要谈论概率论进阶，那不可避免的要先去聊聊概率论究竟学了些什么。

回顾概率论这门课，除去大篇幅用于建立随机变量是什么，以及对一些特定随机变量的计算和具体的model之外，其实学到的就是两个定理：大数定律和中心极限定理。

一般来说，大数定律描述的是我们关心的概率对象总会收敛到一个最可能的分布，而中心极限定理则刻画的是在这个收敛过程中，我的概率对象产生的波动（fluctuation）。 同时再配上这门课或许会提到的大偏差（Large Deviation Principle），关心在指数小的小事件上概率对象的情况。这几项基本上涵盖了概率论研究里面的大多数问题。

而概率论课程则是介绍了指标集为\(\mathbb{N}\)，独立同分布情形下随机变量的大数定律和中心极限定理。

在科大概率课程的开设里，高等概率论处理了随机变量指标集为\(\mathbb{N}\)独立不同分布的情形，给出这种情况下的大数定律和中心极限定理，以及一个饶有趣味的Kolmogorov三级数定理。而应用随机过程与随机过程则分别考虑指标集为\(\mathbb{N}\)和更general指标集下，不独立，但有独立性的弱化条件马氏性的随机变量的演化情况，当指标集为\(\)\(t\)或者具有拓扑意义的\(\mathbb{R}^n\)时，随机微分方程会涵盖这一部分内容。

那么概率论进阶这门课想要干什么事情呢？我们关注了一些具体的model，随机矩阵以及统计物理里面的Ising model。抽象来讲，我们关注的是一类指标集为\(\mathbb{N}\)，随机变量之间有着比独立性和马氏性更复杂耦合的model，以及处理这几个model的一些方法。具体来说是一下几部分内容：

随机矩阵的大数定律，特征值的经验分布会趋向于\(\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}\)，通过矩方法进行证明。

平均场Ising model，以及1d Ising model的大数定律和波动，通过转移矩阵的方式证明。

lindeberg替换则是让我们能够将复杂耦合的随机变量\(F(x_1,x_2,...,x_n)\)一步步替换成\(x_i=N(0,1)\)的情况的一种method，能够将一般的分布变为特殊可解的分布，比如当随机矩阵矩阵元都是高斯的时候，可以将所有特征值的联合密度函数写出。terence tao和 van vu他们在2010年左右曾用lindeberg替换原理在随机矩阵领域做出了非常重要的工作。

熵（entropy）则更是老生常谈的典中典，在概率论还无法证明系统的大数定律和中心极限定理之时，物理学家就是通过熵最大来猜测系统的平衡态是什么样，熵值最大的状态，就是概率论里系统的大数定律收敛过去的状态。

总的来说，这门课想要介绍一些概率论处理没那么好条件，但是上完本科概率论课后就可以理解的模型，这些内容也主要来自于统计物理模型。都是一些比较粗浅的介绍，但是对于第一次接触的同学来说，可能内容比较多和困难。

最后，介绍概率里面几个比较有意思同时也和这门课程有关的问题吧。

hermite随机矩阵特征值的经验谱分布整体上会almost surely收敛到半圆率，这时随机矩阵的大数定律，而我们在[-2,2]中一点x放大来看，可以观察到随机矩阵特征值在x处的波动，当\(|x|<2\)时会收敛到\(O(\frac{1}{N})\)的\(Sine_\beta\)过程，而在\(|x|=2\)附近，最大特征值的波动会收敛到Tracy-Widom分布。这种波动的收敛与随机矩阵矩阵元本身的分布没有关系，而令人惊异的是Tracy-Widom分布不仅仅在随机矩阵中出现，而同时在广泛的统计物理模型中出现，因此和正态分布对应的高斯普适类一样，被归类到对应的KPZ普适类中。

Ising model，当我们考虑高维Ising model时，他对于温度会出现相变，当温度程度较高时spin会比较均匀的分布。但如果此时我们向其中添加很多+的spin，或者说我们考虑这个系统的大偏差，考虑他condition on +的spin比- spin多很多的事件中，他会出现多出来的+ spin集中的现象。这些+ spin集中在一起有一个固定的几何图案，被称作wulff crystal，这个几何图案便是Ising model大数定律所对应的对象，当然在物理上也可以解释为最大熵/自由能最低的图案。同时，如果我们考虑wulff crystal边界的波动，根据条件的不同，他可能会出现高斯波动，也有可能会出现前面所提到的Tracy-Widom分布对应的随机矩阵波动。

