评课内容很长，最后写了一点我对这门课的看法。希望要学习微分方程2这门课的同学能够看一下。

这学期我是梁（良）兴（心）老师的助教。课程的主页是 http://home.ustc.edu.cn/~yx3x/PDE2.html 转移到https://www.zhangjy9610.me/PDE2-cn.html

这门课是数院开设的本科生的分析类课程中最难（个屁）的一门。说它最难是因为要大量运用实分析、泛函分析的结论，怕是很多同学忘干净了。实际上，这门课也只是介绍一些近现代（线性）偏微分方程的基本语言而已，这套理论在60年前就发展起来了。所以说，难者不会，会者不难。

课程的教材是Evans PDE大板砖的5-7章，其中第7章的Vanishing Viscosity Method和半群方法不讲。所以内容也就是索伯列夫空间（整数阶，不涉及调和分析方法），和二阶椭圆/抛物/双曲方程的弱解理论。预修课程是实分析（积分与Lp空间）、泛函分析（Riesz表示定理，弱收敛，Hilbert空间紧算子和对称紧算子的谱）。可笑的是14级的泛函普通班弱收敛没讲证明，谱根本没讲，紧算子也就讲讲定义。不过倒也能理解，毕竟那位泛函老师当年教我复分析的时候连全纯开拓都没上完就结课了。所以说，作业里出现Id是紧算子这种弱智错误也可以理解。

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关于上课：

鉴于大家预备知识的匮乏，梁兴老师良心地花了好几次课讲了一遍实变函数里面的不等式、泛函分析里的紧算子和谱理论。同时我在习题课上把弱收敛的结论从头到尾证了一遍（尤其是Alaoglu定理，普通班大部分同学没学过拓扑，所以必须按张恭庆的书上那样傻了吧唧证一堆引理。事实上会拓扑的话十分钟就讲完了。），然后补充了对称紧算子的谱。

同样是因为大家预备知识的匮乏（其实也不能怪同学们吧，毕竟上学期泛函普通班就一个班），梁兴老师讲得很慢，很详细，详细到几乎每一个课本上的details都讲了。虽然梁老师上课基本就是照着书念，然后补充细节，可是真的又有几个人能够做到自己把课本的细节全部check出来呢？至少我作为助教，今年自己详细地推导了一遍课本的所有细节，发现遍地是（小）坑。因此，梁老师在课堂上花这么多时间细讲课本是有道理的。同时，梁老师讲课的“慢”也是适度的，至少不会让大家“忘记现在在证明什么”。PDE的基本定理证明都是又臭又长，梁老师在讲证明之前一般会把思路和这个定理的用处讲明白，这样让大家好接受一点。

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关于作业和考试：

这门课的作业主要是验证一些课本上的remark和课后习题。平心而论evans PDE的习题应该是同级别的书里面比较简单的了，但大部分同学做的情况非常非常糟糕，而且抄作业现象很严重。我清楚，有相当一部分同学想平时混混然后考前突击，可惜这门课是无效的呀！哪怕是有90分（满分110）课本原话的考试，平均分也只有66（而且改卷时给了不少放水分）。

举个例子，课本上W^1,∞函数推Lipschitz连续的定理的说法并不是完全严格的，并且在某一步证明函数列的一致收敛时出现了严重的跳步。于是我们在期中考试就出了一题让证明严格版本的这个定理，并且把加了一问作为前置让大家证明这个gap。结果全班102人，只有3个人做对了这道题，做对大半的也只有10人左右。大部分同学这道题的得分都在8分以下（满分25分）。

期末考试放洪水。卷面满分120，平均分高达82.55分，100分以上有19人（共82人考试）。整体的优秀率是37%（以102人为基数）。而这个班有20人中途退课，所以在没退课的人里面优秀率在50%的样子。这还能更梁（良）兴（心）吗？？

说实话我改卷捞低分比某些不认真的同学学这门课还累。

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关于如何（学生和本助教）“应对”这门课：

这是一门要求你花精力去亲自计算每一步的课程，尤其是在你科实变、泛函教育过于谔谔的情况下（很多同学L^p空间、弱收敛、谱都和完全不会一样，希望16级火箭和麻老师的实分析能挽救这一现象！）。繁琐的计算从来不是靠上课听老师讲一遍就能领悟其中的奥秘的。即使是“简单的”习题，也不是一眼就能看出方法的。初学的时候谁不是反复地尝试，反复地失败，最后才学会的呢？要是你一眼就能看出来，那岂不是神仙托梦了？

