数学分析(A1)(罗罗) 2020秋 2018秋  课程号:MATH100102
2020秋 2018秋  课程号:MATH100102
9.7(12人评价)
  • 课程难度:中等
  • 作业多少:很少
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
选课类别:计划 教学类型:理论课
课程类别:本科计划内课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:通修 学分:6
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
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我是这门课的助教,很荣幸在2021年秋季学期与大家一起学习。以下是我根据自己的学习经历所总结,供学弟学妹们参考。

 

综述(前言):

数学分析,是进入大学的第一门数学课,是从初等数学过渡到高等数学的桥梁。其重要意义不单单是学习新的知识,更在于学习方式和思想观念的转变。这也是为什么有些中学时数学经常考高分、或者高中竞赛取得优异名次的学生,到了大学数学却跟不上了;同样也有一些中学时期数学一般的学生,最后却成为了数学家并作出了很多突出的贡献。中学时期所学的数学在某种意义上不能称之为“数学”,它更像是“算数”,要求更多的是“计算力”、“熟练度”。而真正的数学要求的是“理解深度”与“逻辑推理能力”。数学分析所训练的能力就是在逐渐地引导学生进行这种过渡。这门课的重要性不言而喻。

 

微积分的核心内容:

极限:\epsilon-room 技巧。

微分:函数的求导与展开。

积分:Riemann 积分理论。

级数:收敛 vs 发散。 

 

科大“数学分析A系列”课程的逻辑主线:

数学分析A1:极限理论 +(单变量函数的)微分+积分+数项级数。

数学分析A2:(多变量函数的)微分+积分。

数学分析A3:(带有参数的)微分+积分+函数项级数。 

 

注记1:关于如何刷题:

正如前言所说,高中学习数学的思维对于大学数学不完全适用。准备高考数学时我们会买来市场上大量的习题集,然后大量地、不留遗漏地做题。但对于数学分析我并不建议也这样做。市面上有很多数分习题集:“吉米多维奇”、“谢惠民”、“卓里奇”、“周民强”、等等。但是我们做题的目的是帮助理解,而不是追求熟练程度。如果理解已经到位,只把作业做做就拿到90+的同学也大有人在。我个人提供一个自我检测的标准:对于我们的课本,后面的习题(注意是“习题”,不是“问题”),能够独立做出80%即可。换句话讲,一张卷子,平均难度与书后“习题”相当,那么你能做出80分,就基本掌握到位了。不要花太多的时间精力去钻研这种初级课程里的奇淫技巧。

 

(1)极限:

极限理论是整个分析学的基石,用任老师的话说:“分析是极限的艺术”。如果把分析学的各个分支(实分析、复分析、调和分析…)比作是一幅幅画,极限便是绘制这些画的颜料。我们要学习如何在“无穷小”层次去分析问题。利用这套理论,我们要把高中“观念中的数学”转化为“严谨的数学”:如何定义实数?什么是连续?等等… 这部分的核心工具是 \epsilon-room 技巧。

 

(2)微分:

微分是极限理论的第一个应用:严格的定义什么是导数,并研究函数在一点处的渐进形态:Taylor 展开。我们要用“好的函数”(多项式)逼近一般的函数,并分析在逼近的过程中所产生的误差。对于这个误差我们首先会从定性的角度学习一个非常粗糙的估计:Peano 余项;然后进一步学习更精细的估计:Lagrange 余项、Cauchy 余项;最后学习最为精细的估计:积分余项。带有积分余项的Taylor 展开式是这门课微分学的顶峰。这部分的学习中大家要重点掌握隐函数定理,并能够计算一些常见函数的导数与渐进展开。

 

(3)积分:

