这门课应该是我大三上学期收获最多的一门课，尽管课程内容并不多。

课程定位：我认为这门课的定位是博士生资格考试（qualify）的级别，其内容是标准的实分析基础，也是大多数与分析有关的方向都需要掌握的内容。修读这门课，是一个刚学完实变函数的本科生向“硬分析”迈出的第一步，也能为日后学习真正的“硬分析”（指调和分析、PDE、几何分析等）打下了坚实的基础。学会这些内容之后，不同方向所需要的分析知识可能就不一样了。因此，这门课是最后一门分析方面的公共基础课（除了微分方程2）。

教材与参考书：Stein的实分析第6章（抽象测度）、Stein的泛函分析前3章（Lp空间、算子插值理论、分布(广义函数)与Sobolev空间），参考书是Folland的《实分析》。

两套书都是相当好的实分析教材，但使用的时候需要注意结合。Folland的书讲得比较一般化，不是很适合新手上路，但Lp空间部分开始，Folland是必看书籍。标准的实分析内容已经不需要其它的参考书来补充，若是想接触几何测度论，同学们可以先阅读Evans的Measure Theory and Fine Properties of Functions（见殷浩老师的高等实分析）。

课程内容：

（1）抽象测度：这门课最无聊的部分。可是实分析不讲测度的话，后面就没法讲了，总不能把任何一个测度空间脑补成R^d+勒贝格测度吧。新手建议看Stein的第六章前三节，但实直线上的borel测度那个定理要看Folland，Stein上面有小错误。符号测度部分讲得比较浅（不过Radon-Nikodym定理还是讲了的），若要了解符号测度与微分的关系，则可以阅读Folland的第三章。Cc(X)的Riesz表示定理在Stein泛函的1.7节出现，若要了解更多有关Radon测度的知识，可以看Folland第七章，或者进一步，去学上面提到的evans那本书（Radon测度是几何测度论的重点关注对象）。

（2）L^p空间与算子插值：为调和分析做准备。

这部分主要讲的是Lp空间的基本不等式（本科应该学过了）、Lp插值（Riesz-Thorin和Marcinkiewicz）。其中，R-插值、M-插值的三个例子（傅立叶变换、Hilbert变换、H-L极大函数）非常重要，必须牢记。此外还讲了一个非常重要的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式（可以直接蕴含Sobolev嵌入定理）

（3）傅立叶变换：

这部分没细讲，因为课程时间有限，不过我觉得也没必要花太多精力。

（4）广义函数与索伯列夫空间：

这部分赵老师是用的stein泛函第三章来上课，我觉得可以换成Folland第九章来讲广义函数的基本定义与运算，写得更加系统一些。当然，Stein泛函第三章的例子不容小视：计算基本解、齐次分布、周期分布、仿基本解（parametrix）都是非常重要的东西。

关于讲课：赵老师讲课条理清晰。13周的正课时间内能讲完上述内容已经很不容易。硬分析这种东西很容易让人陷进细节推导。赵老师上课虽然也很细致，但是在讲定理之前都会告诉你其中的动机，这个是初学者很难从证明中挖掘的。

课后作业：非常少，每周≤5个习题。但Stein上的很多习题（尤其是泛函分析那本）是在让你学新的东西！同学们如果遇到大面积不会做的情况下，最好不要去牺牲太多时间死磕。强烈建议参考Folland的书来完成Stein泛函分析的课后习题！！！（另外Stein泛函第一章18题hint的指数幂次写错了，，，）

考试：整体比较难，有60分书上的原话（定理证明或习题），所以拿下一个中规中矩的分数是不难的。剩下的内容：插值定理考了一题（热方程解的Lp范数的衰减估计）；极大函数的Lp有界性（ 其实那道题的叙述是一个叫“L^p空间原子分解”的东西，见Bahouri的Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations第一章），这个题可能很多人很难第一时间想到用∫|f|^p=∫pα^{p-1} m{x:|f(x)|>α}dα来做，想到了就很简单。

总之这门课还是较好地从本科实分析过渡到调和分析、PDE的初步知识。如果当时时间够的话，赵老师会讲一些与振荡积分有关的内容，也就是Stein泛函分析第八章的内容。强烈建议有兴趣的同学能够读一下第八章，短短几十页其实介绍了很多调和分析领域关注过或者正在关注的问题。

希望科大能多一些这样的课，能教会学生有用的东西，更好过渡到后继课程。同时，这也不是一门能够突击三五天就能考好的课，除非你之前就会了。

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一些学习建议：

Folland书上经常对测度有各种奇奇怪怪的要求，这一点如果觉得困难，你就全默认成勒贝格测度。我认为如果你能把Folland这本书认真读下来就已经相当好了，内容非常齐全、实用，是标准的研一实分析教科书。阅读顺序大致为1、2、3、7章（抽象测度、符号测度、Radon测度与Riesz表示定理），6、8、9章（L^p空间、傅立叶变换、广义函数与sobolev空间），很多章节可以跳过。比如我上面没提到的内容你完全可以不用看。

第一遍学的时候，弄清楚证明的每一步当然是重要的。但当你具有一定熟练度之后，就不要再觉得验证出了一些琐碎的细节是很牛逼的事情。真正用起来的时候没有人会去管你这个基本的结论是怎么证明的。

我认为这门课没有“为了考试/学东西而刷题”的必要，最好的学习方式就是不要刷题（当然不是说你连作业都不用做，不过每周的习题量不用超过五个）。定理的本身和几个经典的例子、基本性质，以及“培养如何想到使用这些定理的意识”，这些才是你以后真正用得上的。

以Folland为例，除去以下习题，其它的你可以视而不见。

第一章：18、19、22（1）

第二章：64

第三章：1-3、8、11、12、17

第六章：13、18、20-22、40、43-45（这部分默认你会本科阶段的Lp空间，具体可以见习题3-5、7、9、10、15、31、32、34、38、39，证明在周民强上基本都能找到）

第八章：14-16、18

第九章（广义函数与sobolev空间）：1、9-11、13-15、16、17、20、26、32、33、36，其中只有10、13-15、26是需要计算的实例，其它都属于“常用的重要性质”. 而且有一部分是在Stein泛函第三章正文里面能够直接找到

以Stein的书为例，除去以下习题，其它的你可以视而不见。

实分析ch6: 命题1.6、习题1-3、8-11、13、15；

泛函ch1: 1、8、9、11-22、25（其中有很多是与Folland正文/习题重叠，可以直接抄）；可以选做23、24、26、问题5（Orlicz空间）；27、问题6（一致凸性）；

泛函ch2: 3、4、6-14

泛函ch3: 2-4、7-13、15、16、18、19、29（其中7比较难，15、16、18、19是计算实例，其它都属于“常用的重要性质”）；选做问题1、8。

可以看见，你选用任何一套习题方案，每周的习题量都不会超过三个题。

抄答案的过程中一定要自己理解答案每一步在干什么。你可以预想你即将要在习题课上讲这些题，你如何向学生梳理你的思路。所谓“实变函数学十遍”——“硬分析”不在于你短时间内快速接触了多少新的概念与想法，它所需要的更多是需要长时间的积累，千锤百炼，才能慢慢在你的脑子里形成“条件反射”一般的思维。同学们不要因为题目很难就感到和灰心丧气：几乎所有人在第一遍学时都不可能熟练掌握。如果真的能把这些认真学下来，那么这门课的第一名就是你！