23春助教，一觉醒来终于不用做实分析题了还有点怅然若失的感觉。

本学期课程主页：http://home.ustc.edu.cn/~matchbox/real.html.   上传期末试题应该是最后的更新了。我们在尽可能地让这门课的内容变得丰富，但是改完期末试题以后却发现，同学们可能真正需要的是另外一些东西。这也是这门课教学的困难之处，对于老师和助教都是不小的挑战。

先谈谈期末试题，总体上题目对于认真学习的同学比较容易，如果能在学习过程中甚至考前自己把课程内容（课本或者课堂或者老师讲义）完全理解一遍那前4个题是不太应该做错的。这样就有65分了。

没有机会上习题课了，就在这里借着期末考试题聊聊这门课对大部分同学的要求是做到什么，想要学好该怎么办。另外关于改卷，其实对于大部分题目都是比较严格的，出现严重的错误便会得分很少，但不会拘泥于一些细节，比如你写错定理名字或者不写，证明的过程有小错误、很小的gap都不会扣分。换句话来讲，只要你的卷面让助教相信你是会相关知识的，我们就不会扣你分。但如果出现了严重的逻辑漏洞，说明对这一块完全不懂，那也没办法给卷面分了。为了保证平均分能看，只有第四题放水了，基本上三问都写了字，我就给到了12分。部分题目完全不对可能只能视过程给1-3分，没有说做错题还能拿一半分的那种放水。