积分理论是极限的又一个重要应用,我们在高中学过:一个比较好的函数,它的积分就是与坐标轴围成的面积。但是对于不太好的函数(比如不连续函数),它的积分如何定义?这便是学习积分理论的核心问题。它的核心思想就是极限。类比如何通过极限严格定义实数(无理数是有理数的极限)。这里是用“好的函数”逼近“不好的函数”,取“好的函数”的极限。这门课运用这套思想,学习的是一种“不太完整的” Riemann 积分理论(完整的Lebesgue 积分理论要到“实分析”这门课进一步学习)。关于这部分的学习,重点需要掌握:Riemann可积定理、局部积分公式,同时还要会一些常见的具体积分的计算。

 

注记2:微分与积分的关系:

微分与积分就像一枚硬币的正反面,是一对互逆的运算。我们可以很自然地提问:一个函数先积分再微分,会不会回到这个函数本身?(Lebesgue 微分定理)反之:一个函数先微分再积分,会不会回到这个函数本身?(Newton-Leibniz 公式)要完全回答这两个问题需要测度论的知识,这超出了这门课的范围。有兴趣的同学可以在 Stein 的实分析教材“Real Analysis” 第三章中找到答案。

 

(4)级数:

级数理论(在这门课中)相比于前面的部分相对简单,主要掌握核心的概念(什么是条件收敛?绝对收敛?)以及一些常用的判别法则(Cauchy 判别法、Dirichlet 判别法、Abel判别法),应对考试便足够了。这些内容在后续课程的学习中会或多或少地用到。

 

(5)数学分析的遗留问题与后续课程:

极限理论中我们学习了连续性、收敛性、紧性、等概念,这些内容事实上就是欧氏空间的拓扑,对于更一般的集合也可以定义拓扑,这便是“点集拓扑”的内容。在微分学中:我们学习了函数的“微分”与“求导”,但是很难理解这二者有什么区别;我们学习了外微分形式与场的数学,但很难理解外微分形式究竟是什么东西。要回答这些问题就必须要从局部的“欧式空间”走到整体的“黎曼流形”。在“微分流形”中我们会学习高维外微分的 De Rham 上同调与 Stokes 公式,用一种更高的观点去看待数分中所学习的场的数学。在“黎曼几何”中会学习联络理论,那时我们将会明白“求导”存在的不足,以及“联络”是如何解决这些不足的。在级数理论中我们学到了“收敛半径”,在“复分析”中会将这套理论从实数推广到复数。在积分理论中我们学习的是“不太完整的” Riemann 积分理论,在“实分析”中我们将走到积分的最广场所:抽象集合的测度与积分。我们在这门课中还学到了隐函数定理,在“泛函分析”中这个定理会被推广到无穷维的“Banach 空间”,它会在求解偏微分方程的开集检验中发挥重要作用。……

 

总结:

数学分析是今后所有数学课的基石,是大学数学课中最重要、最基础、最简单的数学课!良好的开端是成功的一半。对于这门课,大家在学习中一定要给予足够的重视,花费足够多的时间,认真学习!

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Cesare Zts!ts!

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Promise 2020秋

大三老狗,由于历史遗留原因(转院时修数分不配套)被迫又上了一学期数分,这学期恰好同时也在当数分A3的助教,两边都是没修配套的补课壬,感到迫真朝花夕拾一样的五味杂陈。两年过去了,从认为数分A就是比微积分高级,到张口纤维丛闭口上同调的名词党,再到现在又不断审视之前学过的数学和想过的问题,数学对一个人的塑造是潜移默化的,借着上这门课的机会回味一下也觉得非常有趣。

回到这门课上,我觉得对新同学来说,第一要务是把严格化的数学思想建立起来,从定义出发解决问题不是一句空话,而是要确实去理清楚基本概念:收敛,连续,可微,(Riemann)可积是什么,主要的定理:实数系统连续的六大定理,各种中值定理,Lebesgue定理是从哪些定义出发,又有什么具体含义。这些稍微深层一点的想法往往书上不会直接告诉你,自己想一想再和老师交流一下是坠吼的。(资质不那么高的)高中生往往形式地学数学,看到相同的形式就往里面套,这也是为什么往往听到高中生声称自己用L'Hospital法则被扣了分而感到很冤枉,但实际上一般都不冤,因为他们很可能完全没验证L'Hospital法则的使用条件,这样是不能称得上学会了一个定理的。我想这一点可能是大多数同学需要转变过来的,之前在评课社区看到有(非数学系的)同学说自己认真做了很多笔记,也刷了100甚至90道习题,还是学不好数分,我觉得可能还是思考少了,不搞清楚出现的定理究竟想表达什么的话,不定积分刷得再爽也是无济于事的(然后我把期末第一题做错了,,,大家不要学我)

