25春助教，本学期概率论进阶课内容主要分为随机矩阵初步和统计力学模型两部分，随机矩阵讲了Wigner半圆律和GUE模型（包含特征值联合密度与最大特征值scaling limit），统计力学模型讲了熵、Ising 模型和Curie-Weiss模型，最后还花了一节课时间科普了李-杨单位圆定理。习题课期间补充了随机图中的离散概率方法和Directed Polymer model两块topic，但限于时间没深入讲解。

课程内容：

本课程的核心是探究一些不独立情形即带有相关性的具体模型，这些模型通常来自于物理等其他学科背景，我们去研究相应的极限定理行为。本门课程我们提到

• 随机矩阵特征值的大数律 (First Order)：对随机矩阵做尺度为\(\sqrt{n}\)变化后，有 1. 对于特征值的整体分布（经验分布），所有特征值结合在一起会收敛到半圆律。这一结果我们可以通过矩方法证明，而矩方法的想法主要通过求 \(\text{Tr}(X)\) 的研究我们可以反过来得到 \(\lambda\) 的性质，而\(\text{Tr}(X)\)的行为又可以归结到对图上路径的计数，由此构建了研究随机矩阵谱行为的方法论之一；2. 最大特征值\(\lambda_{max}\)几乎处处收敛到2（补充）。
• 随机矩阵特征值的波动 (Second Order)：这里我们考察GUE模型（随机变量为正态分布）情形并做尺度\(\sqrt{n}\)变换。对于高斯情形，我们可以通过对矩阵的正交变换和换元将 N 阶矩阵的联合分布密度写出，运用分析的工具去研究他们的渐近行为（比如边界情形是 Airy 点过程和 Tracy-Widom (F_2) 分布，内部是 Sine kernel 所决定的过程等等）。 具体极限定理为 1. 对边界情形，\(n^{⅔}(\lambda_{max}-2)\)收敛到Tracy-Widom分布。这里的指数2/3有一个不严格的insight：半圆律在edge上是以平方根衰减的。严格的话需要通过渐进分析的方法证明；2. 对内部情形，当 \(x\in(-2,2)\)时， \(x\) 附近特征值的分布会收敛到 Sine process（补充）。而对于一般的实/复Wigner矩阵，我们仍然可以用矩方法，Lindeberg 替换等方法完成。比如我们可以用 Lindeberg 替换将一般随机矩阵的矩阵元换成正态分布的情况，来证明一般矩阵的极限分布和 GUE 的一样。具体可以参考2010 年前后 Terence Tao 的一系列工作的思想和方法（全名为四阶矩比较定理）。 
• 正周期1d Ising 模型和平均场Curie-Weiss模型中磁矩和的大数定律和波动：通过矩母函数的计算和分析即得。前者情形的配分函数可通过转移矩阵方法得到，后者主要利用Laplace（鞍点分析）方法证明。

上述模型中，对一般的随机矩阵，我们可以通过矩方法来转化为一个组合计数问题；而对GUE模型还有统计物理模型中，这类带有相关性的结构都具备某种“可解性”或者说是“可积性”，我们一般先得到某种代数/组合等“等式”的观察，再通过渐进分析的方法（包括提到的Laplace/鞍点分析方法）加以得到。这也是本门课程涉及到的的核心方法论。
除此之外，我在习题课期间补充的随机图中，对于非负整值随机变量我们可以通过一阶矩和二阶矩能对尾概率分别提供上下界估计得到一阶矩和二阶矩方法，来研究随机图出现的一些性质。而这里的核心技术更多是在处理“不等式”，但限于时间和篇幅我们没有过多展开。

本课程存在的优点与不足：

1. 优点：不容置疑，这门课程介绍了来自于数学物理和统计物理中的具体模型，且前置知识只需本科概率论。同时体现了概率学科的扁平化结构，且选材内容极具前沿性。
2. 不足：一是GUE model的部分讲得太多太难了，最大特征值的scaling limit是30年前才得到的硬核工作。对于大二的本科生而言学习该内容可谓overload，而且展现过程中几乎都是没有motivation的纯计算，很难让学生产生兴趣。除此之外，这部分作业留的关于GUE矩也异常困难。二是涉及到的内容讲得都太深了，意识流的授课形式有待商榷。个人prefer内容diversity一些但是讲得都不深，这样既显得学科扁平化又有概率taste。
    

