赵老师看上去就很喜庆的样子。。。嗯赵老师讲课思路还是很清晰的，大部分时候是脱稿教课的。对实分析的几块理论，不仅是对理论体系本身给出证明，而且还讲述了如何去理 解这些理论之间的关系，如何去刻画这些理论。实分析的教材(Stein那本)也是本好书，建议有时间的话把所有exercises做完。

赵老师出题有一定难度，虽然也不是很难。好好学的话，90分应该问题不大。

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OK. 看到2020年春季的评论，我有必要补充一些话。当然这是出于我个人的感情：赵立丰是我的恩师，他教过我五门专业课，也是我的大研和毕设导师。根据我多年来的经验，赵老师是不会上评课社区的，所以各位写了什么东西估计他也不知道吧（笑）。

一、.2020年春季的考卷。

这张试卷我不知道是不是赵老师出的（从字体来看应该是，郭经纬老师出题的试卷字体是“仿宋”），以往正常年份赵老师出题都是偏难的（见15春季期中，只有30分原题，全班138人有接近100人卷面不及格，而且改卷还放水）。根据我对助教的了解（我都认识），列文虎克式改卷不存在，我们组从来没有过判卷死扣细节的人。

考虑到2020疫情原因，卷子非常简单，简单到离谱。前60分四题选3题，都是书上作业题。最后三题第二题也是送分题，可以视作第一章某题的一维版本的反面。也就是说，整张试卷有75分的送分题。

剩下两道题。最后一题在周民强的解题指南上有一般的版本，考试卷子出的是极限为0的情况自然简单不少，因为可以Fatou+萝卜干微分定理直接做出来。第五题的传统做法是Egorov定理+Holder不等式，但实际上如果我们利用有界区域上a.e.蕴含以测度收敛，做一个类似的截断也可以做出来，这个如果认真学过概率论里面随机变量收敛性的同学应该不难想到。

这张试卷如果作为“送分试卷”，那“送分”的确已经送到家了。75分原题，剩下的混点分数考个80分并不困难。如果作为正常试卷，那么知识点的覆盖方面自然不足：控制收敛定理没有考、萝卜干测度的Borel正则性没有考（等测包）、BV函数的性质也没有考，康托集、不可测集等等复杂性质更没有考。当然，考这些的代价是难度大幅上升，大家可以回顾一下Stein的习题1.29-36，2.12，3.16-3.21几个题目的难度。

另外，据我所知期末考试平均分就有70多分，卷面优秀率就到了教务处的限制。作业题做不出来还想拿80多分好像有点过分了。

二、实分析试卷的命制。

翻看往年的实分析试卷，我们都能看到有一半以上都是作业原题，加上一两个比较难的题。这是因为实分析这门课的特点决定了考试成绩一定是两极分化——你一旦理解了知识框架，那做实分析题目是一通百通；你如果一直蒙在萝卜干的鼓里，那“记忆作业题”可能都是一件很艰难的事情。这必然导致了大家遇到新题目会出现严重的两极分化——要么满分要么零分。有时候你以为你写了沾边的东西，其实都是没用的废话。

我的主页上很遗憾没有搜集到2017年春季实分析H的期末考试题，但我对题目还略有印象，全卷几乎没有原题，第二还是第三简单的题目是周民强小字部分的带余项的Fatou定理的应用（你还别说这玩意在搞研究的时候处理半线性估计真的有用…），即便是华罗庚班的同学也难以及格，80分就全班第一了。

因此，实分析试卷的命制必须用大量作业题或者简单题将大家先送到及格线以上，再让大家在剩下的40分或是更少分数里面两极分化。这一点，当过助教的同学就深有体会。

三、 实变函数的知识框架

几乎所有的同学在刚学实变函数的时候都有一个问题：这门课怎么学？

几乎所有的同学在复习实变函数的时候都有一个问题：这门课怎么考？

这就要从梳理实变函数的知识框架开始。本科实变函数课程讲述的主要是萝卜干测度与积分理论，最后会讲抽象测度理论（给今年讲了符号测度点个赞）。当然，抽象测度理论的模型基本和萝卜干测度一样，只不过失去了R^n的各种度量性质。