• 第一题：20分的判断正误，平均分12.72. 有几个80分甚至90分以上的同学在这个题扣了5-10分。第一个是判断可微函数的导函数可测。部分同学举了不沾边的反例，大部分同学都判断对了。但很多人的证明是“可微函数的导函数一定连续，所以它可测”，这种情况，我觉得给5分不算少。第二问是证明单增集合序列的测度连续性，第一个直接划分成不交部分的方法可能还不太好记，没有好好背讲义的同学想不到；第二个方法是用MCT，也是最简单的办法，如果想不到这一点，其实是没有理解测度论中“积分和测度的等价性”，我们用测度定义出积分，也可以由积分得到测度，相差的便是示性函数（这些东西其实老师上课可能由于课程顺序不会揉到一起讲，是学生需要学完全部内容复习的时候自己把握的，这也是为什么说“实变函数学十遍”，多学一遍才能有新的更好的理解）。这个证明扣分也不少。从这里我也觉得本学期习题课的课时有点少，每周一节课，作业题都很难，讲清楚来龙去脉、稍稍拓展一下便结束了，没有时间细细的讲这些 high-level 的东西。
• 第二题：证明导数 a.e. 大于等于0的绝对连续函数，是增函数。（15分）很多同学考试前问我第三章会怎么考，我每一次的回答都是：期末只会去考最简单的东西。Lebesgue微分定理，N-L公式，没有了。覆盖引理之类的完全没必要放在这里……但这个题很多同学用中值定理，完全是刚上完数分来做题的感觉。
• 第三题。证明BV函数 \(\int_a^b \vert f'(t)\vert dt\leq V_a^b(f)\)(15分)。其实我觉得这个题是不太容易，我如果没复习来考试估计也想不出来，但它是作业题啊。一种方法是分解成两个单调函数，另一种是比较 f 和其全变差函数的导数。每种方法证明关键步骤三行就够了，写字多的一看就是瞎写，我甚至看到两个单调函数出来就能给一半的分数。说说三种常见的错误做法：第一种是认为BV函数可以分解成有限段单调的部分，这种我觉得情有可原，毕竟考试很多，没时间背作业题，就做不出来了，只能这么猜，但你自己写下这个结论的时候可能会怀疑它是否正确，但它肯定不对，因为存在一个BV函数无处单调（有助教说他在习题课上讲过，不过其实我觉得不会也没事，毕竟我也不爱上习题课）。第二种错误是直接对BV函数运用单调函数的微分定理（就是那个只有不等号的NL公式），定理条件没记清楚，也不是啥大问题，希望以后好好复习。第三种就有点离谱了，直接把左边的积分当成Riemann和的极限，然后又去用什么中值定理之类的，完全看不到实分析的味道。这个方法最大的问题的 f 的导函数不一定是有界函数，而无界函数是不可能Riemann可积的，因为求Riemann和的时候总能通过函数点的选取让它无限大（具体可以去翻翻数分课本）。所以这个题的得分就比较惨淡，方法不正确的话基本不超过3分，但是方法对了，能让助教看出你实分析学得不错，后面过程没写完整甚至有一些小错误我也会给到10分以上甚至满分。
• 第四题：标准的运用Tonelli证明函数可积再用Fubini去交换一个次序（想到这个标准的步骤，其余验证都是极其平凡的）。（15分）这个题大家做的真有点离谱了，一直在让我反思是不是学期内没有好好强调这些我认为简单的东西。首先，Fubini的条件是积分2维可积，一些学的比较好的同学也认为累次积分可积便可以了，但还差了一个 Tonelli（累次等于另一个累次等于二重积分），这也是Tonelli这个定理存在的一大意义。绝大部分同学（可以说几乎所有）都没提这个步骤。里面的大部分同学甚至是，上来就用Fubini换序，换完以后声称第一问可积和第三问换序的结论都做出来了。这种我都大概给了 12 分，我感觉如果按其他题一样定一个得分点严格改，最多 2 分，因为你完全没有表现出你学过实分析这门课的样子。所以希望大家以后学习的时候见到一个积分交换了次序，还是要下意识的去验证一下是不是多重绝对可积，就像看到极限和积分交换次序要去check控制收敛定理一样。这应该是实分析应该刻进DNA里的样子。再说说第一问吧，题目让证明函数 L1，有的同学看不到绝对积分的影子，换了个序就说可积了，有的同学写了一篇证出了函数可测，有的同学证出了可微……这样的试卷我让平均分在12+/15真的尽力了。
• 第五题，证明两个依测度收敛函数的乘积依测度收敛。（15分，写了字的同学都会得到2分）这个题不是原题，没做出来也没事。一种方法是直接用定义手撕集合，另一种是用我习题课直接讲过的找子列办法（不过直接用结论的方法应该被助教扣了7分，算是比较严格的改卷，如果这里放水平均分可能会+5左右）。
• 第六题：经典的收敛定理（DCT/Fatou）证明题。（10分）用三角不等式写出控制函数，再一行写个定理就结束了。这种题其实不太容易，但是应该得到重视，毕竟是所有实分析考试期中期末都要考的题。给分比较严格，伪证可能遭到助教的严厉打击。（平均分3）
• 第七题：举例：某正测集和任意开区间交集大于0.（10分） 听说隔壁班讲过，但也是习题课。我们班的话应该是最后一次某助教的习题课提了一下构造，然后考前一晚在课程群出现了答案，但大多数同学可能没看到。这种不会也没事，就算完整地学完实分析，掌握所有课上的技巧和证明，融会贯通，但就是没见过那个例子就想不到。平均分不到2分，没有放水。

总的来说，这门课和数分不一样，不是说上课听听下课记记解题的套路就算会了的，还是需要自己不断的反复打磨、思考。手写一步步证明是一个好习惯，认真学习的同学也会得到不错的分数。但是历年在考试题目很简单的情况下平均分都是40-60，确实也是教学工作者和同学都需要好好反思的问题。