题外话：什么是概率？

学到这里，大家都应该知道概率论区别于实分析的最大factor是独立性和相关性。对此，我进一步给出一些观察：

• 宏观现象（结果）。1. 概率论本身关注的普适性（Universality）：如大数律(First Order)、中心极限定理或者其他更non-trivial关于波动项的极限定理(Second Order)、大偏差（本课程未涉及）以及离散格点模型中的尺度极限现象等。2. 来自于物理、统计或应用学科的具体模型的性质变化：相变现象与阈值……
• 微观现象（过程）。1. 耦合（Coupling）：注意到两个随机变量的分布相同并不代表随机变量相同, 也即不代表他们的样本空间相同。借助这个想法, 我们可以通过匹配合适的样本空间来达到上述目的 ；2. 条件期望（信息变化）：以下节选自(56 封私信 / 65 条消息) 做数学不同方向的人各有什么特点？ - 知乎：
  ”一个很自然的情况就是某个随机变量只能观测到一部分信息，为了描述这种情况，就出现了条件期望的概念。教授的原话：conditional expectation is what distinguishes probability from other subjects. 而把概率放在测度的框架下最大的原因就是为了保证条件期望的存在性。研究随机过程的时候，还需要描述随“时间”变化而增加的“信息”，就有了filtration。有了随“时间”变化而增加的“信息”之后，想要可以把随机变量“限制”于某个特定的“时间”，就有“停时” (stopping time) 的概念。然后，概率学家发现了一类对时间和信息变化性质良好的随机过程，叫做“鞅” (martingale)。在定理证明和解决问题里，一个通用的技巧就是定义一个停时，让这个随机过程或者随机微分方程 (SDE) 在这个停时里性质良好，这个性质通常是鞅性质，然后利用鞅的各种收敛、不等式、optional sampling、Itô's formula等等，得到想要的结果。本质上，这种技巧也是概率学家对“信息”变化的深刻理解。"…

我们通过下面的例子来展现过程中使用两种不同角度都能得到对应的结果
 

如上，上界的两种方法中前者更侧重对过程进行分析（微观），后者只看重结果而无需考虑过程（宏观）。最后我们都能得到题目要求的结果（尽管方法上仍有强弱之别）。

考试与给分（25Spring final）：

满分110分，送分题+原题+原题略略略改编加起来一共80分，在考试延时15min且改卷放洪水下，最后平均分仍只有70分，貌似不太符合荣誉课程的定位，因此结果

比较凄凉！

当然最后给分还是比较仁慈（优秀率接近70%），把送分题和默写题拿下就有4+了（迫真默写大赛），，，

总结：

本门课程对概率及物理感兴趣的同学强烈建议选修，对选择概统、TCS等方向的同学可以考虑选修，其他更建议旁听本门课程，毕竟本课程定位更像是前沿专题选讲而非带期末考的本科生课程，但由于一些不可抗力因素还请大家理解。

要谈论概率论进阶，那不可避免的要先去聊聊概率论究竟学了些什么。

回顾概率论这门课，除去大篇幅用于建立随机变量是什么，以及对一些特定随机变量的计算和具体的model之外，其实学到的就是两个定理：大数定律和中心极限定理。

一般来说，大数定律描述的是我们关心的概率对象总会收敛到一个最可能的分布，而中心极限定理则刻画的是在这个收敛过程中，我的概率对象产生的波动（fluctuation）。 同时再配上这门课或许会提到的大偏差（Large Deviation Principle），关心在指数小的小事件上概率对象的情况。这几项基本上涵盖了概率论研究里面的大多数问题。