今天刚刚考完期末，先占个坑，等到放假了来评个课。

附上本人的笔记，仅供参考：http://home.ustc.edu.cn/~wyx_mail/study_notes.html/Probability%20Theory-Outer%20Chapter.pdf

更新：喜提4.3，说明照着这个我上传的笔记背可能海星。

考完试取消匿名来评个课

上课体验:前一周半很好，体验和概率论内篇一般丝滑舒适。只不过后面ising和cw模型那里实在阴间，难以听懂，物理背景解释很少，大部分时候是在抄讲义，根本不知道他在干啥。

作业:和上一点类似，前2.5次作业还好，后面题都看不懂。还好助教会提前在群里发往年习题课讲义

助教:zgy助教知识水平过硬，问问题从来没有卡壳，后面两个模型习题课感觉讲的比正课好。。。习题课还是建议去听，因为貌似讲义bug挺多

考试:80分作业+5分数学分析送分+5分高中数学送分，还有20分题目难一些。ising和cw模型只考作业题但是答案背着十分痛苦……

给分:平时分40%-50%，而且按照三次作业一次十分+70计算，批卷大放水平时98期末96总评97。内篇3.0外篇4.3。给分这么好还是推荐一波吧

目前来看，很阴间

讲统计物理的模型，抛弃了物理直观和数学简洁表示，弃其精华，取其糟粕。

课程前半段讲lindegerg替换、半圆律、高斯正交系综、Carleman条件等，后半段在讲信息熵和统计物理模型。

前半段实质上是讲初等组合计数，后半段上的数不数学物不物理。要讲Ising模型，没有前提铺垫，直接开始定义一通爆算概率，让人摸不着头脑。既然是理论物理的模型，在授课时应该首先把包括Hamilton量等物理知识做大量的科普，在接受了物理客观实在之后再解决概率问题。跳过中间步骤走捷径解决衍生的数学问题，背离了理解接受物理规律的初衷。同时，许多内容内篇没讲，外篇直接拿来用，比如矩母函数。

纵观本课，感觉就是教了些组合技巧，看看主项，验证一个指数型熵不等式，会用矩母函数。

不建议选，想了解ising model可以选热统A，其他外篇东西可以一天内速成

省流：不太推荐

如果必修当我没说。

学期初想着反正1学分的课，也讲不了多少东西，实在不行就退课。后来又看到选课人数一度接近80，就放心选了。尤其是第一节课，ldz按时优秀率可以给到70%，让我确定不退课。

但概率论内篇期末复习的时候，才意识到自己并不擅长这门课程。当时打算3.3+就留，3.0-就退。

ldz给我捞到3.3给我了一点继续学的动力，于是硬着头皮听。

本学期内容（8次课）：

1. 矩方法、矩收敛定理、Linderberg替换
2. Wishart矩阵，GOE
3. Wigner矩阵
4. 信息熵、Gibbs不等式
5. 一维Ising模型
6. Curie-Weiss模型
7. 李-杨单位圆定理
8. 概率论于Riemann猜想，复习

整体像是一个科普课，所以导致了一个问题：

没有体系！ 

前不着村后不着店，突然就蹦出这么一个东西。矩方法那块还好，是从CLT派生出的一些想法。虽然Carleman和Riesz条件也有些突兀。

到了随机矩阵就逐渐混沌，为什么要研究它的特征值的分布？为什么能和半圆律产生关联？为什么计算路径的时候要求不相交？

这些问题在课上都没得到明确的解答。邹助教的讲义里补充了一些，但很多motivation依然没有讲清楚。

到了Ising和CW两个物理模型更是如此，只是大概说了一下这跟磁化有关系。这两节课用的符号极其“物理”，式子中各种不知道含义的字母和起源于热统的关系式让人直接放弃了理解，成为一个无情的抄笔记机器。考前一直在看CW的笔记，至今没弄懂它是怎么从Ising中简化而来的，为什么它的内蕴关系式长这个模样。

好在最终Ising和CW没专门考笔记内容，躲过一劫。

作业一共3次，难度很大，有些题不看去年的讲义根本没有思路。作业要认真写，至少认真抄完整。空题、大量错误的作业是要被扣分的，作业-1分，总评至少-1，得不偿失。

考试范围是前三周，5道题，满分110：

1. 一般的熵的凸凹性不等式
2. Ising模型的渐近
3. 特殊CW模型平均磁化强度的依概率收敛
4. Lindeberg替换
5. 元素1和-1两点分布的对称随机矩阵的trace