说了这么多冷冰冰的课程内容和分数，我自己都不愿意看，想再谈谈这学期以来带助教的一些感受，因为我自己以后也不会是做纯数学的人，比起数据和理论，我会更喜欢故事。

记得学期初申请助教还是很忐忑的，毕竟当时的我完全不敢说自己有多么会实分析，只是弄懂了课本的基本概念和作业题，也会担心同学们会不会问出各种各样的困难的问题，我回答不上来会很尴尬。但依然想去尝试一下，尝试着去更深切地体会这门我在去年学的时候就比较喜欢的课程。记得我一年前在准备期末时，复习完基本定理和概念以后看了两天《周民强》，发现我会的还是太少，依旧有太多可以学习的东西，打算下一年再学一遍，感谢刘老师给了我这个机会。这一学期的收获真的太大了，我认为我的成长超过我这学期修的任何一门课能带给我的。我不再是刚学完这门课“一知半解”的感觉，到了期末考前我可以说，“你尽管问，难的东西虽然我可能也不能立马解决，但我一定可以做到在一定时间内给你一个满意的答案”。所以希望学得还不错的同学都可以去尝试一下申请带助教，不要怕耽误太多时间，也不必去想什么“没有4.3的绩点不好意思去带”，教学本身就是一个相长的过程，如果你自己还有所欠缺，那你在这段经历中能收获的，其实会更多，付出的所有时间，不止是能带给同学们更好的体验，更多的是自己的收获。

事实上一年过后，除了几个重要的大定理的应用，我已经把课程内容忘光了，甚至在学期初和同学们一起去听“测度”是怎么来的，什么叫“可测函数”。微分部分用的不多的那些证明工具我也早就忘干净了，直到批改作业时才去重拾一下基本概念，“面向同学作业学习”。说来惭愧，我今年也没有完整的把课程再学一遍，很多时候我去复习或者叫重学一部分课程内容都是因为有同学在问，我才会去自己研究相关的部分，并想办法以容易理解的方式讲出来。在同学们问的问题我自己都一下子想不到解法时，我只能去网上搜解决办法。但到后来问题越来越多，我甚至在课程群里面教同学使用搜索引擎，不知道仔细看的同学有多少，但我感觉大二的大家包括当时的我在这方面基本都是欠缺的，也从来没有合适的人会系统性的告诉你该怎么搜，怎么想，当我把我自己摸索出来的方法分享出来的时候，也是希望大家可以少走一段弯路。毕竟不管是科研还是以后的学习，你不会总能找到一个合适的人教你相应的知识，但是互联网可以，只要你会利用的话，你可以去为一个你想尝试否定的问题找找有没有反例，那些经典的一句话可以表达出来的小问题也很容易找到答案。在以后的研究中如果你发现什么东西是互联网无法帮你解答的，那如果你把这个问题想明白了，或许就是人类知识边界的又一次突破。学期过程中和同学们的交流也比较愉快，也感谢同学们能理解我有时候因为很忙不能及时回复或者是我暂时也确实不会做而回答问题比较慢。毕竟看到一个我不太会的问题，当然要先逃避一下，假装不在线，摸一会鱼以后才会出于责任心想办法解决。后几次作业答案的更新也不太及时，摸鱼摸得有点多了，希望同学们原谅我。有个可爱的学弟从开课时就几乎天天来问我问题，到了期末考试前已经可以帮我解答我暂时想不出来的问题了，看到你们的成长，真的蛮开心的。那几天也确实是疯狂，有时候都不敢打开消息，打开以后就要面对一大堆实分析难题，好在绝大部分最终都得到了解决。