而概率论课程则是介绍了指标集为\(\mathbb{N}\)，独立同分布情形下随机变量的大数定律和中心极限定理。

在科大概率课程的开设里，高等概率论处理了随机变量指标集为\(\mathbb{N}\)独立不同分布的情形，给出这种情况下的大数定律和中心极限定理，以及一个饶有趣味的Kolmogorov三级数定理。而应用随机过程与随机过程则分别考虑指标集为\(\mathbb{N}\)和更general指标集下，不独立，但有独立性的弱化条件马氏性的随机变量的演化情况，当指标集为\(\)\(t\)或者具有拓扑意义的\(\mathbb{R}^n\)时，随机微分方程会涵盖这一部分内容。

那么概率论进阶这门课想要干什么事情呢？我们关注了一些具体的model，随机矩阵以及统计物理里面的Ising model。抽象来讲，我们关注的是一类指标集为\(\mathbb{N}\)，随机变量之间有着比独立性和马氏性更复杂耦合的model，以及处理这几个model的一些方法。具体来说是一下几部分内容：

随机矩阵的大数定律，特征值的经验分布会趋向于\(\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}\)，通过矩方法进行证明。

平均场Ising model，以及1d Ising model的大数定律和波动，通过转移矩阵的方式证明。

lindeberg替换则是让我们能够将复杂耦合的随机变量\(F(x_1,x_2,...,x_n)\)一步步替换成\(x_i=N(0,1)\)的情况的一种method，能够将一般的分布变为特殊可解的分布，比如当随机矩阵矩阵元都是高斯的时候，可以将所有特征值的联合密度函数写出。terence tao和 van vu他们在2010年左右曾用lindeberg替换原理在随机矩阵领域做出了非常重要的工作。

熵（entropy）则更是老生常谈的典中典，在概率论还无法证明系统的大数定律和中心极限定理之时，物理学家就是通过熵最大来猜测系统的平衡态是什么样，熵值最大的状态，就是概率论里系统的大数定律收敛过去的状态。

总的来说，这门课想要介绍一些概率论处理没那么好条件，但是上完本科概率论课后就可以理解的模型，这些内容也主要来自于统计物理模型。都是一些比较粗浅的介绍，但是对于第一次接触的同学来说，可能内容比较多和困难。

最后，介绍概率里面几个比较有意思同时也和这门课程有关的问题吧。

hermite随机矩阵特征值的经验谱分布整体上会almost surely收敛到半圆率，这时随机矩阵的大数定律，而我们在[-2,2]中一点x放大来看，可以观察到随机矩阵特征值在x处的波动，当\(|x|<2\)时会收敛到\(O(\frac{1}{N})\)的\(Sine_\beta\)过程，而在\(|x|=2\)附近，最大特征值的波动会收敛到Tracy-Widom分布。这种波动的收敛与随机矩阵矩阵元本身的分布没有关系，而令人惊异的是Tracy-Widom分布不仅仅在随机矩阵中出现，而同时在广泛的统计物理模型中出现，因此和正态分布对应的高斯普适类一样，被归类到对应的KPZ普适类中。

Ising model，当我们考虑高维Ising model时，他对于温度会出现相变，当温度程度较高时spin会比较均匀的分布。但如果此时我们向其中添加很多+的spin，或者说我们考虑这个系统的大偏差，考虑他condition on +的spin比- spin多很多的事件中，他会出现多出来的+ spin集中的现象。这些+ spin集中在一起有一个固定的几何图案，被称作wulff crystal，这个几何图案便是Ising model大数定律所对应的对象，当然在物理上也可以解释为最大熵/自由能最低的图案。同时，如果我们考虑wulff crystal边界的波动，根据条件的不同，他可能会出现高斯波动，也有可能会出现前面所提到的Tracy-Widom分布对应的随机矩阵波动。

课程确实会比较零碎，但是减少这也是没办法的事。但刘老师已经给我们打开了好几扇大门，把概率关注的一些问题告诉了我们。使用的技术或许没有那么概率，但我认为这正是概率的美妙之处。

