非线性偏微分方程(赵立丰) 2017春  课程号:MA0513101
2017春  课程号:MA0513101
10.0(1人评价)
  • 课程难度:中等
  • 作业多少:中等
  • 给分好坏:一般
  • 收获大小:很多
选课类别:基础 教学类型:理论课
课程类别:研究生课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:硕士 学分:4.0
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
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  • 难度:中等
  • 作业:中等
  • 给分:一般
  • 收获:很多

数院的“非线性偏微分方程”这门课每年的内容都不一样,主讲老师一般会借此课讲一些PDE里面的专题。今年赵老师讲的专题是“色散方程的基本理论和渐近稳定性”。

这门课的预修内容不少,大致有:实分析(Lp空间、插值、各种不等式)、泛函分析、微分方程II、微分流形(定义、李导数、辛流形的基本概念)、黎曼几何(不会也无所谓)。

其实这门课的内容比教务处网上课程介绍要少很多,因为很长一段时间都在讲各种方程里需要的估计,而且赵老师有时候会去出差。预备知识大致涉及调和分析和广义函数;色散方程的导出,波方程、薛定谔方程、KdV方程的衰减估计;半线性色散方程的局部/整体适定性,色散方程的守恒律;mKdV方程的渐近稳定性(2016年advance上的一篇文章)等。其中不乏1998年Keel和Tao证明的端点Strichartz估计这样堪称经典的内容。实际上内容也不多,而且大部分还是不难的,只要你愿意埋头苦算。不过作业是真难,经常一个题写好多页,或者干脆不会做。有时候一搜发现直接搜出了Kenig这种大佬的论文,或者Tataru那本没什么推导细节的色散方程……

我觉得这门课就讲课来说没有上学期流体那门课好。可能是赵老师这学期太忙了吧,教两门课,还经常出差。给10分的原因是,这门课很大程度上改变了我对PDE的某些看法,也让我警醒,学好PDE,你要会的东西远远不止分析和PDE本身!

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具体内容大致如下:

1. 预备知识:广义函数、第一型震荡积分

参考: Folland实分析第九章、Stein 调和分析第八章

2. 色散方程的导出:Hamilton方法、Euler-Lagrange方程、水波方程与Euler-Maxwell的导出

参考1:Tao的Nonlinear Dispersive PDE

参考2:Sergiu Klainerman 2011年在普林斯顿教课的讲义

3. 波动方程的基本理论:基本解方法、Klainerman-Sobolev不等式(交换向量场方法)、 波方程的Strichartz估计

参考1:Jonathan Luk的非线性波方程讲义

参考2:Christopher D. Sogge: Lectures on Nonlinear Wave Equations.

4. 薛定谔方程的基本理论:Strichartz估计、Keel-Tao端点估计(1998)、Christ- Kiselev引理(2001)、半线性薛定谔方程的适定性

参考:Terence Tao色散方程第三章

5. 色散方程的守恒律:Schrodinger方程的守恒律与单调量、Morawetz估计、衰减估计与散射

参考: Terence Tao的色散方程第三章

6. mKdV方程的渐近稳定性:Airy方程的多线性估计

以及一篇文章 https://arxiv.org/abs/1503.09143

参考: Pierre Germain, Fabio Pusateri, Frederic Rousset: Asymptotic stability of solitons for mKdV, Advances in Mathematics, 2016.

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考试:

自己在Tao的色散方程第2,3章选四个题交上去,只不过给分会根据你选题难度和完成情况来决定。不管如何这种课也没必要在意分数吧。Tao的这本书基本没什么推导过程,端点focusing的半线性schrodinger的适定性赵老师上课算了两个小时(速度很快),Tao的书好像就写了一页………………………………

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在科大的最后一学期,第五次修读了赵老板的课程。从大三跟赵老师做大研开始至今,赵老师给予了我很大的帮助,不论是教课、大研,还是申请。可以说赵老师是我的恩师吧,感激不尽!

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赵立丰

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