最后再谈谈我对这门课的理解。在课程群里看到有一些同学考得不理想，我认为其实也没必要去要求自己得考到多么高的分数，学得多么好，绩点没有那么重要，这门课也没有“太多”值得你学好的东西。说实在的，虽然我前面吐槽大家考试时候把实分析全当数分题来做，不太应该，但其实到了未来，可能是十年后，也可能就是明年，甚至下个月，当你在交换积分次序的时候完全没必要多想，直接换就行了。所谓什么是“可测集”“可测函数”，如果你不做跟基础相关的方向，那么过一两年就能完全忘掉了。但如果你对自己的要求稍微高一点，希望学一门课至少要努力过后有些收获的话，那一定是未来读到某个换序要想到控制收敛定理，去看他有没有找控制函数。积分换序先看看是不是非负。你要知道除了Riemann积分，还有更厉害的Lebesgue积分，他厉害在可以给一些“差”的函数挖掘一下“好”的性质，更厉害在不仅可以处理欧式空间上的函数积分，更可以直接推广到更一般的测度空间上，如果你以后会接触偏理论一些的概率问题，那些理论也都建立在各种各样概率概率测度定义的概率空间上，它们的性质可以由欧式空间的Lebesgue测度积分理论直接迁移得到，而这些看起来似乎有点古怪的东西是微积分里的Riemann积分做不到的（因为我不学基础，水平有限，也举不出更多的测度空间的例子）。如果你对自己要求更高，想把这门课学得透彻明白的话，你需要把Lebesgue积分理论刻进DNA里，通过不断的打磨，读证明、自己尝试写证明、理解概念之间的关系，让他们变成自己的常识。其实做到这一步，所有的实分析考试考到90分以上已经不成问题，不需要在作业额外做很多练习题目。更多的，如果你想成为实分析专家，那还是需要做做额外的题目，但这一部分其实我自己就做不到了，也不太建议大家花大时间去搞（除非你自己做实分析题目很爽）。我当时学习的过程中也没有做过太多作业以外的练习，但我记得大二还会自己写作业的我，每次会花上大半天时间做完一周的三四个题目。这一个阶段就要看个人能力了，老师和助教所能提供的帮助其实都是有限的，也没有人会要求你见了题都会做，不会其实也完全没问题。有时间的话，还是要多去想想自己喜欢什么，不仅是“专业方向”方面的喜欢。兴趣爱好也可以算，如果你暂时还找不到答案，那就要多去尝试，尝试不同的东西带给你的感受。平时多去思考这些问题，在真正需要面临选择的关键节点，也会变得从容很多。这些思考可以带给你的选择，比提高绩点所能带来的选择多得多，也能更多地感受到探索的快乐，一步步地找到自己、理解自己的内心。毕竟，提高成绩带来的选择可能仅仅是世俗的“去到排名更高的学校”，但如果你可以在大学四年的过程中真正找到自己愿意付出的东西，那从今往后的岁月会有更多如愿以偿，因为你可以做你真正喜欢的事。一门三四学分的课也不值得花费过多的精力，更没必要去为它糟心，考试成绩高低都没那么重要。这个期末题如果平时不怎么学是考不了30分的，如果你做到了，那么说明你的确从这门课学到了有用的知识，请学会悦纳自己，当然，我也认为就算期末考100分，实变函数还是有太多可以学习的东西，如果你真的觉得它们有趣，一定要多花时间去钻研、去体验。

不小心说了这么多与评课关系不大的内容，不过除了这个地方好像也没有更合适的地方来写。还是希望这学期给同学们带来了不错的学习体验，如果我们做得不够好的话，也请大家原谅。毕竟，这是你们的第一次，也是我的第一次。

感觉普班的实分析课程还是能总结出一条线路来的？

从测度论开始，这个概念是怎么产生的呢？首先最直观的感受是“体积”，再利用闭方体的覆盖定义出外测度（事实上可以证明开方体闭方体覆盖的等价性，矩体覆盖的等价性，在chapter 3还会涉及到球覆盖），最简单的方体和矩体“体积”即“外测度”，这个证明并不算很容易，之后发现外测度具有内外正则性（这里即可以产生等测包的概念），次可加性等性质，与我们期待的“测度”有一些靠近。但是外测度的定义又不够完善，因为找不到对R^n中所有集合都有“平移不变性”“可列可加性”，即存在不可测集的构造（这个非常重要，只要外测度＞0均可以构造），因此我们修正外测度的定义，将其定义在可测集上面。之后我们发现可测集包含最熟悉的集合，开集，闭集，F-sigma等，且对补，无限并均封闭，可构成sigma- 代数。另一方面，可以写成G- delta去掉一个0集，F-sigma并上一个零集（这个在处理连续映射的时候非常重要），以及在测度有限是可以被有限方体的并对称差逼近（Littlewood principle 1），以上均给出了可测集到底是什么样的集合。其中值得一提的是cantor集的构造，上面定义的C- L函数优雅至极，性质可以贯穿整个一门课，还有一些类cantor，fat- cantor都拥有相当好看的性质；以及非Borel的Lebesgue可测集，可见stein的习题，是具有一定工作量的。