被党政弄的想去上高钙和研随了🥰

认真看习题课讲义是我做过最正确的选择。

放一份略显啰嗦的笔记：概率论进阶.pdf

难度确实不小，而且统计物理那一部分确实很多计算。但老师也算口头上讲了一些物理背景，我认为上课认真听，课后对着笔记自己去补一补还是能抓住主要思想的。（而且对着笔记自己推一遍，把各种细节想清楚，还是很有趣的）

PS：我不会告诉你们概率论期末压轴题，前一天进阶课刚讲。

今天刚刚考完期末，先占个坑，等到放假了来评个课。

附上本人的笔记，仅供参考：http://home.ustc.edu.cn/~wyx_mail/study_notes.html/Probability%20Theory-Outer%20Chapter.pdf

更新：喜提4.3，说明照着这个我上传的笔记背可能海星。

这门课刘老师讲的不如内篇流畅，有些记号也很初见杀，但出于它体现了一种很好的风格—给学生讲一些提高性的topics帮助学生找到兴趣方向，我还是愿意打个10分。这门课从内容上来说真的不算很难（在有充足时间好好听课、回顾笔记的前提下，但似乎如果不提前修掉些课的话大二下最后几周巨忙），我们慢慢捋。

第十三周的时候UCLA的尹骏老师来科大讲授随机矩阵短课程，刘老师为了让班上感兴趣的同学能听懂更多，把随机矩阵作为第一个topic。这部分只有一个主定理，即实Wigner矩阵的半圆律。我认为老师在小阶矩上花了太多时间观察，这部分计算在内篇已经讲过一样的，而且通过期望为0和独立性条件观察出“非消失项的每个矩阵元的次数必须\(\geqslant\)2”对大多数同学（毕竟都选进阶了）应该都是容易的。如果老师能精简一下过程应该就能多讲一些东西。期末考试要求证明一个比期望收敛更强的结论：几乎处处收敛到这个\(\gamma_k\)。应该要把方差控制到\(1/{N^2}\)然后用B-C引理证之，但我不会。

之后的Linderberg替换是这门课比较重要的地方，通过替换术转化为微小差距的估计，为比较精细地taylor展开创造条件，一二阶矩相同允许我们把要比较的东西砍剩高阶小量。这部分的难点在于变量写着比较杂，不同情况下对高阶量的控制方法也不一样。期末考试出了一个变式，记号主打一个繁！矩方法难度不大，也不需要精细估计。

熵这节比较有意思，Gibbs不等式看着很神奇用着也是。今年考的是多元正态的熵，可能想体现一些内篇知识的回顾。

Ising 和 Curie-Weiss 就比较难了，我想把二者“混为一谈”，仅仅对处理手段分类。这部分主要的方法有两类，一类是通过把矩母函数\(\mathbb{E}[\mathrm{e}^{t\frac{M_N}{N^\delta}}]\)写成配分函数商的形式再做估计来得到\(\frac{M_N}{N^\delta}\)的极限分布，另一类是直接计算磁化强度在某一点的概率，结果当然会带一个组合数，用一个指数来近似，一通诡异推导后可以得出非常surprising的相变现象。最后老师还讲了李杨单位圆和根分布，算是向黎曼猜想投去了概率学家的一瞥。

之所以说以上内容学起来没那么难，是因为作业题大部分都是对课上证明的补充、仿写，对重要例子的计算。配合食用的话其实能掌握的bc。

考下来感觉老师确实塞了非常多作业内容在里面，估计有个五十分吧，总体来说相当有难度。给分不错，或许期末溢出之后就给满分了吧。

最后附上一些不完整的ldz语录（他真的是一位很博雅、很有腔调的学者）：“往往一门课到最后讲的知识都是不考的，但这些知识才是这门课的精华。……黎曼猜想当然是很美的，但如果一个人没有学过复变函数，就只能给科大教授群发邮件声称Ta证明了黎曼猜想，教授也看不懂Ta写的东西。所以了解了更多知识以后才能更好的欣赏这些美妙的定理。……所以说，如果你没有学过概率，就会认为摸摸球就能摸出整个概率论，但我们学过了以后发现不是的。你们有些人以后学到高等概率论的时候，对它的认识和在我这低等概率论课上的认识又会是不一样的。”