我知道，有一部分同学的确是很想学好这门课，但由于之前实分析泛函分析学的不太好，导致很吃力。他们交来的作业往往有好几题都是写了一半不会写或者是出现一些错误的。可我倒是更乐意批改这些作业，至少我能帮助他们找出解决问题的正确方法。我不希望他们的作业本中透露出一股“想学学不会，想做做不出”的隐隐绝望。期中考试的时候翻到这些同学的试卷，有些只有四五十分，我也很心痛。现在我在作业中加入了大量Hint, 我不知道这是不是一个正确的做法，但我知道不写Hint一定会导致这些同学仍然做不出作业题。我在主页上挂出课本所有的细节推导、所有习题的答案、作业的大量Hint，是希望就算你不会做，我也得让你知道正确的做法到底是什么，万一这些Hint让你学会了一些PDE的基本套路呢，这样我的目的就达到了。

所以选了微分方程2就好好学吧，我不认为这是一门能够速成的课（除非你实分析功底很强），我也不认为这对初学者是一门简单的课（尽管真的简单到比近世代数简单一万倍）。虽然我今年是助教，但去年我学这门课（详见，赵立丰老师的微分方程II(H)）的时候同样非常地痛苦，有时候几个作业题一天都写不完（尽管有些题很naive），更别说去年还讲了很多很难的补充内容，考试更是难到逆天。

但你如果真的花时间攻克了这些内容，你也就做好了入门现代PDE的准备。（要记住仅仅是一个初步的准备而已）尽管这条路，道艰且长！

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我自己对这门课的看法：

以下内容建议结合另一评课 https://icourse.club/course/12374/#review-1033 共同食用。

这些内容的详细推导以及习题答案，和一些学习建议，我都已经上传到 https://www.zhangjy9610.me/USTCdata-cn.html ，有需要的同学可以下载

(1) 反对这门课成为“几乎必修课”（保研必修，基础数学必修）：

这门课自从搞成保研必修之后，每年的选课人数都有100+，因为大部分同学都希望给自己留一条后路。这样就给教学带来了很大的负担:不少同学根本不想学这门课。实际上院里把这门课搞成必修也是有道理的，因为如果要读计算数学(指PDE数值解)、随机微分方程、基础数学中需要较多分析的方向的这些同学以后是百分之百要会这门课的，所以这些同学一定要趁早学习PDE2这门课，不要拖到大四补。但是其他同学呢？学统计的要吗？(可能要？我不太懂统计) 学代数几何和数论的要吗？(除了解析数论)学拓扑的要吗？如果一个学生学一门对自己毫无卵用且难度不小的课，那他有心思学么？ 我觉得基础数学的培养方案可以设置一些选择，比如: 微分流形/微分方程2/代数学三选二之类的。对于非基础数学方向的同学来说，学院里更应该加强对学生的引导，告诉学生读某些方向需要某某课，而不是像现在这样把选择权强行踢给一无所知的学生们。这一点，清华大学数学系对学生的引导就好得多，大家可以看一下清华数学系网站上每年都有详细的选课引导，希望我们科大也能做到。

(2)教材的选取：这一段是我读PhD之后加的，希望能帮到一些对PDE感兴趣的同学。

Evans这本书的确很好，细节很多，习题也不难，但它有两个很明显的缺点：

1. 从来不讲motivation和intuition

这个需要靠自己的计算和思考反复去领悟。如果能在同一时间内接触到一些例子会好不少。这部分可能需要老师上课的时候额外讲一讲。

2. 缺少一阶方程（双曲守恒律，其实第3还是4章有一点点）、波方程（向量场方法）、色散方程（调和分析方法，Strichartz时空估计）的内容

Evans是做椭圆方程出身的，因此这套教材没什么正经的双曲方程与色散方程的内容，课本的7.2节和第12章的内容你可以当作不存在，所以我觉得这门课的教学不要过于依赖Evans。

如今的PDE研究中，双曲方程（波方程、相对论方程等）、色散方程、流体方程（欧拉、Navier-Stokes等）的开发相比体系已经成熟的椭圆方程而言是少之又少。波方程的多特征速度问题（即特征相互“独立”的耦合波方程组）至今仍然是完全空白（对应于不带耗散的 可压MHD方程（等离子体运动）、可压弹性力学方程、爱因斯坦-欧拉方程（即刻画广义相对论背景下的大质量星云的运动）、以及广义相对论背景下的很多方程组）！拟线性色散方程（组）的研究也才刚刚开始不久。这门课作为本科阶段到研究生阶段的承上启下，有必要让学生稍微了解一点这方面的入门内容。例如：波方程存在性的Hahn-Banach方法，或者讲一些一阶方程（实际上妮可没有课讲一阶方程），半线性色散方程的存在性证明（Strichartz估计+衰减估计构造函数空间，压缩映像原理构造方程的解）等等都是值得接触的内容。较好的参考书则有Alinhac的双曲方程（黄色封面那本）。不要搞得学生学完了这门课就觉得PDE是不等式大全，也不要搞得学生学完了眼光就只局限于眼前这几个基本得不能再基本的方程。一门课除了教会学生知识以外，对学生未来的眼界与格局的塑造同样是需要注意的。