还是相对友好的，1-3为作业（似乎是原题），4是作业的简化版；5有四问，前两问验证Chebyshev多项式的性质，第三问计数，第四问（附加题）研究极限。

虽然考了原题，但这不影响我进考场前刚看到3的原题，一发下卷子就忘（

按照今年，复习的时候优先级是 作业>>笔记（笔记也看不懂）

By the way，俩物理模型的讲义当周发出来了，但是顺序全乱，上课要是没跟上就有难了（bushi）。

据说作业和考试比例未定，但似乎一分不调。

学完Ising想退来着，但权衡再三，不舍得把一次退课机会浪费在1学分上，大三的研课有的是你退。

总结就是：

倒回去半年我绝对不选。

选复分析(H)虽然被卷爆，但确实能多学很多东西；这门课在期末听耗费时间，也没啥大的收获。

平时分100 期末83 总评90

给分还是挺不错的

另：作业允许考完试当天补交，甚至之前觉得作业分太低的也可以重交一份。

想拉高一下评分。

进阶的内容比内篇跳跃性更大，科普性很强，上课能跟着老师走就算90%的成功。但是不要因为科普性强就不认真听，否则就是在教室罚坐。

作业ddl非常晚，非常符合一门一学分的课的注水量（doge）。

期末考试几乎作业题，没啥可说。考前能把作业题都百分百理解，也算得上有点水平。

老师和助教都超级和善谦逊，考试的时候如果题目不懂可以当场问（老师甚至提示怎么开头，怎么得分）。

很多大佬选择旁听这门课而不是正选，因为这门课的内容确实太科普太零散了（很多细节比较难啃，所以被吐槽了两年）。我认为至少框架是清楚的，还是在可以接受的水平，况且最后给分看起来皆大欢喜，就当一学分的数学通识，也不亏。如果是🌸班，更加推荐，本学期的几门h课里这是算比较愉悦的了。

不得不说概率论确实上的很好，但是至少对于我来说，这次的进阶课上的还是比较失望。最后两个物理模型用了三节大课时间讲，但是由于缺乏背景知识或者其他一些原因吧，我并不知道他到底要干什么，讲的很快，最后三节课一直在算，但很多量并不知道有什么意义。复习的时候也并没有看懂给出的一些参考资料，最后的期末考试就是背作业答案，总评严格作业考试四六开不调分。应该还是我太菜了吧（笑

最后三分送给负责的助教和除了最后的物理模型之外的内容，如果不是华班建议旁听完标准的外篇内容后就可以润了

这学期的进阶课体验不是很好。

总体来说选择的内容还是不错的，但感觉主次没有把握好。尤其在讲统计力学模型时上课大部分时间在计算，结果老师过多运用口算大法而没有写出计算细节。另外整个外篇中许多关键问题都是组合计数，老师上课解释的也不算很完整，作为之前没有接触过组合，图论的人还是有点迷茫。

也许外篇的内容还是适合像原来一样作为拓展穿插在内篇中讲授，现在集中一段来讲可能会使人忘记了“概率”在哪里。不过这也没法改变吧。

课程最后一周讲了李-杨单位圆定理，李-杨类与Riemann假设的联系，感觉还是很值的。

今年平时期末四六开，喜提和概率论相同总评，完美融合！

关于课程 选材方面确实比较零散，比起课程更像讲座，但四周时间可能也很难具体讲完某个方面，所以这种差不多一周一个专题的讲法多少能开阔视野。 老师讲课时确实跳步挺多，甚至有一些是并不显然的，不过在课后自己思考一下或者询问老师助教应该都能得到答案。 课后的题目也和授课内容关联比较大，很多是对一般情况，或者老师略去的证明细节的验证。除了个别1-2题外，其余的题目不会做基本是上课内容没懂或者证明细节没想通。 至于不说明含义直接给参数这个我觉得也还好，毕竟在跳了一些验证的情况下才讲完。如果还要讲物理含义可能真的没有那个时间听故事，大不了就当成一个数学模型Shut up and calculate.

关于考试 5=4a.e.作业原题+2/3数学分析+1/3*新题目 最后还有一道附加10分

总体来说虽然上课内容有点困难，但几乎没有额外的难度，把作业和笔记都弄懂就足够了。