这门课大概包括的内容

• Wigner 半圆律 （其实根据学概率的同学指出这个不是很全，Wigner 半圆律可能需要知道更进一步的特征值在某种平均下的的极限行为（我也不知道我理解他说的对不对，但是仅仅凭书本上的定理不是非常 surpirsing），但是课本上相当于只给出了一个类似矩的估计，也就是 \(\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\left[\dfrac{\operatorname{tr}(A^{2k})}{n^{k}}\right]\to C_k\)，这部分能理解的内容还算好，证明类似内篇证明 CLT 的思路，也就是利用 \(\operatorname{tr}(A^k)\) 的完全展开然后估计主项的阶。作业题在这里难度也不是特别大，有点类似内篇 3.4 讲 Wick 公式那里的作业题，还算可以接受；就是考试这里有些东西考了暴力展开有点费劲，最终考试又回到了组合计数上（
• GOE/GUE 这里主要涉及特征值的联合密度分布（讲义这里的证明完全不知所云，讲义没有把每一步要干什么具体讲明白，反而大多数都是引入一个新符号开展一些完全看不懂的运算，然后充满 typo，这可能是这一门课的硬伤），期末考查的是后面的最大特征值的分布，这里感觉更像是知识简介，但是还是真心建议讲义写明白哪些是需要掌握的，而非过多不加解释引入新的东西…… （不过其实要考查最大特征值分布是 dz 在最后一节复习课明确提出的，这个只能说是到课问题）。这里的作业有的异常困难，也有一些暴力计算，感觉这一周的作业是做的最最最难受的一次；另外作业题和最大特征值分布毫无关系。整体而言这一节难度最大，跳跃最多。
• 统计物理（熵，Ising 模型，Curie-Weiss 模型，李杨单位圆定理等）这里的内容感觉主要是个人 taste 的问题，比较偏向物理，但是对物理本身感兴趣的可能更容易学习一些。这里的主要问题是有太多硬计算了，运用到的一些计算的技巧也比较多，不过还是在可以控制的范围之内的。这里的核心还是计算或者尽可能估计配分函数，另外讲义也需要多讲一些物理的直观可能（这部分似乎在课堂上 dz 讲了，但是大多数人还是更倾向于看讲义的），总体来说这里的学习远远没有 GOE GUE 那么困难，在物理直观下学起来还是比较轻松愉快的，涉及到的热力学极限过程也是很 attractive 的。

期末考试比较困难，前四题基本上只要背诵课本都可以拿满，5.1 和 6.2 也可以基本做对；但是第六题剩下的暴力计算太伤人，估计没人能在考场上弄出来吧，不过好在改卷足够松，如果考前背诵一些关键的估计方法，也许也能 carry 的过来。

其实回过头来看，这门课的硬伤还是讲义，缺乏大量的动机讲解，充斥大量 typo，跳步过于严重，自学无比困难；但是不得不说 dz 老师除了 GUE 哪一块的 taste 还是很高的，可以让概率论的初学者能体会到概率论解决热力学极限问题的重要作用（

6.23下午期末，原题含量没那么大，还是挺难的，回忆一下题目（满分110）

第一大题（10'）（二选一作答即可）

        (1)写一个概率论与其他学科有关的例子

        (2)写出一个矩母函数只有纯虚零点的随机变量

第二大题（20'）

        计算\(\mathrm{Wigner}\)半圆律的矩并验证\(\mathrm{Riesz}\)条件

第三大题（20'）

        计算 \(n\) 元正态分布 \(N(\mu,\sum)\) 的熵

第四大题（20’）

        证明\(\mathrm{Curie-Weiss}\)模型中配分函数满足\(\lim\limits_{N\to \infty} \frac{1}{N} \mathrm{log} Z_{N,\beta,h}=\max\limits_{m \in [-1,1]}\beta dm^2+\beta hm+S(m)\)

