毕业多年来更新一下这一段评课。我现在自己也在做流体PDE的研究，只不过研究方向和赵老师当时讲的文章差得比较远罢了。

这门课只是借了抛物方程的课号开设，实际上讲的是流体力学中的偏微分方程，其两大基本方程Euler方程和Navier-Stokes方程分别刻画了无粘流体和粘性流体的运动。这门课的最终目标是讲Jacob Bedrossian, Nader Masmoudi这两位流体pde大佬在2015年发表的一篇关于2D欧拉方程 shearflow的渐近稳定性刻画的文章。为了讲清楚这篇长达105页的艰深的文章，这门课需要预修很多内容，课程的前3个月全部在讲预备知识，并且本学期的课时加到了每周6课时，上课时间是4(8,9,10), 6(2,3,4).下面详细说明一下。

预修课程:实分析、泛函分析、微分方程II、调和分析。

课程大纲如下:

第一部分: 调和分析与偏微分方程的预备知识

L^p不等式、Sobolev不等式(Fourier刻画)

Calderon-Zygmund奇异积分

Littlewood-Paley乘子理论与热流刻画

Besov空间与仿积分解(Paraproduct)

参考：Bahouri的Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations一书的前两章。Tao的色散方程那本书的附录A。

第二部分:不可压缩欧拉方程的基本性质

表示方法(Leray投影、涡度(Vorticity)表示、粒子轨道/拉格朗日坐标系)

全空间中欧拉方程的局部适定性和Beale-Kato-Majda爆破准则。

第三部分:不可压缩Navier-Stokes方程的基本性质

Fujita-Kato Method

Mild Solution与Leray-Hopf弱解，弱强唯一性【其实这是所谓N-S方程千禧年问题的弱版本。能否把这个整体存在的弱解进化成强解？进一步，进化成解析解？也许现在人们更倾向于证否这个结论……】

【第2、3部分参考的是Jacob Bedrossian和Vlad Vicol 2015年暑假在伯克利MSRI上课用的讲义】

第四部分:线性化的欧拉方程渐近稳定性、无粘性阻尼。

这部分要一点更深的泛函分析，主要是关于谱理论的。讲的是线性化方程的谱稳定性与非线性稳定性的关系。这部分才真正算是这门课实质内容的开端。往后证明了Christian Zillinger去年一篇文章中的一个关于无粘性阻尼的定理，正是这个定理，引出了最终要讲的那篇文章。

第五部分: Inviscid damping and the asymptotic stability of planar shear flows in the 2D Euler equations

讲的是一篇非常吊的文章(arxiv: 1306.5028，15年发在了法国IHES的院刊上)，作者是 Jacob Bedrossian和NaderMasmoudi. 具体内容不在此展开了。赵老师在讲这篇文章的时候，花了数个小时的时间，详细地解释了这篇文章的脉络，并点明了这篇文章哪一部分是核心的内容，并介绍了里面一些最新的技术和长达十多页的各种估计。可以说这门课讲了这么久，就是为了这几个小时的内容！听完课之后，再去看这篇文章，畏惧感会小很多。

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我选这门课的时候是2016年秋季，当时流体稳定性这个方向的严格刻画应该说是刚刚起步。粗略地说，这个方向关注的是一个管道中剪切流的长时间行为。把它用数学的语言写出来，就是证明在一个管道区域内，2D欧拉方程在“单调剪切流”这个特解附近能做出小初值整体解，这也是流体力学古早猜想之一。Bedrossian-Masmoudi这篇文章应该说是当之无愧的pioneering work，在此之后，应当关注近年韦东奕在线性稳定性方面做出的一系列突破，以及Alex Ionescu和郏浩(科大03级校友，现在UMN工作)关于非线性稳定性的证明。可以说，经过短短的五六年时间，这个方向已经经历了一波迅猛发展。

对于粘性流（N-S方程）也有类似的问题，只不过你观测到的现象并非和欧拉方程相同。这方面应当关注的是N-S方程独有的enhanced dissipation现象（可以证明更高的衰减速率）以及稳定性的转捩阈值问题，其主要进展也是由Bedrossian-Masmoudi，以及韦东奕、赵威任等人做出。

这个方向其实还可以关注一下可压缩流的情况（不过好像物理上基本还是关注不可压缩流），以及加上其它物理量的情况，尤其是磁流体(MHD)的相关问题，比如Taylor-Couette flow附近的稳定性/不稳定性等等。加上磁场之后，结论未必和不加磁场的情况一样。

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流体力学自身还有很多很艰难、深刻的问题没有解决【点名就是湍流，湍流的数学理论可以去关注一下Jacob Bedrossian最近几年的文章，早年法国人做的那套基本是停留在2D的情况】。以上谈到的只是不可压缩流的某一类重要特解的稳定性问题。除此之外，单就不可压缩流就还有很多问题可以思考（当然都很难就是了）。从数学上研究发展方程的角度来看，研究某个方程初边值问题的第一步是证明局部适定性，在这之后自然会问：解能否延续到长时间？（相当于某个平衡态在适当的扰动下是否是长时间稳定的）如果能做出整体解，那么解在时间趋于无穷时的行为是什么，收敛速率是什么？反之，如果整体解不存在，解的lifespan又是多少？到达lifespan末期，解是以怎样的形式爆破？解的增长速率又是多少？

其实在做这些问题的时候，当你考虑到深处，你会发现流体里面看上去毫不相关的方向居然能产生某种交集。这也许是你在上课、读文章的时候都看不到的。但我觉得你要产生超出已有文章的insights，上课、读文献、自己亲自动手做问题都是必要的。

