那都不建议选wxm的线代。事实上我觉得上wxm的迫真课程是典型的在学字，一上来巨大多矩阵打洞让初学的同学无法看清线代究竟是什么，到后面好不容易开始结合线性空间的语言了，也不注重几何直观，最后硬塞入的半点被泛函分析完全cover的无穷维线性空间的内容更是不知道为了什么。感觉大多数同学（包括当时的我）都是刷刷讲义上的难题感觉做出来挺有成就感，考试出的不难给分也好，整个一套混下来具有迫真很满意。但是这样越到后面越是有害，碰到遇到线代的地方都比较容易蒙古，而那些所谓的打洞机巧，因为不被（显著地）用到，也只不过是沦为神必科气壬的谈资，这种人真叫他做个讲义上的题114.514%做不出来。

不过话说回来，我觉得这门课与其巨大讲一些没法用上的迫真内容，不如讲讲多重线性代数（陈省身的《微分几何讲义》Chapter 2）。你科数院好像没有好好讲了张量的本科课，但是并不是每个人都会修微分流形和黎曼几何，，，