再来到可测函数，为什么要出来这样的定义呢，课程的初衷是为了推广积分，从y轴上面“切”，那么直观而言我们我们需要f在任何区间上对应x的值形成“区间”有“长度”，因此产生了可测函数的定义。等价定义的证明并不困难，里面有一个连续和可测复合的可测性，也有一定的工作量，之后自然证明可测性是很广泛的，加减乘除绝对值极限正负部均正确。之后我们给予逼近定理，简单函数逼近，紧支简单函数逼近，阶梯函数a.e. 逼近，这也是后面积分定义的一种理解方式。最后给出了littlewood三原则，彻底点明了新定义的这一类概念和熟知的连续等有什么关系，egorov thm的证明是不容易的，这个定理这学期a.e.没考。

之后我们回到积分的定义，很经典的三步走法了，特征，简单，非负，再到一般，概率论里面也学过。积分最核心的问题是解决极限与积分号的换序问题，单调收敛，控制收敛（以及广义形式），Fatou引理都是估计积分的重要手段（这个考了114514遍了，期中考试上完全没想起来然后寄了这个题，期末又考了，别忘了是非负可测函数才有fatou和MCT）；另一个换序问题Fubini- Tonelli thm，非常困难的证明，但是很具有实分析一步一步解决问题的思想。考试Fubini也有一些口胡，确实当时大意了。同时还需要考虑切片可测性和集合可测性的关系，笛卡尔积的相关结论，拓展知识个人认为有几何意义和卷积。

再来谈谈Lp空间，应该还不算是本门课的核心内容，现在只需要了解紧支连续函数，简单函数，稠密函数，光滑函数（需要第三章的恒等元逼近和磨光子处理）即可，这个在估计积分其实是很重要的手段（在第三章中大定理的证明更是淋漓尽致），以及Minkowski和Holder，完备性（H貌似还考了感觉是不容易的？）。

然后很重要的是收敛性，各种各样不同的收敛到底有什么差异呢，又有哪些互推关系和反例，哪些等价定义，这些都很重要，考试也考了很常见的题目（我感觉貌似还是阅卷还是放了一点水，对于选择子列的办法为什么可以选取到相同标号的子列貌似没有说清楚也给满了）。以及这种互推和概率论不太一样，最核心就是概率测度有限但是Lebesgue测度不一定，导致结论有差异又有相似。不过估计a.e收敛，m收敛可以用相同的办法。除了常见的a.e.，r范数和m收敛，a.un，子列间关系都是务必要掌握的。

最后来到Lebesgue微分。我们应当解决什么问题，Q1 先积分后微分对于Lebesgue可积对不对；Q2 先微分后积分（即N- L公式的等价性），都为了给原来的分析填坑确信。

Q1我们可以通过两条路线来解决，第一条路线从极大函数出发，利用H- L极大定理和Chebyshev估计出结果，最后对于边界处用正则收缩规范化。另一条路线从恒等元逼近入手，发现原逼近可以写为卷积的逼近，我在学习的时候觉得叹为观止（不过不做要求）。应用最经典的例子有Lebesgue点和密度点，感觉往年题也老考着呢。

Q2我们一步一步改变条件（这里的每一步反例都很有意思），进而引入了有界变差函数（其实我也不太明白这里是怎么提出这个概念的），变差函数仅由本函数确定，Jordan分解可以将其变为两个单调函数的差，因而转向研究单调函数，来到另一个大定理，单调函数微分定理。该定理的证明相当欣赏，Vitali覆盖引理妙不可言，其实导函数的可测性考试题来源于这里老师上课口胡了一下dini导数的可测性。C-L函数给出了该定理严格取不等号的例子，就算是严格单调的也存在取得不等号的例子，因此说明该条件还不够强，转向绝对连续函数。绝对连续有界变差的关系，与变差函数的性质，绝对连续将可测集映射为可测集都是核心的性质。我认为AC和BV最本质的差异在于导函数为0时可以推出a.e.为0，之后给出了N- L公式等价于绝对连续。