举个例子，2D不可压缩欧拉方程解的增长速率至多是exp(exp(Ct))这样的双指数增长，这个直接算能量估计再用Gronwall不等式很容易证明。那么这样的增长速率是否真正能达到？如果能，具体是什么样的初值能做到？Kieselev和Sverak2014年的一篇Annals仅用14页就完成了一个“棋盘初值”导出双指数增长的构造。然而这个构造对不带边界（例如全空间或者周期区域）的情况是不对的，目前只有Zlatos在14年发的一篇advance上面作出了单指数增长的例子。

从这个例子再进一步，如果我们把固壁问题换成自由边界问题，即“一个液滴的运动何时会造成自由界面的崩塌或奇异性？”这个问题迄今为止并没有一个很好的答案。2012年左右，Cordoba, Fefferman等人证明了无旋不可压缩流自由边界问题可以产生有限时间的splash singularity（类似于浪花拍下来那种界面自交的奇异性）。然而他们的证明是把这样的奇异情形作为初值，证明时间倒向的无旋欧拉方程自由边界问题的局部适定性。这样做的好处是确实能证明奇异性的存在性，但是坏处是你根本不知道是什么样的初值导致了这种奇异性的发生。如果忽略一切边界，那么3D欧拉的有限时间爆破也是在三年前才由Tarek Elgindi给出了一个自相似解的构造。

其实关于不可压缩流有限时间的奇异性，除了欧拉方程这种理想流体以外，像多孔介质流里面会出现的Muskat方程、以及Bousinessq方程，都是完全不知道的。至多只有这种解倒向方程适定性的证明。如果再考虑自由边界，可以说更是天方夜谭。

但是，如果你真正去读过相关文献、考虑过并亲自算过这样的问题，就会发现其实这里面还有很多没有发掘的东西。举个例子，有没有可能把Kiselev-Sverak证明的small scale creation做到自由边界问题上？首先的困难是，带边区域的Biot-Savart law并不能显示写出来，而Zlatos的例子是直接用Biot-Savart law显式计算的。但再仔细想一步，K-S文章里面的证明其实只用到了【奇异积分核“主要部分”和全空间情况一样】这一特性。那么对自由边界问题而言，当自由边界的“振幅”不大时，我们也许有机会能推广K-S的这一想法。反过来，如果自由界面的振幅太大又怎么办呢？这也许需要你用研究Beale-Kato-Majda爆破准则的方法对自由边界问题作出一个类似的爆破准则，来刻画自由界面的奇异性究竟是哪些范数产生爆破导致的。

举这个例子只是想说，几个看上去毫不相干的问题，往深处想一下，便可能挖掘出他们之间的联系。虽然这往往离真正解决问题还非常遥远，但是这些所谓的联系至少能帮你凿开一条可能前进的路往前走。想发现这些隐藏的道路，就得看自己的真功夫了。

以上仅是我举的一个简单例子，流体里面悬而未决的问题数不胜数。对N-S方程来说，有边界层问题、湍流问题，以及可压缩流里面更深刻的激波问题、带真空的长时间稳定性问题等等。当你考虑无粘可压缩流的时候，你会发现人们对它的认知可能还停留在局部适定性这个最初级的阶段。例如，从可压缩流到不可压缩流的小马赫数极限，是一个从双曲到椭圆的双曲组奇异极限，能不能证明无旋流的长时间小马赫数极限？如果能的话，相当于证明了波方程边值问题的长时间衰减估计，在数学上这可以说是向量场方法之后的一个石破天惊般的成果。例如，可压缩超音速流对类似涡片界面的稳定效应，如何从非线性层面验证？能否进一步推广到广相的情况来刻画喷流？除了这类接触间断，还有激波这类非接触间断。如何刻画从光滑初值到形成激波这一过程的机制？恐怕除了Christoudoulou的方法以外，其他人也只能做出单点激波解的构造；那如何将Christoudoulou的方法推广到MHD、弹性介质等多特征双曲组，恐怕在1维的情况都非常困难，更不要说一般光滑初值的高维激波形成机制了。激波发生之后的演化如何？碰到障碍物之后气流如何运动？这是对工业生产都有指导意义的问题，然而人们能研究的情况极其有限。

Anyway，问题有千千万，能不能推进，就看你的积累是否深厚，而这离不开本科阶段对数学基础的扎实学习，以及这种topic课程来帮助你塑造眼界和格局。

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流体方程一直是PDE的主流方向之一，毕竟流体力学本身就已经足够困难，更不要说对各类模型做到严格的理论证明。在数院师资如此紧缺的情况下，当年能碰上赵老师自告奋勇开设这门课，我实在是非常幸运。这门课其实是让我彻底放弃概率方向而转向PDE的直接原因。有幸第四次修读了赵老师的课程，也有幸能在本科期间，真正接触一下最前沿的内容。然而这样的机会在科大并不多，碰上了就好好珍惜吧。

这门课给分很好。点名50分，作业50分，最后总评96。作业主要是对一些较细的步骤进行验证、调和分析中各种不等式的证明，算是一个熟悉各种常用的调和分析与PDE技术的过程，个人认为非常重要。尽管我大四了，这学期还要考托福忙申请，但这门课每一道作业题都是我认认真真、一步一步严格写了的。

开学的时候有些想蒙混过关的研究生选了这门课，使得这门课的选课人数一度超过50，然而第一次作业赵老师抓了抄袭，并声称以后抓到抄袭就是作业0分。于是选课的总人数一下减到16人。这种课上还是多学点东西为主，没必要在意给分。