（〇）动机

任广斌老师曾经说过“分析是极限的艺术”，其核心要义，就是用一列“好函数”，在“某种意义下”逼近某个“坏函数”，并尽可能多地让坏函数“继承”好函数的性质。数学分析里面，我们最终引入了“一致收敛”，来完成这件事情。但请回忆：一致收敛严格强于逐点收敛。做一致收敛的过程，对函数的逐点行为要求太高！对那些很粗糙的函数，例如Lp可积函数，根本无法探讨逐点行为——早在数学分析A1里面的萝卜干可积性定理就告诉我们，修改可积函数在零测集上的行为不影响其积分值。因此，数学分析的工具难以研究可积函数类（及其衍生物Sobolev函数类），必须寻求新的工具。

萝卜干测度与积分理论就解决了这个问题。既然我们无法做到“点点”逼近，那我们就想办法让那些无法逼近的“坏点”充分少——把它们并起来，这个集合的“大小”任意小，甚至是0，以寻求妥协。那如果刻画“大小”呢？答案就是萝卜干测度。

（一）萝卜干测度的可列可加性与Borel正则性

Stein书上测度的定义从方体出发，到开集，到Borel集，再到一般的可测集，这个定义的过程比较符合认知。很多同学会有一个疑问：为什么需要可列可加性？

一方面，从逼近定理的证明里面可以看到，我们往往会用ε/2^n的技巧，使得可数次操作的误差仍然任意小。另一方面，我们回到那个核心问题：“f_n(x)→f(x)”. 我们需要找出“f_n(x)→f(x)”不成立的点有哪些，再证明其"测度"任意小。那么，根据16H班期中第一题，就有

可以看见，我们要研究的这个“发散点集”，正是一个“不收敛集”的可列交/并（图上对m,n取并应该是从N+1开始，打错了）。若萝卜干测度对可列操作不封闭，那我们还要引进它来处理可积函数作甚？

同时，我们注意到上面这个集合是∪limsup_m,n E_m,n(1/k). 也就是说：发散点集=“不收敛集”的上极限，发散点集零测就=“不收敛集”上极限零测，而上极限零测的证明方法，即为第一章的16题Borel-Cantelli引理：证明集合测度之和是有限的。因此，从这个例子我们知道，证明a.e.收敛的唯一办法即是Borel-Cantelli引理。典型例题是15年期中考试第4题。

第二个疑问：可测集如何刻画？

“可测”绝对不止Caratheodory判定准则这么简单——因为这个等式只告诉你在测度计算上的性质，并不能告诉你集合的结构。这个问题的答案是：可测集=G_δ集挖一个零测集=F_σ集并一个零测集。进一步，任一集合E（有可能不可测），都能找到一个包含E的可测集G，使得m*(E)=m(G)，即等测包，也称作萝卜干测度的Borel外正则性——任一集合可从外部被一个Borel集逼近。具体例子，对应第一章的问题5，还有第三章的第20题第3问。

课本上的康托集、不可测集，则成为了各种实例和反例构造的来源。同学们应该熟练掌握Stein第一章相关习题里面涉及到的性质。

（二）可测函数收敛性——萝卜干积分的构造

1. Egorov定理与Lusin定理：分别阐述了a.e.收敛与一致收敛的关系（比较实分析里面的垃圾收敛，和数学分析里面的一致收敛，有什么区别），以及与连续函数的关系（比较一下垃圾函数和连续函数的区别）

2. 积分收敛定理

为什么要引进积分收敛定理？很简单，因为构造一般可测函数的萝卜干积分时就要用到！

怎么应用积分收敛定理？优先考虑单调收敛定理和控制收敛定理，其次考虑Fatou引理/广义控制收敛定理，如果以上方法全都不灵，则考虑Egorov定理。如果以上方法仍有问题，则85%概率以上是这道题目自己有问题。