纵观全线（个人理解的，神秘飞机不起飞导致我回想了一下一学期的内容写下了评课），这是一门相当硬的分析课程，每一个大定理证明都耐人寻味，相当漂亮；而stein的每一个习题有启发性，远高于zmq，这书有的过程相当抽象，配套的习题解答有错而且看不出任何动机，和异常nt的近世代数300题有的一拼，草叶老师助教说的“大部分都是近世代数300题的原题”我理解不能，这种弔书差不多得了。不过考试会考，感觉看看例子和习题还好？

本门课程的助教相当强大，多神感觉是题典，写完了近n年真题答案，a.e.会题目；任学姐做了相当漂亮的课程主页，能不能浇浇我（×）；wsr的讲义开拓视野，虽然期末压轴题我还是寄了没看，问题a.e.会实在是强大不堪。

刘老师有手写的讲义和录课，自然利好我这种a.e.逃课的同学，讲课还是很舒服的（不过为什么刘老师喜欢喝水啊），有一些有趣的段子（给刘老师发个笔记先）

最后总评未出，期待一手老师给分？ 出分了，89+91总评96，和2/3/5开根号×10的结果相同。

今天聪哥的实分析出分了，来评一波课。

首先说给分，按照平时：期中：期末=3:3:4来算分，由于期中班级整体考的不太理想，老师又加了一种算法，如果你期末成绩比加权平均高直接取期末成绩，为保证公平，在4.0及以上，若你的加权平均成绩比另一人加权平均高，则总评比其高（最后这一条还是挺复杂的，也不知道最后有没有实施）。平时分应该作业都做了就会给满。我期中96，期末88，按照算法算出来总评94，最后加了一分调到了95，证明老师不太会卡绩。

然后说说这门课。所用的教材是stein，英文版。推荐教材是周民强的实变函数论，有几次作业也是布置在上面的。老师平时上课节奏很慢，讲得也非常细致，不过声音可能有一点点催眠（这也导致我基本没能听课），然后老师写的讲义好评！如果读stein的那本英文书有一点点吃力，看老师的讲义基本可以完全替代，不仅填了一些gap，而且还有补充。（关键我觉得字写得还不错）

期中考试前的内容有测度论，可测函数，积分论，以及L^p空间，期中后教了ATTI，微分论，抽象测度空间。我觉得这门课比较重要的还是把最基本的概念和定理理解透彻，考试的题目也都不是太难，没有过于高超的技巧。实变函数学十遍，虽然有可能有点夸张，不过重复的确是一个挺好的办法，可以多看几本书：聪哥讲义，stein，周民强（知识点挺全的，不过有些内容它没有），Royden（非常友善，适合初学），Folland（这一本听说比较难，我只是粗粗地看了一下），相信对理解会有加深。

如果说应试的话，首先作业题是很关键的，考试基本上总会出作业题或改编。然后这门课比较出名的教辅应该就是周民强的《实变函数解题指南》，题目非常多（但不全），不过建议不要看里面太难太偏的题，掌握一些比较基本的套路还是最关键的。今年考试的题型也和周民强上的题目风格并不太相像，但是做题归根到底是为了掌握知识，应该总是有用的。另外，看一看往年试卷应该也是不错的，可以对自己的水平有个了解。（期末考试前我就是看了下往年试卷发现自己好多东西都不会便发奋复习，没有浪费掉最后的时间）

吐槽一下期末考试。出题有些奇怪，还是侧重考期中前的知识，还有一题就是期中题稍稍变了一下，绝对连续函数考了个最最基本的定义题，抽象测度空间更是考了个默写定义题，感觉老师在放洪水。（然而我做错了一道非常简单的送分题）

