黎曼面我懂得不多，水平极其有限。不过有同学问我了一个soft question，我就说一点我的看法，诸君姑妄听之。

  黎曼面的背景：通过扩大复制解析函数的定义域到一维复流形上，强行让复变函数中出现的多值函数变成单值函数。这个新的定义域就是黎曼面。黎曼面的出现第一次给出了抽象流形的实例（之前数学家只研究嵌入欧氏空间的流形，黎曼面概念的引入使得流形理论进一步完善，知道20世纪初Whitney给出了嵌入定理，统一了两种流形），同时也使得一元复分析有了巨大的发展。联系了现代数学中很多（包括但不限于复分析、复流形、复代数几何、代数数论等）领域。

  赵老师选的参考教材是Forster 写的Lectures on Riemann Surfaces （GTM81）这是很经典的一本教材，写的很干脆利索，习题提供了部分例子，为了熟悉书中定理题题必做，不做的话就像听睡前故事一样云里雾里。从几何的角度入手黎曼面，同时引入一些代数几何的语言，学代数几何的同学应该会很喜欢。但是例子有点少。书的起点很低，熟悉复分析，再懂一点拓扑和流形就可以上手。熟悉的同学可以速读第一章，这些都是基础知识，复习拓扑和流形理论。（不熟悉的话建议假期提前预习至少前六节）。重点在第二章和第三章，分别讲紧黎曼面和非紧黎曼面。绝不可花费太多时间在第一章晃悠。由于老师抄书速度过慢，只讲到第二章的Serre对偶定理就结课了，到这里只能算是初步了解了黎曼面的基本语言、方法和研究对象。赵老师在第二章的考察重点是Riemann-Roch定理的证明及应用，Serre对偶定理的应用。最后一节课突然飙车讲起了Hodge定理。剩下的部分只好自己闲了再学。

  紧黎曼面的参考书还有伍鸿熙写的《紧黎曼曲面导引》，有人说这本书应该叫《Riemann-Roch定理证明及应用》。毫不不夸张地说，这应该是黎曼面最好的一本中文书了。前言部分的甚至还有“学习指导”“图书推荐”，建议大家去看一眼，比我写的好太多。

  最后再推荐几本（我只读过一点点）比较流行的参考书。Jost写的书Compact Riemann Surfaces比较偏分析和几何，用了不少现代pde的语言。Donaldson写的Riemann Surfaces比较综合，。Miranda的Algebraic Curves and Riemann Surfaces有着巨大多的例子，没事干可以翻翻书写几道题当作习题集用。（我和几个同学开的讨论班就用的这本书，但是没讲几次就凉了）。另外Harvard的McMullen写过课程讲义可以配合Forster食用。（网上能找到他的主页，可以免费下载）。总的来说上面提到的这些书的作者都是名震天下的巨佬，挑一两本书好好念就可以，切不可以（像我这样）贪多求全。

  最最后再说几句话关于老师。在我上过的所有数学课中赵晨老师 讲课 水平不敢恭维，除了第一节课讲了一点黎曼面的感性认识和最后一节课飙车以外，几乎全程把书上的文字誊到黑板上，誊完一段话之后再念一遍，讲话声音也很小，而且几乎没有解释性的语言。毫不留情面地说，她是我我在科大遇到的讲课最让人失望的老师（ 对事不对人 ）。不过感觉老师人很好，回答问题很耐心。数院主页显示老师似乎是是去年新来的特任研究员，方向是微分几何。学术水平方面我不足以评价老师。就不乱讲了。话说回来，虽说研究生课大多靠自学，但是想想哈佛开这门课的老师是菲尔兹奖得主，而科大的这门课让人感觉听课不如自学，科大何时才能成为“世界一流的大学”呢（doge）