为什么是这个顺序？因为Egorov定理结论最强：可以做到一致收敛，从而无条件交换lim和积分号。其次，DCT, 广义DCT都是Fatou引理的直接推论，当然是先上儿子再上老子。

如何选取合适的定理？有控制函数的，用DCT；无控制函数但有范数收敛的（例如fn的Lp范数收敛到f的Lp范数），用Fatou；仅有积分上界无收敛性的，考虑Egorov定理。什么都没有的，这题85%以上概率是错题。

（三）富比尼定理

请自动跳转抽象测度的实例——乘积测度的构造及其完备化（即，使得所有零测集都是乘积可测的，例如N×{0}, N是书上那个不可测集，这个乘积集不在乘积西格玛代数里面，但仍然乘积外测度为0，因此要对乘积西格玛代数完备化，让全体外测度为0的集合可测且0测）。

（四）Lp空间

这部分请记住

1. 涉及到Lp指标变换的，必定使用Holder不等式

2. 为什么积分Minkowski不等式叫“广义Minkowski不等式”？（把外面那层积分的测度改成Z上的计数测度套进去）

3. Lp函数的逼近（简单函数、紧支连续函数）

4. Lp范数的等价表达（对偶表示、分布函数表示，后者在p=1的时候阐释了“萝卜干积分是竖着往上求和”，自己想一想为什么这么说？）

（五）函数的微分

我假设大家都没学过符号测度，否则请直接跳转Folland第三章。

这一部分的核心问题很简单：数学分析里面的牛顿莱布尼茨龚诗，即微积分基本定理，何时成立？是否具有充分必要条件？

在给出这个问题的答案之前，我们需要明确：

1. 不定积分的微分有什么性质？萝卜干微分定理给出了答案，Hardy-Littlewood极大函数给出了证明。学这部分的时候，请问自己一个问题：H-L极大函数起到了什么过渡作用？（给出点态上界，自身又Lp/弱L1有界，这是极大函数才能做到的事情）

2. 由于积分和微分的线性，我们只需研究非负函数。那么非负函数的不定积分是一个单调函数，从而有了讨论单调函数（以及其线性组合 BV函数）的动机。

3. 至此，我们已经知道，不定积分的微分a.e.=被积函数本身，那两边积分回去，牛顿莱布尼茨龚诗是否成立呢？这就是绝对连续函数被引进的原因——因为我们可以证明，阻碍牛顿莱布尼茨龚诗成立的唯一奇异性，就是那种“导数a.e.为0，但并不为常数的函数（康托萝卜干函数）”——而绝对连续函数恰恰是BV函数抹去这种奇异性之后剩下的函数全体。这个定理在周民强上可以找到。从而核心问题就得到了解决。萝卜干测度与积分理论的框架基本搭建完成。

四、实变函数的学习建议。

各位可以参考我的屑乎回答 https://www.zhihu.com/question/21712683/answer/191186945

1. 教材与参考书

教材使用Stein+周民强足够。在学习可测函数收敛性、积分收敛定理、以及后面太阳升引理那一块建议参考周民强的书。Lp空间可以看Folland第六章或者周民强第六章。另外，胡适耕的实变函数与泛函分析有一本答案书，里面有一些技巧的总结，这本书大家可能很少了解到。

Stein的教材写得非常好，但远远没有到达“实分析圣经”的地步——它在我上面提到的部分写得很残缺，甚至没有这方面的内容。周民强更适合作为练习题、找例子、找定理的来源，复习的时候可以仔细读一读周民强的书而不是Stein的书。另外，建议备一本汪林《实分析中的反例》来查询一些奇怪的命题是不是成立。

2. 作业

请务必认真自己写作业，考前请务必认真背诵布置过的作业题。有时间建议完成Stein后面绝大多数的练习题。做作业的时候，请不要看答案，实在想不出来再去看。用自己的话去写，再对照答案，想想自己的证明哪里崩了，答案为什么要那样做？