最后，附上老师的讲义和一些试卷以及两本电子书：实分析资料.rar

感觉实分析的学习体验和老师在第一节课说的蛮匹配，上课内容和做题体验完全是云泥之别：lcw老师能够用很明了的语言把课堂的内容串起来，节奏也很适合跟着他的思路照抄板书的我♪(^∇^*)；只是作业题好多对我来说都太过艰涩了，有时候看一道卡一道很打击做作业的热情w，前半学期找不到作业题的答案其实反而能倒逼我去反反复复地啃教材和讲义并且磨炼了我搜相关知识再把题目一点点做得大差不差的照猫画虎能力，后半学期当我偶然发现居然第三章作业题是有全解的时候躺平之魂直接掌控了我，作业半抄半做大大削减了我对实分析的投入时间（怕不是挪到了后半学期的新欢pvz上hhh）。

感觉这门课的助教应该都是特别厉害的那一挂的，有的写了详尽的往年卷解答，有的制作了门类明晰的课程主页，但菜鸡的自我感觉告诉我这门课每次的习题课都好抽象，好几次的习题课节奏和正课形成了鲜明对比，助教上台几分钟速通了作业题就开始拓展性地口绽莲花，让台下懵逼的小脑瓜数量成功++，考前当我想对着习题课讲义复习的时候可读性也蛮低的...

总之这门课让我体验到了踏踏实实把时间花在啃书上也能有某种愉悦感，尽管学得半懂不懂成绩不上不下，这就是半桶水的快乐吗唔

只要别作死这门课是不会出问题的。

老师期中后为照顾后面的同学进度明显放慢，以致绝对连续性都没能讲。因此课程难度降了不少。事实上，普通人学普通班实分析一本stein一本周民强足矣。（周民强上的例题过一遍考试就稳了）

考试放洪水（指难度），但批卷挺严。作业分也放洪水，交了当次就不扣分。（于是今年的4.3据说又给爆了）

此外，文叔本学期在授课之余，利用三节连排苦练讲段子且进步明显为我们科普了不少数学史与名人轶事，极大丰富了我们的知识面，且提升了我们的听课体验。

出分了，85/78->91，还是很奶的。

这是这学期我学的最认真的一门课，一方面是因为太难了，前半学期全程懵逼状态，另一方面是因为刘老师上课风格我很喜欢，而且讲义很详细，上课没听懂的就回来研究讲义。平时作业也不多，是我这学期作业最少的课。总体而言非常不错，推荐大家无脑选。

说实话，关于考试我没怎么做题，主要是把内容梳理了一遍，体会到了实分析这门课的很多新奇的思想，然后考试临场发挥，期中和期末都考了不错的分数，但想要拿满绩的话还是得多刷题的，因为有很多技巧性的东西不做题是积累不到的。

最后夸一下几位认真负责还无敌强的助教，希望我的很多憨憨问题没有给你们添麻烦（鞠躬）

放一份我这门课的笔记，latex练手作，发现错误、有任何建议或者想要补充可以联系我。 链接：https://pan.baidu.com/s/15Woa4waJlEPQ6z7aDvP9YA 提取码：1234 （稍微更新了一下，顺便把源码也塞进去了）

教学:

讲课用的18/19年的讲义("我原本想教复分析的,结果实分析没人上")

定理之间的逻辑并不清晰, 大证明的讲述试过跨课

建议用yh老师的讲义(逻辑清晰, 很多happy)配合stein使用(大佬请忽视这句(我是菜鸡))

作业:

少, 可以查到答案

出题:

有作业原题(期中BC, 期末Tf<\int f'还是大于来着忘记了 ), 有课堂思考题(期中C啥可测和lebesgue可测等价), 会考虑降低难度而延后期中考(结果期中考5.21)

助教们做了主页, 内容详实(网课梗概,网课链接,网课讲义,习题课梗概,习题课链接,参考资料链接, 考试题目解析, 真题,真题解析)

给分:期中最高90,故全员+10; 期末早上考晚上出分，平均分57，聪哥出的卷子。隔壁班助教放洪水，只能期望聪哥调下分。不过期末一天速通72，已经满意了。

课程上面的同学已经说的很清楚了hh

作为一个后半学期时间有点爆炸的人，我后半学期在实分析上下的功夫明显少了很多，然后就导致了期末炸掉了。。。(虽然大家都说期末卷简单，但我当时真没想出来。。。呜呜呜果然后期功夫下少了)然后刘老师好像是按期中分给的我总评，或者就是给总评我加了3分，感谢老师!