第五大题（20’）

         \(\mathrm{X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_n}\)是一列独立随机变量，且满足 \(\mathrm{E}[\mathrm{X_i}]=\mathrm{E}[\mathrm{Y_i}],\mathrm{E}[\mathrm{X_i^2}]=\mathrm{E}[\mathrm{Y_i^2}]\)，\(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) 三阶可微，\(\mathrm{U}=(\mathrm{X_1,\dots,X_n}),\mathrm{V}=(\mathrm{Y_1,\dots,Y_n})\)

        证明对任何可微函数\(g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 和 \(K>0\) ，有 

               \(|\mathrm{E}[g(f(\mathrm{U}))]-\mathrm{E}[g(f(\mathrm{V}))]|\leq C_2(g)\lambda_3(f) \sum\limits_{i=1}^{n} (\mathrm{E}[|\mathrm{X_i}|^3 I_{|\mathrm{X_i}|\leq K}]+\mathrm{E}[|\mathrm{Y_i}|^3 I_{|\mathrm{Y_i}|\leq K}])\)                                                                                                                   \(+C_1(g)\lambda_2(f) \sum\limits_{i=1}^{n} (\mathrm{E}[\mathrm{X_i}^2 I_{|\mathrm{X_i}|> K}]+\mathrm{E}[\mathrm{Y_i}^2 I_{|\mathrm{Y_i}|> K}])\)

        其中 \(C_2(g)=\frac{1}{6}||g'||_{\infty}+\frac{1}{2}||g''||_{\infty}+\frac{1}{6}||g'''||_{\infty}\)      \(C_1(g)=||g'||_{\infty}+||g''||_{\infty}\)

                \(\lambda_r(f)=\mathrm{sup}\{|\partial_i^p f|^{\frac{r}p}:1\leq i \leq n ,1\leq p\leq r\}\)

        Hint:  令\(\mathrm{Z_i}=(\mathrm{X_1,\dots,X_i,Y_{i+1},\dots,Y_n})\)，\(\mathrm{W_i}=(\mathrm{X_1,\dots,0,Y_{i+1},\dots,Y_n})\)，并定义\(h(\mathrm{Z_i})=g(f(\mathrm{Z_i}))\)，将\(h\)在\(\mathrm{W_i}\)处对\(\mathrm{X_i}\)进行展开

第六大题（20’）

         \(H_N=(h_{ij}^N)_{1\leq i,j \leq N}\)为\(N \times N\)的对称矩阵，\(\{h_{ij}^N:1 \leq i \leq j \leq N\}\)为独立同分布随机变量，均同分布于\(Y\)，其中\(Y\)奇阶矩为零，偶阶矩有界，且\(\mathrm{E}[Y^2]=1\)。

         定义 \(X_{k,N}=\frac{1}{N} \mathrm{Tr}[(\frac{H_N}{\sqrt{N}})^k]\)，\(\gamma_k=\lim\limits_{N\to \infty} \mathrm{E}[X_{k,N}]\)

         (i)写出\(\gamma_k\)              (ii)证明 \(X_{k,N} \xrightarrow{P} \gamma_k\)                (iii)证明\(X_{k,N} \xrightarrow{a.s.}\gamma_k\)

这门课其实就是补充了点并不在概率论本篇的大框架里面，但又比较具有代表性的东西。不过由于课程时长限制，讲的比较浅，而且感觉dz在后面统计力学的部分花了很多时间讲物理背景，但又没太讲明白的样子，个人认为这方面以后开课的时候应当改善。这学期目前讲了随机矩阵（\(\mathrm{GOE}\)和\(\mathrm{GUE}\)，\(\mathrm{Wigner}\)半圆律）、\(\mathrm{Lindederg}\)替换术、信息熵、统计力学模型(\(\mathrm{Ising}\)模型，\(\mathrm{Curie-Weiss}\)平均场模型），最后还多补一次课，讲\(\mathrm{Lee-Young}\)单位圆定理和与\(\mathrm{Riemann}\)猜想的关系，但似乎考试不考。