3. 复习

考前复习的时候，请

（1）梳理知识框架

（2）尽可能填补上面提到的知识框架里面的细节，而不是按书上的定理编号一个一个背过去，否则你很难去理解这些定理的动机与证明的关键技巧。

（3）回顾某些作业题，这个作业题告诉了我们什么东西？它在定理证明里面用在哪了？

（4）做往年考题，我主页上有。做题的时候请务必用手拿着笔在纸上写下你的所有过程。很多时候“你觉得能行”的地方往往是这道题最难的地方。

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很多同学都觉得自己“差不多对了”，“差不多理解了”，结果就考一点点分。

说这句话之前，请问一下自己，你真的能叙述出这个知识框架吗？

如果能，你真的能填补出这个知识框架吗？

如果能，你真的能用笔写下来你是如何填补的吗？

这就是70分以下、84分、94分和100分以上的区别。

所谓“实变函数学十遍”——“硬分析”不在于你短时间内快速接触了多少新的概念与想法，它所需要的更多是需要长时间的积累，千锤百炼，才能慢慢在你的脑子里形成“条件反射”一般的思维。同学们不要因为题目很难就感到和灰心丧气：几乎所有人在第一遍学时都不可能熟练掌握。如果真的能把这些认真学下来，那么这门课的第一名就是你！

我于2020年春季学期修读赵立丰老师的实分析课。彼时由于疫情原因全程以网课形式线上进行。

实分析这门课程的脉络十分清晰。“分析是极限的艺术”，实分析自然也是极限的把戏但是和数学分析有着不一样的动机，简而言之是以下的差别：

数学分析关心数列的收敛，推到函数就是逐点收敛，以泛函的观点去看就是在极大模范数下的收敛（数学分析里面称之为一致收敛）。数学分析A3这一部分完整建立了一致收敛意义下函数空间的完备性，函数积分、导数与极限的交换的理论。在极大模范数下，连续函数的空间在极限之下是完备的。

但是极大模范数对函数而言并不是唯一的范数，对于不同函数之间的距离它并不是特别好的度量，同时在其他范数下我们会有很多有趣的故事（比如L2范数下其为有内积的Hilbert空间，有fourier analysis等有趣的内容）我们会考虑在\(||f||_{L^1}=\int |f| dx\) L1范数下函数的极限行为。

于是我们自然会要解决这几个问题：

（1）在L1范数下，包含我们熟悉函数的完备空间是什么样子？

（2）新的函数空间与数学分析内容的类比与差别。

首先是问题（1），矩形的示性函数无疑是我们最熟悉的函数，并且无论在什么意义下我们不会对它的体积有任何的怀疑，于是我们便以此为基石去探究L1范数下的完备空间是什么样子。

先用矩形去逼近示性函数（也就是集合的测度），我们希望可测集的体积总是能被矩形给任意逼近，比如同时从内从外逼近并且两种逼近的矩形体积差不太多。这样的话我们实际上相当于是将这个示性函数分别放了一个上界和下界，并且上下界会充分靠近，依照数学分析和极限的观点，我们应当能够求出这个示性函数的积分，也就是这个示性函数会落在完备化后的函数空间中，于是我们便将这些集合定义为可测集。这便是可测集非常自然的理解和定义来源，这种观点看的可测集实际上和书上的定义完全等价。

而后便是建立可测函数以及积分理论，就是用可测集合的线性组合去逼近对应的函数去定义，定义很简单自然无需多谈。值得一提的便是Littlewood's three principles会告诉你可测函数与数学分析里面的经典函数的类似之处。

接下来便是仿照数学分析所做过的一切，我们试图将数学分析中建立的所有定理和观点套用到实分析的框架之中。首先是函数的逐点极限换到实分析变成a.e.收敛，我们关心a.e.收敛和L1收敛的关系便自然遇到到Fatou lemma. 有了这个引理之后便有了a.e.收敛与L1收敛直接的互相关联，若是只将L1空间看成是可积连续函数空间的推广实际上基本上事情已经全部做完了。积分内容就剩下一些H\"older不等式，Young's inequality之类虽然有用但是很technical的内容以及Lp理论。