(3)教学内容应该增加实例

Evans这本书的确是好书，甚至我认为微分方程1的PDE部分应该指定讲这本书第2、4章，第三章有时间也得讲！（不要说课难就不学，一门课的难度比你以后碰到的其它困难要小得多！而且科大没有一门课认真讲过一阶方程，哪怕是Burgers方程！）大部分老师在微分方程2这门课只上第5-7章，也就是线性方程部分。但是如果授课教师没花心思备课的话，这门课很容易变得非常枯燥且无用！！！因为这部分书上几乎一个对具体方程操作的例子都没有，全部都是对方程一般形式进行枯燥的推导。我相信大部分人学完之后都不知道这些东西在干什么，进而导致很多人对PDE印象过于刻板——不等式与硬分析大全。但要记住，线性方程只是第一步，实际处理问题都是非线性问题。只不过我们会通过各种手段简化非线性估计。因为非线性项总是越少越好嘛，线性估计总是重要且必须的！

比如对于初值H^1的半线性薛定谔方程iu_t+Δu=±u|u|^{p-1} in R×R^d, (p-1)(d-2)≤4.这样方程解的well-posedness and scattering的研究，就首先得研究线性方程解的时间-空间估计（即抹掉右边非线性项，得到Strichartz估计），再借此得到非齐次（非线性）部分的估计，利用压缩映像原理得到local wellposedess, 之后再利用守恒律等等方法得到Global wellposedness+scattering or not. 

实际上，如果同学们有时间去读一读Evans的Part 3，就能体会到实际操作方程与现在无聊透顶的推定理有巨大的差别。在那部分你可以看见凭借着大家都会的分析工具，我们能够巧妙地解决某些非线性PDE的存在性问题。就比如，我现在让你证明R^3的凸区域上方程-Δu=u|u|^{4+ε}的零边值问题只有零解(evans第9.4节)，你会觉得不知所措。我们的分析工具处理这道题早就够了，关键是这门课现在没有教会我们一些处理PDE的方法。解决一个PDE的问题，靠的不仅是过硬的分析技术，更需要你有统领性的idea.

我认为在教学上，Sobolev空间应该在第一个月完成，绝对不能拖时间，因为这只是一个基本语言而已，本身没有PDE的东西，而这门课叫“偏微分方程”啊！椭圆方程2-3周可以上完（前提是泛函教学必须到位、跳过边界正则性和Harnack不等式的证明），Galerkin逼近和抛物正则性两个星期，双曲方程讲一下波方程的存在性证明（Hahn-Banach法，可以参考Jonathan Luk或者王倩的波方程讲义）、有限传播速度、一阶双曲组的粘性消失法。之后就应该选取Part3中或者其他地方的例子来引进一些基本方法。例如守恒律与诺特定理、变分法、不动点法证明局部存在性等等。简而言之，16周的课，应该在前12周结束线性方程的教学，之后可以挑选一些非线性PDE的实例（甚至不一定要来自evans的书）在课堂上讲，例如第八章的变分法，8.6、9.4节的诺特定理方法，第9章的上下解方法、梯度流方法，甚至傅立叶分析的方法等等，都是可以拿出来讲的。好让大家了解一下处理PDE的基本方法。否则，枯燥无味的线性方程理论，学完就忘，没有实例不如不学。

记住！！！

首先，你要学会check出所有细节，这是第一步。

之后，你不能“陷进只验证细节”这一怪圈！你要时刻清楚自己的目标是什么，PDE中各种操作的目的是什么！

当你有能力做到第一步之后，你就会感觉到：当自己明白idea时，剩下的tedious work自己能不能完成是大概有个预判的，所以一定不要“陷进”细节的怪圈。

(4)课程的衔接为零：

既然院里要这么多人修微分方程2，那么之前的数学分析、微分方程1、实分析、泛函分析也应该有所侧重。数学分析A2就应该讲evans附录里那种n维的分部积分公式，因为这才是真正用到的。不然你学微分方程1就感觉数分白学了！！！实分析中Lp空间应该多讲多练(16级实分析两个班做得很好，尤其是王老师的习题质量非常好。但前两年实在是过于谔谔)，泛函中更应该加强弱收敛和谱理论的教学，避免同学们在学习这门课的时候缺少预备知识而耽误进度。

总之开设这门课的初衷是非常好的，只是在具体教学上经常没有达到目的。一门好课不应该就此浪费。

老师讲的中规中矩，声音洪亮，不过个人有别的事情所以基本没去过上课，基本纯靠自学，最后总评也达到了大学成绩单最高的水平。

只能说给分太太太太太太良心了