作业不多，上课如果认真听了的话难度不算太大，而且有往年的讲义和答案以供参考。今年的考试难度比较大，作业原题没那么多，想考好还是挺难的。

概率确实是很有趣的，如果大一的时候先接触的是概统有关的知识，可能现在也就在做概统了。

期末卷面106，感觉改卷应该放水了，后两题写的都不严谨居然还能有这个分。

我操，用户彻底寄了。

二十周前，我从内篇踏上征途，中间忘了，这种勃勃生机万物竞发的境界犹在眼前，短短二十周后，这里竟至于一转而变为我的葬身之地了吗？

不管怎么讲，放弃成绩机会是两次对一节课，优势在我！

考前一天，发现无法看懂任何东西🤡🤡🤡不知道在学什么，太糟糕了

考前一天晚8点仍然未学会任何东西，相对于内篇和微分方程两门上课完全听不懂的课而言，这门课的期末复习第一次使我感到绝望，随时间的推移学会的东西没有丝毫的增加，始终是一个绝对冷酷的零。

也许确实是我太愚蠢了。。。内篇的东西也忘的七七八八，只求一个3.0。

批卷非常捞，感觉卷面难到40给了54，不过分数都是相对的，仍然是断层的吊车尾，等待dz大手调分。。观望一下

写在最前，本人并不赞同刘老师课后再上传讲义的决定，对于不少人（包括我）来说有讲义听课的效果肯定比没讲义听课的效果好，况且更有大佬并不需要听刘老师讲课，直接看讲义就能学明白。感觉刘老师并没有必要以不发讲义增加听课率。

不过个人还是尊重刘老师的决定吧。

对于上课内容好像宗老师的叙述已经很完备了，我似乎也没有必要多说什么。

个人感觉，概率论进阶=带有期末考的强制性概率论前沿介绍及论文选读

这门课好不好真的挺见仁见智的，如果不想选概统方向确实显得相当花时间。我认为还是不错的。

感觉这门课期末复习要背的东西有点多（而且都是期末考完就用不着的东西，这点比较糟糕），希望刘老师下次可以指明哪些东西要背，哪些东西是不用背的（或可以在试卷上提供的）。这样对期末周a.e.考试的我们或许更加友好。

大一下选进阶课还是要稍微慎重一些，对代数（线性代数、多项式等）的功底要求确实比较高，还涉及到一些组合问题和复变函数（在讲义中的Airy统计和李-杨单位圆定理中都有涉及）（不过考试应该也不会专门考察这些）

实在有问题可以大胆问刘老师，刘老师还是非常耐心的。

最后放一张刘老师最后一节课画的思维导图：

扣一星是考试时间安排，和原子物理撞车了，对我这种喜欢突击复习物理课的人不太友好，导致考试爆炸了，希望dz能捞我。在大二下课程压力比较大的情况下不推荐选课，很容易和考试撞车，建议旁听就好，课程内容还是相当精彩的。

出分更新，期末81，总评91，给分相当好，其中第五题判卷大放水。

想拉高一下评分。

进阶的内容比内篇跳跃性更大，科普性很强，上课能跟着老师走就算90%的成功。但是不要因为科普性强就不认真听，否则就是在教室罚坐。

作业ddl非常晚，非常符合一门一学分的课的注水量（doge）。

期末考试几乎作业题，没啥可说。考前能把作业题都百分百理解，也算得上有点水平。

老师和助教都超级和善谦逊，考试的时候如果题目不懂可以当场问（老师甚至提示怎么开头，怎么得分）。

很多大佬选择旁听这门课而不是正选，因为这门课的内容确实太科普太零散了（很多细节比较难啃，所以被吐槽了两年）。我认为至少框架是清楚的，还是在可以接受的水平，况且最后给分看起来皆大欢喜，就当一学分的数学通识，也不亏。如果是🌸班，更加推荐，本学期的几门h课里这是算比较愉悦的了。