Lp空间理论是很有意思的一块内容，特别是Lp, Lq是对偶空间的定理，说明函数也同样可以用线性泛函，对其他函数做测试的观点去看，为后面的广义函数、分布理论，PDE里面的弱解等内容开了先声。

剩下的是\(\mathbb{R}^n\)上特质的推广：交换积分顺序（Fubini's theorem）以及数学分析里不得不品鉴的夜的另一章--微分这两项内容。

Fubini's theorem来自于我们可以将\(\mathbb{R}^n\)看出是多个R的乘积，这个在抽象测度空间也有自然的推广，乘积测度满足一定性质同样拥有Fubini's theorem。

可测函数的微分理论则是剩下最困难最麻烦也是内容很多的一块。

可测函数不一定总是能够求导，所以先建立了微积分基本定理的baby version，考虑integral的differentiation，也就是Lebesgue differentialtion theorem，但是它实际上就是一个积分算子极限，证明过程是调和分析中常用的Maximal function的古典应用。

而后我们才去严肃考虑什么样的可测函数可以求导，可以求导的这一部分什么时候有微积分基本定理。也就是实分析的内容如何回归到经典分析。答案便是：（a）有界变差函数几乎处处有导数。（b）绝对连续函数满足微积分基本定理。（c）有界变差函数可以分解为绝对连续函数+Jump function+singular continuous function。如果将有界变差函数看成是一个测度的话，这实际上就是测度的Lebesgue-Radon-Nikodym decomposition了。

这些基本上就是实分析的全部主干内容和带给我们的观点，但是理解这些以及具体技术毫无疑问需要翻好几遍教材也需要对各种各样的概念培养出敏感性，要有遇到混淆不清的内容能够回归到基础概念的能力。毕竟数学是一门"分析"学科，i.e.，所有知识完全通过概念和定义+逻辑推理得到。

非常感谢章神的分享，看了之后收获很大。虽然这次考得不错，但有很多东西我之前其实还是没有完全理清楚的。由于已经在郭老师那边评过了，所以这次单纯是来为赵老师点赞的。

赵老师讲课的速度比较快，我这学期上网课经常跟不上老师的节奏，尤其是上三节课的时候，每次到最后一节课都是在走神+自闭的状态下度过的。（可能有一部分原因是我数分的基础不好，毕竟我不是数院的，大一修的是单变量+多变量，然后大二上学数分B3直接gg。所以实分析这门课我学得很吃力，这学期在家克服种种困难终于坚持学下来以后，才初步理解了分析的思维方法。）但我还是觉得听赵老师的课不管多么吃力都一定要坚持下来，因为真的能学到很多东西。其实考试的时候几乎不可能出完全新题（如果出了那一定没什么人会做），所有题目的方法都来源于平时的板书、课本、作业以及习题课的补充，所以说天道酬勤一点都不过分。如果发现自己怎么都学不懂，千万不要怀疑是自己的天赋不够，多请教老师、助教以及同学，看看是不是自己的思路或者是学习方法的问题。当然兼听则明，偏听则暗，多认识几个大佬，多跟不同的人交流肯定是非常有好处的。

本来想和楼上几个评价一样，因为一言难尽的期末考试来打9分。但鉴于两位老师讲课都真心挺赞，还是不好意思扣分。

先说一下一言难尽的期末考试。虽然我期末考的不错，但这似乎是我感觉考的最憋屈的一场。正如楼上所说，这次期末考试满分105，前面60分四选三，每题20分，都是很简单的作业题或者其他极其基础的题目，后面三题每题15分。第六题可以完全相当于作业原题。第五题是全卷难度最大的一道题，然而和殷浩老师2016年H班期中考的第三题几乎一样（赵老师考前好像说过他拿到了章神的主页会避免重复的），用Egorov或者Fatou引理做。第七题用Fatou引理一行直接写完。所以综上所述，这张卷子只有两道新题（对某些人来说甚至是一道），且用一个Fatou引理可以把他们全部解决。这样说来，一个背作业题+只会Fatou引理其他知识a.e.不懂的同学这次考试甚至可能取得满分，这对很多认真学的同学不太公平。