最后罗罗给分真的是太好了,我期中期末都是裸考的,上课也没有去过,做卷子的时候感觉巨大力不从心,很多题目不太熟悉的感觉,最后也犯了这样那样的意想不到的错误,然后还是被捞上去了。不过我还是建议想转入或者转出数院的同学最好把数分修配套,大三了还过来折腾挺费事的,也不能让你学到新的东西(迫真怀旧服),,,

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云上的日子 2018秋

强烈推荐!! 期中考试多给了半个小时,期末考试多给了半个小时,而且还提示了最后一题怎么做。 作业巨少,不点名,上课讲的很详细,很慢,从不点名,也没有小测。

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吃饭睡觉看hwrdl4.3TQL

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lpl 2020秋

罗罗老师讲课认真,板书细致,还偶尔会讲段子调节课堂气氛。 给分也不赖,本来说作业:期中:期末2:3:5的,因为题比较难,班级期中期末平均分都不到60,改成了5:2:3。 数分一定要做好笔记,多刷点习题啊!

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章神伟大 2020秋

罗罗老师很幽默,上课时不时讲段子,据说给分也很不错,期待一手。上课内容基本就是按着课本来,也有一点点补充,完全不怕跟不上进度。老师人也很好,有问必答。唯一的缺点是进度太慢,有时候能与隔壁班差下整整一章的进度。作业还行,全是书上的习题。考试挺难的,可能是A1的传统吧。

 

出分更新:罗罗老师不愧是奶神,硬生生把我从卡绩边缘拉高一档。A2还是罗罗班,希望继续奶我一把(逃

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2018秋

罗老师讲课很认真仔细,能把知识来龙去脉讲的清楚,课堂生动,明年还会选老师的课,助教都认真负责。

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sunrise2001 2020秋

很好的老师,上课很有趣

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迪迦 2020秋

上课很认真,还会讲故事!十分喜欢!

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JohnDoe 2018秋

本人在科大上的第一门数学课。

就上课而言,罗罗老师很幽默,因此课堂不至于说无聊,作为数学系入门基础课程,课程难度也不大。

就作业而言,量不是很多,也不是太难,出的也全是史济怀后面的练习题,都不是什么难题。

就给分而言,就我本人来说给分不错,我可能有一两次作业未交,后期翘了几节课(不过期中期末都考的不错),最后给的是4.0。

收获,因为上课前已经有预习过的原因,本人收获不大。

最后,如果学有余力的话,个人觉得可以把问题做了之后可以看A2,A3的内容,如果还有余力的话,可以试试stein的四套分析书《傅里叶分析》,《复分析》,《实分析》,《泛函分析》(最好是看英文书,中文翻译惨不忍睹),不过本人大一上只看了一本傅里叶分析。

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。。大一上傅里叶分析,大一下zgy分析((

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吹爆罗罗 2018秋

大学第一门课是罗罗老师的数分A,课堂风趣幽默,随时开车,题外的一讲半小时。助教优秀,作业不多。一年的时间,感谢罗罗老师,收获很多,给分超好!吹爆吹爆!

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wtcl 2018秋

罗老师为人和蔼可亲,讲的也不错,基本按照书的顺序,对于上课不愿意记笔记的同学简直是福音。罗老师下学期教数分B1了,强烈建议选

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wtcl是B1,输错了

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jetchou 2018秋

罗老师上课讲得很透彻,而且很有意思,充满了数学小段子。

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罗罗

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