拼尽全力无法战胜作业

要过DDL交作业了😫

我投降✋😭🤚

• 课程内容

主要是老师的自编讲义，和去年相比主要的变化是删去了Lindeberg替换，增加了GUE模型。具体内容楼顶的00后宗师已详细写了，不再赘述。

• 作业

每周一次，一共4次，均来自刘老师自编讲义的习题。部分题目可能难度略大，选课需要做好心理准备。当然以后选课的话可以抄今年习题课讲义的答案。

这里特别感谢一下今年的两位助教，宗师和仅此而已，他们不仅提供了高质量的习题课讲义，回答问题也非常及时。最可贵的是，他们还提供了相当多的补充材料，为同学们进一步探索自己感兴趣的主题提供了巨大帮助，伟大！

• 考试

难度不大，基本都是作业原题和讲义上的证明，最后一题组合味道略浓，不过24年期末考过。考试总体比24年期末简单。

当然，你可能会说讲义上有一些比较长的证明，但显然考试不太可能考察这部分内容。比如GUE那一块比较困难，结果就只考了最大特征值的分布这个结论。

• 给分

总评=平时（50）+期末（50）

此外，如果平时分不满，也就是作业没交够，可以通过写小论文来弥补。

• 总结

今年应该是老师第一次使用自编讲义，作业答案不太好找（助教在群里发了去年的习题课讲义，不过可能没有引起大家注意），相当一部分同学感到不太适应。另外讲义上的typo也引起了一部分同学的不满。不过从明年起，相当多的typo已经被修正，作业答案也能参考今年习题课讲义，修读的体验应当会大幅提升。

特别是对于概率感兴趣的同学，这应该是少数能够接触一些较为前沿的概率的课，强烈推荐！

和概率论内篇不同相比，外篇更像是一个概率论前沿问题的短期讲座，让你快速了解概率论的一些热门研究方向，而不是一门课。要在20学时内讲完这么多专题，注定大部分内容都是浅尝辄止，引入的动机不够清晰，节奏过快也导致内容很难理解。而且老师基本上是照着typo非常多的讲义在念，这无疑让课程难度更上了一个台阶。

作业平均每周5题左右，难度很大，不过除了GOE和GUE那部分的两个题之外都基本上是可做的。考试有一大半讲义和作业题改编，改卷和给分都非常捞，满分110均分70左右。总评基本上是平时期末五五开然后捞一下卡绩，最终优秀率应该接近70%。

虽然只有1学分，而且给分非常好，但这门课无疑是我这学期学的最痛苦的课，充满了拼尽全力无法学懂的绝望。如果你选了这门课，你的期末周可能会异常凄凉。所以我只建议华班需要这一门H课的同学选，如果你对概率感兴趣，旁听就好了。

插个锚点，以后再来写详细评课

更新：原本觉得ldz讲得还不错的，现在吃了个1.7

🤡🤡🤡🤡

写作业写破防了，退课！

（课程本身应该不错，退课是我菜😭）

关于课程 选材方面确实比较零散，比起课程更像讲座，但四周时间可能也很难具体讲完某个方面，所以这种差不多一周一个专题的讲法多少能开阔视野。 老师讲课时确实跳步挺多，甚至有一些是并不显然的，不过在课后自己思考一下或者询问老师助教应该都能得到答案。 课后的题目也和授课内容关联比较大，很多是对一般情况，或者老师略去的证明细节的验证。除了个别1-2题外，其余的题目不会做基本是上课内容没懂或者证明细节没想通。 至于不说明含义直接给参数这个我觉得也还好，毕竟在跳了一些验证的情况下才讲完。如果还要讲物理含义可能真的没有那个时间听故事，大不了就当成一个数学模型Shut up and calculate.

关于考试 5=4a.e.作业原题+2/3数学分析+1/3*新题目 最后还有一道附加10分

总体来说虽然上课内容有点困难，但几乎没有额外的难度，把作业和笔记都弄懂就足够了。