吐槽完考试还是要夸一下讲课的。这次由于疫情两位老师合班上课，每位老师轮着讲一周。两位老师讲述各有风格——郭老师会讲的比较慢比较细一些，没有预习直接听课都能比较容易听懂；赵老师的车会快一些，但一些重点的地方比较能够突出。除此之外，今年讲的内容挺多，一直讲到Radon-Nikodym定理，听的直呼过瘾（这还是提前两周结课+中间总共拿了4次课上习题课+郭老师竭尽全力控制车速的结果，真放开来讲估计把高实前半学期的内容讲完都行）。鉴于很多概统方向同学会在大三上学高等概率论，我感觉在实分析课上这样把抽象测度完整讲一遍是比较必要的。

最后，个人感觉实分析这门课还是很需要打磨的。很多定理证明本身并没有太多技巧而言，然而想要把他们看懂并不容易。鉴于这门课作业题实在少（平均每周两道），所以在读课本上多投入时间是比较有必要的。这样才能对相关知识有更深刻的理解。

今年因为疫情线上授课，是赵老师和郭老师轮流来上的，对比之下明显可以看出，赵老师的速度比郭老师快到不知道哪里去了

今年也只有期末，并且如上面几位大佬所说，期末题确实偏简单，不过对于本学渣而言算是件好事

同意楼上......期末出的卷子大概是因为疫情原因，太离谱儿了，简单到炸裂。考前助教提醒要关注作业题，于是我刷了一遍，结果第一题就真考了六十分作业题......（感觉目前只见过wzq老师的拓扑学是这么送分的×）期末考成这样，给分的随机性（考虑到各人的花费时间）想必很大。

看往年的卷子，这次的情况以后应该不会再出现了。所以也不必担心。讲课因为网课原因，是跟隔壁班郭老师换着讲，一人讲一周（感觉好偷懒啊哈哈哈哈）。上课体验不错（当然Stein的教材写的也很好。不过感觉周民强的看起来稍微深刻一点......不过也是因为stein里很多地方都没讲

这学期由于和微分方程2一起在学，感受到实分析理论在后续课程中的重要意义，也深刻认识到大一的时候自学得有多么水（悲），实变函数学十遍绝非浪得虚名。

本学期课程线上进行，和隔壁郭经纬老师班合上，两位老师轮流讲课，由于我没有怎么听过，暂不评价讲课水平。本课程主要包括Lebesgue测度理论，Lebesgue积分理论，函数的微分与积分的联系，以及抽象测度理论。由于线上教学，讲课速度飞快，今年几乎讲完了Stein第六章的前4节，但是比较遗憾的是，L^p空间讲得似乎太少了，我认为这部分比BV函数和jump function可微性中一些技巧性很强的证明要重要得多。主要有卷积的性质和卷积的Young不等式，以及由此得出的光滑性提升，L^2空间理论和Hilbert空间简介，以及L^p空间中的弱收敛。L^p空间在泛函分析学习中是很好的例子，在微分方程中也几乎处处用到，如果能多加讲授是很有好处的。

事实上，虽然很多人夸赞Stein的实分析教材很好，但是我感觉只能说习题很好，习题为课程中的理论提供了大量的例子和反例，老师布置的题目也几乎都是很经典的。但是这本书的可读性并不那么高，有的定理甚至找不到名字在哪，证明的开头和结尾也不明显。同样是经典英文教材，和Evans的Partial Differential Equations比起来我认为可读性差了很多。如果期末复习拿着书看会非常着急，所以说建议尽量自己做份笔记。

出分了...但是事实上，我认为前面一些评论有失偏颇。今年特殊情况，确实是一刀切，而且本人也在其他科目深受其害，但是实分析和某些科目情况有本质的区别，就是考卷全是常规题，没有任何“80分送分题+20分偏怪题”模式。在这种情况下，很多抱怨向下调分的同学，是不是应该扪心自问一下，就算是把题出得难一些，多一些，你又能做对多少呢？