非线性抛物方程(赵立丰) 2016秋  课程号:MA0517901
2016秋  课程号:MA0517901
10.0(1人评价)
  • 课程难度:困难
  • 作业多少:中等
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
选课类别:基础 教学类型:理论课
课程类别:研究生课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:硕士 学分:4.0
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
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  • 作业:中等
  • 给分:超好
  • 收获:很多

这门课只是借了抛物方程的课号开设,实际上讲的是流体微分方程,例如Euler方程和Navier-Stokes方程。这门课的最终目标是讲Jacob Bedrossian, Nader Masmoudi这两位流体pde界顶级大佬在2015年发表的一篇关于2D欧拉方程 shearflow的渐近稳定性刻画的文章。为了讲清楚这篇长达105页的艰深的文章,这门课需要预修很多内容,课程的前3个月全部在讲预备知识,并且本学期的课时加到了每周6课时,上课时间是4(8,9,10), 6(2,3,4).下面详细说明一下。

预修课程:实分析、泛函分析、微分方程II、调和分析。

课程大纲如下:

第一部分: 调和分析与偏微分方程的预备知识

L^p不等式、Sobolev不等式(Fourier刻画)

Calderon-Zygmund奇异积分

Littlewood-Paley乘子理论与热流刻画

Besov空间与仿积分解(Paraproduct)

参考:Bahouri的Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations一书的前两章。

第二部分:2D, 3D欧拉方程

表示方法(Leray投影、涡度(Vorticity)表示、粒子轨道)

短时间局部解的存在唯一性、紧性、正则性,整体解存在性的判别法。

弱解与强解

参考: Majda的Vorticity and Incompressible Flows

第三部分:Navier-Stokes方程

Fujita-Kato Method

Mild Solution与Leray-Hopf弱解,弱强唯一性

参考书: Three-dimensional Navier-Stokes Equation: Classical Theory.

第四部分:线性化的欧拉方程渐近稳定性、无粘性阻尼。

这部分要一点更深的泛函分析,主要是关于谱理论的。讲的是线性化方程的谱稳定性与非线性稳定性的关系。这部分才真正算是这门课实质内容的开端。往后证明了Christian Zillinger去年一篇文章中的一个关于无粘性阻尼的定理,正是这个定理,引出了最终要讲的那篇文章。

第五部分: Inviscid damping and the asymptotic stability of planar shear flows in the 2D Euler equations

讲的是一篇非常吊的文章,arxiv号是1306.5028,去年发在了法国IHES的院刊上(一区,该刊物不接受投稿,只约稿)。作者是赵老师说过n次的未来流体pde领袖 J. Bedrossian,和柯朗所大佬 N. Masmoudi. 具体内容不在此展开了。赵老师在讲这篇文章的时候,花了数个小时的时间,详细地解释了这篇文章的脉络,并点明了这篇文章哪一部分是核心的内容,并介绍了里面一些最新的技术和长达十多页的各种估计。可以说这门课讲了这么久,就是为了这几个小时的内容!听完课之后,再去看这篇文章,畏惧感会小很多。别看这篇文章长达105页,可是中间的证明跳步仍然严重,所以说学生自己推进应该说是困难的。

流体方程是近年PDE的主流方向之一,二维、三维仍有很多未解之谜。在数院师资如此紧缺的情况下,能碰上赵老师自告奋勇开设这门课,实在是非常幸运。有幸第四次修读了赵老师的课程,也有幸能在本科期间,真正接触一下最前沿的内容。然而这样的机会在科大并不多,碰上了就好好珍惜吧。

这门课给分很好。点名50分,作业50分。作业主要是对一些较细的步骤进行验证、调和分析中各种不等式的证明,算是一个熟悉各种常用的调和分析与PDE技术的过程,个人认为非常重要。尽管我大四了,这学期还要考托福忙申请,但这门课每一道作业题都是我认认真真、一步一步严格写了的。

开学的时候有些想蒙混过关的研究生选了这门课,使得这门课的选课人数一度超过50,然而第一次作业赵老师抓了抄袭,并声称以后抓到抄袭就是作业0分。于是选课的总人数一下减到16人。

这种课上还是多学点东西为主,没必要在意给分。

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赵立丰

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