老师上课的确有点催眠，但我觉得跟着抄板书就不困了hh，而且老师几乎是全程逻辑在线的,hhh不过偶尔会有讲错的地方。而且老师的板书很漂亮！

印象最深的就是老师努力讲段(历)子(史)给我们补充了不少数学史哈哈哈

此处表白一波可爱的土豆助教

提醒同学们一句，学到最后基础的定义一定要记住

虽然学完了之后就只记住老师的小故事（老师说他本来想带复分析来着）

另外老师建议看英文原版书，别买那本中译的，虽然翻译得大差不差，但还是有几处翻译错误

7.20，教务处终于出分了，期中77期末78，最后88，没拿到4.0有点可惜

文叔第一节上课的时候就给咱们讲段子，“到时候期末的时候别给我发什么全套周民强的笔记来求我给你们及格……”，给我一种实分析很难的感觉

但是其实一学期上下来的体验还是不错的

首先就是整个课程的知识脉络是明确的，从测度论到积分，再到微分，整个是环环相扣的

其次文叔上课完全是板书，会把每一个需要掌握的定理的证明完整的写一遍，并且课后还会上传电子版讲义，很适合课后复习

再者就是习题，stein书上的习题很多确实不好找切入点，如果和题目硬刚的话会比较占用时间，这就比较考验我们的信息检索能力.不过从期中期末出卷来看，课后习题做不出来问题也不大？

考试出卷来看难度并不大，有大量的送分题，不过分数分布差强人意，期中最高只有90分，所以文叔说过调分时每人期中卷面+10。期末和预期（文叔出卷时自己的预期）相差较大，感觉最后调分的时候好像开根乘10了？

综合来说还是非常推荐大家选文叔的课的

• 没怎么听过课，教学水平无法评价。。。不过本人很喜欢老师写的讲义（但似乎也有同学表示老师的讲义逻辑不够清晰，有些证明细节比较简略）。

• 作业很少，来自Stein和老师讲义中的小练习。Stein上的有些题目比较难（放心，太难的都不考），幸而网上有参考答案。

• 本学期因为某些特殊原因，所有同学的平时分都给满了。期中考试由于最高分只有90，故老师表示所有同学卷面分+10。期末考试本班平均分低于隔壁班十余分，可能是两个班的助教改卷尺度有较大差别？我不知道。

• 优秀率应该是给满了，不及格应该也会捞（也不能太低）。有群友猜测调分公式是235再开根号乘十，3指的是期中加10分之前的卷面分（建议以后的同学不要寄希望于老师能大力调分，想要高分，学好、考好才是最重要的）。

• 总评只有93，有点难过。也是因为自己考试的时候有些不太难的题目没做出来吧。

• 总的来说，以后的学弟学妹们不要紧张，不要因为有人说这门课很难就过度焦虑，稍微认真一点肯定都能学好的，特别认真的话4.3也不是问题（想拿4.3的话，习题课还是要去的，不要像我一样摆烂。。。）。

教材是stein和周民强两本书。

刘老师对待教学严肃认真，每节课都会有讲义发下来，即使是时间紧张，无法保证听课的同学也可以通过看讲义保证跟上进度，刘老师的笔记清晰易懂，逻辑严谨，将本课程涉及到的Stein和周民强两本书的重要内容简单清晰地总结了下来。今年总评有期末高于期中则取期末这一条，这也彻底地救了我这个期中正好及格的人。推荐大家选择刘老师的实分析课程！